函数奇偶性知识点和经典题型归纳.doc

函数奇偶性
　知识梳理
1. 奇函数、偶函数的定义
（1）奇函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，
则这个函数叫奇函数.
（2）偶函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，
则这个函数叫做偶函数.
（3）奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性.
（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.
注意：（1）奇函数若在时有定义，则．
（2）若且的定义域关于原点对称，则既是奇函数又是偶函数．
2．奇(偶)函数的基本性质
(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称．
(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．
3. 判断函数奇偶性的方法
（1）图像法
（2）定义法
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
例题精讲
【例1】若函数是偶函数，求的值.
解：∵函数 f(x)＝ax2＋bx 是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．∴ax2＋bx= ax2-bx.
∴2bx=0. ∴b＝0.
【例3】已知函数在轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象.

题型一 判断函数的奇偶性
【例4】判断下列函数的奇偶性.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
（6）
解：（1）的定义域为 R，关于原点对称．
∵
∴，即 是偶函数．
（2）的定义域为
由于定义域关于原点不对称
故既不是奇函数也不是偶函数．
（3）的定义域为 R，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．
（4）的定义域为{2}，
由于定义域关于原点不对称，
故既不是奇函数也不是偶函数．
（5）的定义域为{1，－1}，
由且，所以
所以图象既关于原点对称，又关于 y 轴对称
故既是奇函数又是偶函数．
（6）显然定义域关于原点对称．
当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)；
当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)．
即
即
∴为奇函数．
题型二 利用函数的奇偶性求函数值
【例2】若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(3)＝2，求 f(－3)和f(0)的值.
解：∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，
∴f(－3)＝－f(3)＝－2，
f(0)＝0.
【例5】已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，求g(1).
解：由 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
得，
所以 －f(1)＋g(1)＝2 ①
f(1)＋g(1)＝4 ②
由①②消掉 f(1)，得 g(1)＝3.
题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式
【例6】已知函数是定义在 R 上的偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x3－x2，
当 x>0 时，求f(x)的解析式.
解：当时，有
所以
又因为在 R 上为偶函数
所以
所以当时，.
【例7】若定义在 R 上的偶函数和奇函数满足，求.
解：因为为偶函数，为奇函数
所以，
因为 ①
所以
所以 ②
由①②式消去，得.
课堂练习
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1. 函数是（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
2.已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A.2 B.1 C.0 D.-2
3. f(x)为偶函数，且当 x≥0 时，f(x)≥2，则当 x≤0时，有（ ）
A．f(x)≤2 B．f(x)≥2 C．f(x)≤－2 D.f(x)∈R
4. 已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则（ ）
A.f（0）＜f（－1）＜f（2） B.f（－1）＜f（0）＜f（2）
C.f（－1）＜f（2）＜f（0） D.f（2）＜f（－1）＜f（0）
5.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数
6. 定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（－3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（ ）
A.（－3，0）∪（0，3） B.（－∞，－3）∪（3，+∞）
C.（－3，0）∪（3，+∞） D.（－∞，－3）∪（0，3）
7. 若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)<f(1)，则下列各式中一定成立的是(　　)
A．f(－1)<f(－3) B．f(0)>f(1)
C．f(2)>f(3) D．f(－3)<f(5)
8. 设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上(　　)
A．为减函数，最大值为3
B．为减函数，最小值为－3
C．为增函数，最大值为－3
D．为增函数，最小值为3
9.下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝x^3 B．y＝－x^2＋1
C．y＝|x|＋1 D．y＝2－|x|
10.若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．不存在
11.偶函数y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，则方程f(x)＝0的所有根之和为________．
12.如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.
x
y
O
– 3
2
– 1

13. 已知函数是奇函数，求的值.
14. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
15.定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)<0，求实数a的取值范围．
16.函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝，求函数f(x)的解析式
17.判断函数的奇偶性.

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