求导公式-方法.pptx

17 四月 20241一、反函数的导数一、反函数的导数定理定理例例1解解 函数函数y=ax的反函数为的反函数为x=logay，又，又3.3 3.3 求导公式与求导方法求导公式与求导方法即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.17 四月 20242例例2 2解解同理可得同理可得17 四月 20243二、基本导数公式二、基本导数公式 17 四月 20244三、复合函数求导三、复合函数求导 定理定理(链式法则链式法则)若函数若函数u=g(x)在在x=x0可导，可导，y=f(u)在在u0=g(x0)可导，则复合可导，则复合函数函数y=fg(x)在在x=x0可导，且可导，且即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于等于因变量因变量对对中间变量中间变量求导求导,乘以乘以中间变量中间变量对对自变量自变量求导求导.(.(链式法则链式法则)17 四月 20245 当所针对的函数由三个以上的函数复合而成时也有类似当所针对的函数由三个以上的函数复合而成时也有类似结果，例如对三个函数结果，例如对三个函数y=f(u)、u=g(v)、v=h(x)复合而成的函复合而成的函数数y=fgh(x)，有，有 应用时，首先把函数进行应用时，首先把函数进行“分解分解”，由外到里写成几个，由外到里写成几个基基本初等函数本初等函数复合而成的形式复合而成的形式(注意一定要注意一定要“分解分解”得彻底，保得彻底，保证证最后写出的函数都是基本初等函数最后写出的函数都是基本初等函数)，然后按照链式法则逐个，然后按照链式法则逐个求导。求导。注意最后要把注意最后要把u、v换回换回x17 四月 20246例例1 求函数求函数y=sinex在在x=x0处的导数。处的导数。解解 函数函数y=sinex由基本函数由基本函数y=sinu和和u=ex复合而成，复合而成，又又因此有因此有例例2 2解解练习练习答案答案17 四月 20247例例3 3解解例例4 4解解17 四月 20248例例5解解 题中函数由题中函数由y=eu、u=sinv、v=1/x复合而成，又复合而成，又练习练习答案答案则则熟练以后，可以不写出中间变量，直接求导。熟练以后，可以不写出中间变量，直接求导。17 四月 20249例例 设设f(u)可导，求可导，求y=f(ex)ef(x)的导数。的导数。解解练习练习 设设f(u)可导，求可导，求y=fff(x)的导数。的导数。答案答案注意注意先求导后先求导后代入代入先代入后先代入后求导求导17 四月 202410求求 导导 数数 17 四月 2024113.43.4高阶导数与隐函数求导高阶导数与隐函数求导一、高阶导数一、高阶导数 我们知道，速度我们知道，速度v是位移函数是位移函数s(t)的导数：的导数：v=s(t)。设初始时。设初始时刻刻t0的速度为的速度为v0，末时刻，末时刻t的速度为的速度为v，则从，则从t0到到t的的(平均平均)加速度加速度为为 这是对位移函数这是对位移函数s(t)的导数的导数v=s(t)再求导数，我们称之为二再求导数，我们称之为二阶导数。一般地，我们可以定义阶导数。一般地，我们可以定义n阶导数。阶导数。若要求在若要求在t0时刻的瞬时加速度，则需令时刻的瞬时加速度，则需令t t0对此式求极限：对此式求极限：17 四月 202412定义定义为为f(x)在在x0处的二阶导数处的二阶导数，记为，记为上的函数，称为上的函数，称为二阶导函数二阶导函数，简称，简称二阶导数二阶导数。的的三阶导数三阶导数，称为称为f(x)的的四阶导数四阶导数，17 四月 202413定义定义 设函数设函数f(x)的的n-1阶导数存在且可导，则称其导数阶导数存在且可导，则称其导数f(x)的的n阶导数阶导数，记为，记为 二阶和二阶以上的导数称为二阶和二阶以上的导数称为高阶导数高阶导数，若，若f(x)的的n阶导阶导数数存在，则称存在，则称f(x)n阶可导阶可导。由定义可以看出，求由定义可以看出，求n阶导数就是进行阶导数就是进行n次求导运算，有次求导运算，有时需要化简、归纳。时需要化简、归纳。