函数极限存在的夹逼准则(课件全).ppt

过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章一一一一.函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则定理定理2.且且第六节第六节 极限存在准则及极限存在准则及两个重要极限两个重要极限过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章证明证明证明证明证证:当当时时,设设则则过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章当当则则从而有从而有故故 也可写为也可写为时时,令令用于用于1 型型过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章例：例：例：例：1 1、求、求原式原式公式：公式：过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章证证:当当即即时，时，过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章例例例例.1 1、求、求解解:原式原式过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章2 2、求求求求解解:原式原式=3、求求解解:令令则则因此因此原式原式过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章令令令令过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章 第一章第一章 都是无穷小都是无穷小,第七节引例引例.但但 无穷小趋于无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的.无穷小的比较无穷小的比较过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章定义：定义：设设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小,且且 是是 的的高阶高阶无穷小无穷小 是是 的的低阶低阶无穷小无穷小 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小 是是 的的等价等价无穷小无穷小 是是 的的 k 阶阶无穷小无穷小记作记作记作记作或或过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章例如例如,当时时又如又如，时时是关于是关于 x 的二阶无穷小的二阶无穷小,且且过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章例例例例.当当时时,是是的几阶无穷小的几阶无穷小?解：无穷小量比较阶解：无穷小量比较阶时，要找最低阶数时，要找最低阶数过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章例例例例.证明证明:当当时时,证证:过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章常用等价无穷小常用等价无穷小:说明：以上各式中的说明：以上各式中的x可换为任意无穷小可换为任意无穷小过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章定理定理定理定理1.1.证证:即即即即例如例如,故故过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章定理定理2.设且且存在存在,则则证证:例如例如,自变量变化过程相同自变量变化过程相同过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章因式代替规则因式代替规则因式代替规则因式代替规则:界界,则则例如例如,乘除可代替乘除可代替过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章例例1.求求解解:原式原式 乘除可代替乘除可代替和差代替有条件和差代替有条件过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章例例2.求解解:过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章第八节函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义1、f(x)在在 x0 点处连续点处连续对对自变量的增量自变量的增量有有函数的增量函数的增量称函数称函数在点在点连续连续反映自变量的变化很微小时，反映自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小。函数值的变化也很微小。定义：定义：f(x)在在 x0 的的某一邻域某一邻域 内有定义内有定义1、可正可负，可正可负，不为零。不为零。2、可正可可正可负可为零。负可为零。过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章例例例例.证明函数证明函数在在内任意一点连续内任意一点连续.证证:即即这说明这说明在在内任意一点连续内任意一点连续.过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章函数函数在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题:过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章可见可见,函数函数在点在点定义定义:在在的某邻域内有定义的某邻域内有定义,则称函数则称函数(1)在点在点即即(2)极限极限(3)设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在;且且有定义有定义,存在存在;过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章若若在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续,或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数.2、f(x)在区间上在区间上连续连续称称 f(x)在在x0 点处左连续点处左连续称称 f(x)在在x0 点点处右连续处右连续其图像是一条连续而不间断的曲线。其图像是一条连续而不间断的曲线。ab过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章在在二、二、函数的间断点函数的间断点(1)函数函数(2)不存在不存在;(3)函数函数存在存在,但但 不连续不连续:设设在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义,则下列情形则下列情形这样的点这样的点之一之一函数函数 f(x)在在点点虽有定义虽有定义,且且称为称为间断点间断点.在在无定义无定义;过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及及均存在均存在,若若称称若若称称第二类间断点第二类间断点:及及中至少一个不存在中至少一个不存在,称称若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡,称称若其中有一个为若其中有一个为为为可去间断点可去间断点.为为跳跃间断点跳跃间断点.为为无穷间断点无穷间断点.为为振荡间断点振荡间断点.过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章为其无穷间断点为其无穷间断点.为其振荡间断点为其振荡间断点.为可去间断点为可去间断点.例如例如例如例如:过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章显然显然为其可去间断点为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点为其跳跃间断点.过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章左连续左连续右连续右连续第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型在点在点连续的等价形式连续的等价形式3、若、若在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续,或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数.其图像是一条连续而不间断的曲线。其图像是一条连续而不间断的曲线。过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章第九节第九节连续函数的运算与连续函数的运算与初等函数的连续性初等函数的连续性过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章定理定理2.