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专训　判定直角的四种方法
名师点金：证垂直的方法：(1)在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线；(2)等腰三角形中“三线合一”；(3)勾股定理的逆定理：在几何中，我们常常通过证垂直，再利用垂直的性质来解决各种相关问题．
. 利用三边的数量关系说明直角
1．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，且AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的长．
(第1题)

利用转化为三角形法构造直角三角形
2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝，CD＝5，AD＝4，求S四边形ABCD.
(第2题)

利用倍长中线法构造直角三角形
3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求证：AB⊥AD.
(第3题)

利用“三线合一”法构造直角三角形
4．如图①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.
(1)求证：CM＋CN＝BD；
(2)如图②，若M，N分别在AC，CB的延长线上，探究CM，CN，BD之间的数量关系．
(第4题)

答案
1．解：∵AD2＋BD2＝100＝AB2，
∴△ABD为直角三角形，
且∠ADB＝90°.∴∠ADC＝90°.
在Rt△ACD中，CD2＋AD2＝AC2，
∴CD＝＝＝15.
2．解：连接AC.在Rt△ACB中，AB2＋BC2＝AC2，
∴AC＝3，∴AC2＋AD2＝CD2.
∴△ACD为直角三角形，且∠CAD＝90°，
∴S四边形ABCD＝×2×＋×3×4＝6＋.
3．证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，BE.
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD.
又∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝13.
在△ABE中，AE＝2AD＝12，
∴AE2＋AB2＝122＋52＝169.
又∵BE2＝132＝169，
∴AE2＋AB2＝BE2，
∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，
即AB⊥AD.

(第3题)
点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直．
4．(1)证明：如图①，连接CD，∵DM⊥DN，∴∠MDC＋∠CDN＝90°.
∵∠ACB＝90°，AC＝CB，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°，∴∠CDN＋∠NDB＝90°.∴∠MDC＝∠NDB.
∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD.在△CMD和△BND中，
∵∠MDC＝∠NDB，∠MCD＝∠NBD＝45°，CD＝BD，∴△CMD≌△BND，
∴CM＝BN.∴CM＋CN＝BN＋CN＝BC.
在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，CD＝BD，∴BC＝BD.∴CM＋CN＝BD.
(2)解：CN－CM＝BD，如图②，连接CD，证法同(1)．
(第4题)

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