例例答案答案17 四月 202414练习练习答案答案例例定理定理(Leibniz公式公式)计算过程对两个函数乘积的对两个函数乘积的n阶导数的计算，可以利用阶导数的计算，可以利用Leibniz公式。公式。17 四月 202415二、隐函数求导二、隐函数求导 用导数讨论变量的变化率时，有时变量间的关系很难甚用导数讨论变量的变化率时，有时变量间的关系很难甚至不能用至不能用y=f(x)的形式表示，这时应尽量用其他形式揭示变量的形式表示，这时应尽量用其他形式揭示变量的关系。其中一种是用方程确定。的关系。其中一种是用方程确定。定义定义 设设(x,y)=0为含有两个未知数的方程，若有函数为含有两个未知数的方程，若有函数y=f(x)使使(x,f(x)0，xDf，则称，则称y=f(x)为由为由(x,y)=0确定的确定的隐函数隐函数。y=f(x)形式的函数称为形式的函数称为显函数显函数。将隐函数化成显函数的过。将隐函数化成显函数的过程称为隐函数的程称为隐函数的显化显化。注注 一个二元方程可能确定一个或多个隐函数；一个二元方程可能确定一个或多个隐函数；并非每一个隐函数都可以显化。事实上，大部分隐并非每一个隐函数都可以显化。事实上，大部分隐函数都不能显化，这时，一般考虑用导数讨论其性质。函数都不能显化，这时，一般考虑用导数讨论其性质。17 四月 202416 y=f(x)是由方程是由方程(x,y)=0确定的隐函数。即有确定的隐函数。即有(x,f(x)=0两边对两边对x求导得到求导得到x、f(x)和和f(x)的等式，从其中解出的等式，从其中解出f(x)(用用x、f(x)表示表示)。实际计算时，一般把实际计算时，一般把f(x)和和f(x)写成写成y和和y。如如 对方程对方程y=x+ex+y确定的隐函数确定的隐函数y=f(x)，对，对 f(x)=x+ex+f(x)两边对两边对x求导得求导得 f(x)=1+ex+f(x)1+f(x)从中可求得从中可求得隐函数求导方法：隐函数求导方法：17 四月 202417例例1 求由求由2y-x=(x-y)ln(x-y)所确定的隐函数所确定的隐函数y=f(x)的的导数。导数。答案答案 对对2y-x=(x-y)ln(x-y)两边关于两边关于x求导得：求导得：整理得整理得计算时，一定要注意计算时，一定要注意y是是x的函数，遇到的函数，遇到y就会出现就会出现y 。例例2 217 四月 202418练习练习答案答案计算时，一定要注意计算时，一定要注意y是是x的函数，遇到的函数，遇到y就会出现就会出现y 。解解解得解得17 四月 202419练习练习二阶导数。二阶导数。对隐函数求高阶导数时，即对上面求得的导数再求导数。对隐函数求高阶导数时，即对上面求得的导数再求导数。由于隐函数的导数的表达式中一般同时含有自变量由于隐函数的导数的表达式中一般同时含有自变量x和因变量和因变量y，因此再次，因此再次(关于关于x)求导时也会遇到求导时也会遇到y，这时仍要把，这时仍要把y看作看作x的函的函数。也就是说求二阶导数时，右边会出现数。也就是说求二阶导数时，右边会出现y，然后把一阶导数，然后把一阶导数的表达式代入。的表达式代入。计算过程17 四月 202420三、对数求导法三、对数求导法 定义定义 形如形如f(x)g(x)的函数的函数称为称为幂指函数幂指函数。对幂指函数的求导，一般有对幂指函数的求导，一般有两种方法两种方法，一种是先化简：，一种是先化简：y=f(x)g(x)=eg(x)lnf(x)，再利用四则运算法则和复合函数求导法再利用四则运算法则和复合函数求导法计算；另一种方法是用所谓的对数求导法。计算；另一种方法是用所谓的对数求导法。定义定义 先对函数表达式两边求对数，再两边求导以求函先对函数表达式两边求对数，再两边求导以求函数的导数的方法，称为数的导数的方法，称为对数求导法对数求导法。对数求导法主要利用对数的性质，一般适用于以下情形对数求导法主要利用对数的性质，一般适用于以下情形下的求导：下的求导：求幂指函数的导数；求幂指函数的导数；求多个函数积或商的导数。求多个函数积或商的导数。例例 求函数求函数y=xsinx的导数。的导数。计算过程17 四月 202421练习练习 求函数求函数y=(tanx)sinx的导数。的导数。答案答案 例例答案答案练习练习答案答案