连续单调递增连续单调递增 函数的反函数函数的反函数在其定义域内连续在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1.在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和,差差,积积,商商(分母不为分母不为 0)运算运算,结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数.例如例如,例如例如,在在上连续单调递增，上连续单调递增，其反函数其反函数(递减递减).在在 1,1 上也连续单调递增上也连续单调递增.递增递增(递减递减)也连续单调也连续单调过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章定理定理定理定理3.3.连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.在在上连续上连续 单调单调 递增递增,其反函数其反函数在在上也连续单调递增上也连续单调递增.即：即：设函数设函数于是于是复合函数复合函数又如又如,且且即即过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章例如例如例如例如,是由连续函数链是由连续函数链因此因此在在上连续上连续.复合而成复合而成,过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续连续函数有限次连续函数有限次四则运算四则运算的结果连续的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的反函数连续有限个连续函数的有限个连续函数的复合函数复合函数连续连续初等函数在初等函数在定义区间内定义区间内连续连续过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章的连续区间为的连续区间为(端点为单侧连续端点为单侧连续)的连续区间为的连续区间为的定义域为的定义域为因此它无连续点因此它无连续点而而例如例如,过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章三、求连续区间、并讨论间断点。1、初等函数的连续区间即、初等函数的连续区间即为其定义域，定义域外的为其定义域，定义域外的点为间断点。点为间断点。例：讨论例：讨论 的连的连续区间及间断点续区间及间断点例：讨论例：讨论 的连的连续区间及间断点续区间及间断点过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章2、分段函数连续区间的求法、分段函数连续区间的求法-分界点为可能间断点。分界点为可能间断点。例：讨论例：讨论 的连续区间及间断点的连续区间及间断点例：讨论例：讨论 的连续区间及间断点的连续区间及间断点过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章根据连续定义确定待定系数根据连续定义确定待定系数根据连续定义确定待定系数根据连续定义确定待定系数例例3.设函数设函数在在 x=0 连续连续,则则 a=,b=.解解:过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章四、利用初等函数的连续性求极限2、设函数、设函数于是于是过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章例例例例4.4.求求求求解解:原式原式过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章第十节一一、最值定理、最值定理 二、零点定理、介值定理二、零点定理、介值定理 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章注意注意:若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续,结论不一定成立结论不一定成立.一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数即即:使使或在闭区间内或在闭区间内有间断有间断 在该区间上必有最大在该区间上必有最大(小小)值值点点,过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章例如例如,无最大值和最小值无最大值和最小值 也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如,过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章推论推论推论推论.二、介值定理二、介值定理定理定理2.(零点定理零点定理)至少有一点至少有一点且且在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界.过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章定理定理定理定理3.3.(介值定理介值定理 )设设 且且则对则对 A 与与 B 之间的之间的任一数任一数 C,一一点点证证:作辅助作辅助函数函数则则且且故由零点定理知故由零点定理知,至至少有一点少有一点使使即即推推论论:使使至少有至少有在闭区间上的连续函数在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最必取得介于最小值与最大值之间的任何值大值之间的任何值.过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章例例例例1.1.证明方程证明方程一个根一个根.证证:令令又又故据零点定理故据零点定理,至少存在一点至少存在一点使使即即在区间在区间内至少有内至少有通过作辅助函数通过作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理辅助函数的作法：辅助函数的作法：1、把结论中的、把结论中的 （或（或 ）改写成改写成2、移项，使等式右边为零，、移项，使等式右边为零，令左边式子为令左边式子为F(x)过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章例例2 2：至少有一个不超过至少有一个不超过 4 的的 证：证：证明证明令令且且根据零点定理根据零点定理,原命题得证原命题得证.内至少存在一点内至少存在一点在开区间在开区间显然显然正根正根.过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章则则证明至少存在证明至少存在使使提示提示:令令则则易证易证例例例例3 3：设设一点一点过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章三、判断函数有界的方法：三、判断函数有界的方法：1、若、若 f(x)在在a,b上连续上连续 f(x)在在a,b有界有界2、若、若 f(x)在在（a,b）上连续）上连续 f(x)在在（a,b）有）有界界过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章习题课习题课二、二、连续与间断连续与间断 一、一、函数函数 三、三、极限极限 过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章2 2.设函数求求解解:一、一、函数函数1、已知已知,求求解解:过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章4.设设求求解解:3.设设求求及其定义域及其定义域.由由得得 解解:过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章解解:利用函数表示与变量字母的无关的特性利用函数表示与变量字母的无关的特性.代入原方程得代入原方程得代入上式得代入上式得设设其中其中求求令令即即即即令令即即画线三式联立画线三式联立即即5 5.过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章有无穷间断点有无穷间断点及可去间断点及可去间断点解解:为无穷间断点为无穷间断点,所以所以为可去间断点为可去间断点,极限存在极限存在6.6.设函数设函数试确定常数试确定常数 a 及及 b.二、二、连续与间断连续与间断过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章7.7.设设 f f(x x)定义在区间定义在区间上上,若若 f(x)在在连续连续,提示提示:且对任意实数且对任意实数证明证明 f(x)对一切对一切 x 都连续都连续.过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章8.求求的间断点的间断点,并判别其类型并判别其类型.解解:x=1 为第一类为第一类可去间断点可去间断点 x=1 为第二类为第二类无穷间断点无穷间断点 x=0 为第一类为第一类跳跃间断点跳跃间断点过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章3 3、由下列等式，求出、由下列等式，求出a a，b b，c c。过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章5.求求解解:令令则则利用夹逼准则可知利用夹逼准则可知