Newton插值多项式.pptx

基本思想基本思想 缺点：缺点：增加节点时，需要计算增加节点时，需要计算 ，而已得的，而已得的 不能被利用；不能被利用；为此我们考虑对为此我们考虑对LagrangeLagrange插值多项式插值多项式进行进行改写改写；由唯一性，仅是由唯一性，仅是形式上形式上的变化的变化 期望：期望：一般一般递推递推得：得：上述修改过的上述修改过的 可看成是由可看成是由点斜式点斜式直线方程往直线方程往 n+1个插值点情形的推广，而个插值点情形的推广，而LagrangeLagrange插值多项式是插值多项式是由由两点式两点式直线方程推导而来的。直线方程推导而来的。注：注：一、系数一、系数 的确定的确定LagrangeLagrange插值插值插值条件插值条件基函数基函数 依此公式麻烦！依此公式麻烦！二、差商二、差商1 1、定义：、定义：注：为统一记号，规定：注：为统一记号，规定：称为零阶差商称为零阶差商类比：类比：导数：导数：差商：差商：2 2、差商的计算、差商的计算列差商表列差商表解一：解一：例：例：解二：解二：可见，求各阶差商是方便的，且可见，求各阶差商是方便的，且 位于位于差商表的对角线差商表的对角线上。上。3 3、性质、性质证明：证明：（归纳法）（归纳法）通分：通分：注：注：对称性对称性差商与节点的排列次序无关；（差商与节点的排列次序无关；（线性组合线性组合）因而当增加节点时，只需在差商表的末尾加上一行即可！因而当增加节点时，只需在差商表的末尾加上一行即可！差商定义差商定义亦可变成：亦可变成：证明：证明：三、三、NewtonNewton插值多项式插值多项式1 1、定义：、定义：称为称为 次次NewtonNewton插值多项式插值多项式 例：例：解：解：2 2、余项：、余项：带余项的带余项的NewtonNewton插值公式插值公式 比较可知，比较可知，与与 的确只是的确只是形式上的不同形式上的不同，注：注：NewtonNewton插值多项式便于计算，而插值多项式便于计算，而LagrangeLagrange插值插值多项式多用于理论推导。多项式多用于理论推导。性质性质2 2例：例：(上例中上例中)插值余项为：插值余项为：例：例：证明：证明：（归纳法）（归纳法）Newton插值公式求解插值问题的算法插值公式求解插值问题的算法 算法算法 1.1.初始化初始化 xn保存保存n个插值点；个插值点；fnn保存保存n个插值点的函数值和各阶差商个插值点的函数值和各阶差商 i-求解求解j阶差商的下标阶差商的下标 j-差商的下标差商的下标j=1,n2.2.按差商表计算各解插商：按差商表计算各解插商：循环：循环：j=1到到n(按列计算按列计算1，2，,n阶阶)循环：循环：i=j,n fij=(fij-1-fi-1j-1)/xi-xi-j3.3.输出输出fii(i=0,n)4.4.计算计算N(x):N(x):N=fnn41循环：循环：循环：循环：i=n-1;i=0;i-)i=n-1;i=0;i-)N=N*(x-xi)+fii;N=N*(x-xi)+fii;4242输出输出输出输出N N作作作作业业习题习题习题习题4 4 4 4（书（书（书（书P.40P.40P.40P.40）第第第第5 5 5 5、6 6 6 6题题题题