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第四节 析因设计与方差分析

1. 基本概念

完全随机设计(单因素)
随机区组设计(两因素, 无重复)
拉丁方设计(三因素, 无重复)
析因设计(两因素以上, 至少重复2次以上)

析因设计的意义
在评价药物疗效时，除需知道A药和B药各剂量的疗效外（主效应），还需知道两种药同时使用的协同疗效。析因设计及相应的方差分析能分析药物的单独效应、主效应和交互效应。
例：
A因素 食物中蛋白含量; B因素 食物中脂肪含量

A因素

缺乏(a1)
正常(a2)
B因素
缺乏(b1)
a1b1
a2b1
正常(b2)
a1b2
a2b2

B
A
平均
a2-a1

a1
a2

b1
30
32
31
2
b2
36
44
40
8
平均
33
38
35.5
5
b2-b1
6
12
9

(1)单独效应: 在每个B水平, A的效应。或在每个A水平，B的效应。
(2)主效应：某因素各水平的平均差别。
(3)交互效应：某因素各水平的单独效应随另一因素水平变化而变化，则称两因素间存在交互效应。如果，存在交互效应。
如果，协同作用。
如果，拮抗作用。

如果不存在交互效应，则只需考虑各因素的主效应。
在方差分析中，如果存在交互效应，解释结果时，要逐一分析各因素的单独效应，找出最优搭配。
在两因素析因设计时，只需考虑一阶交互效应。三因素以上时，除一阶交互效应外，还需考虑二阶、三阶等高阶交互效应，解释将更复杂。

析因设计的优点：用相对较小样本，获取更多的信息，特别是交互效应分析。
析因设计的缺点：当因素增加时，实验组数呈几何倍数增加。实际工作中部分交互效应，特别是高阶交互效应可以根据临床知识排除，这时可选用正交设计。

2. 析因设计与结果的方差分析

(1)实验设计
设有k个因素，每个因素有L1, L2, …, Lk个水平，那么共有G= L1×L2×…×Lk个处理组。

例如有三个因素，分别是A，B，C。A因素有两水平，B因素有3水平和C因素有2水平，则共有G=2×3×2=12个处理组。大家可以自己回去将这12种组合排列出来。

确定了处理组数后，将实验对象分配到各组的方法可以采用完全随机设计、随机区组设计或拉丁方设计。
注意：析因设计的基本要求，各组例数相等，每组例数必须2例以上。
(2)析因设计资料的方差分析
第一步：与一般的方差分析一样，将总变异分离成组间变异和组内变异。如果是随机区组设计还需从组内变异分离出单位组间变异和误差变异。
方差来源
DF
SS
MS
总变异(T)
N-1

组间变异(B)
G-1

SSB/(G-1)
组内变异(E)
N-G
SST-SSB
SSE/(N-G)
Tk(k=1,2,…,G)为各处理组观察值小计，r为各处理组例数，C=(ΣX)2/N

第二步：将组间变异分解出主效应项和交互效应项，以两因素析因设计为例，i和j分别是因素A和因素B的水平数，Ai和Bj分别是各水平观察值的小计。

方差来源
DF
SS
MS
F
主效应

A
i-1

SS(A)/dfa
MS(A)/MSE
B
j-1

SS(B)/dfb
MS(B)/MSE
交互效应

AB
(i-1)(j-1)
SSB-SS(A)-SS(B)
SS(AB)/dfab
MS(AB)/MSE
两个因素以上的析因设计，计算原理类似，但手工计算较繁琐。当有计算机后和统计软件的帮助后，已完全没必要手工计算。但是掌握变异来源分解的基本思想很重要，应该将哪项变异作为误差项，如何解释结果都与此有关。
下面用实例介绍计算过程：

A(缝合方法)
外膜缝合(a1)
束膜缝合(a2)
总计
B(缝合时间)
1月(b1)
2月(b2)
1月(b1)
2月(b2)

1
10
30
10
50

2
10
30
20
50

3
40
70
30
70

4
50
60
50
60

5
10
30
30
30

Tk
120
220
140
260
740
Σx2
4400
11200
4800
14400
34800
C=(740)2/20=27380
方差分析表

SS
DF
MS
F
P
T
7420
19

B
2620
3
873.3
2.911
>0.05
E
4800
16
300

A1=120+220=340, A2=400, B1=260, B2=480
A
180
1
180
0.60
>0.05
B
2420
1
2420
8.07
<0.05
AB
20
1
20
0.07
>0.05
结论：缝合时间（B）的主效应有统计学意义，即

B的主效应=48-26=22。

第五节 裂区设计与结果的方差分析
(1)基本概念
裂区设计与一般析因设计的区别在于每种处理因素分别作用于不同级别的实验单位。如眼科实验中，兔子为一级实验单位，每只兔子的两只眼睛为二级实验单位。当处理因素分别作用于一级实验单位和二级实验单位时，称裂区设计。

如果将作用于二级实验单位的处理因素称为二级处理，作用于一级实验单位的处理因素称为一级处理。显然前者为区组设计，后者为完全随机设计，两种处理的设计精度不同。因此又称这类设计为不完整析因设计。

一般在设计时，常选最感兴趣的主要研究因素为二级处理因素
或出于区组的限制，选水平数少的研究因素为二级处理因素

(2)实验设计方法

设一级处理因素有i个水平，二级处理因素有j个水平。一级实验单位的分配方式可采用完全随机设计或随机区组设计形式，一般是前者。设各一级处理组有观察单位数r。
然后按随机区组设计的方法将二级处理的各水平随机分配给二级单位。
10只家兔随机分两组(i=2)，一组给抗毒素，另一组给生理盐水(A)。每只家兔取甲、乙两部位(j=2)，甲部位给低浓度毒素，乙部位给高浓度毒素(B)。结果见下表：

表12.27 家兔皮肤损伤直径 (mm)
药物A
编号
毒素浓度B
小计Uk

低浓度(b1)
高浓度(b2)

抗毒素
1
15.75

19.00

34.75

(a1)
4
15.50

20.75

36.25

6
15.50
80.25
18.50
98.75
34.00
179.0

7
17.00
(T1)
20.50
(T2)
37.50
(A1)

10
16.50

20.00

36.50

生理盐水
2
18.25

22.25

40.50

(a2)
3
18.50

21.50

40.00

5
19.75
98.75
23.50
115.75
43.25
214.5

8
21.50
(T3)
24.75
(T4)
46.25
(A2)

9
20.75
1
23.75

44.50

合 计

179.00(B1)
214.50(B2)

393.50

(3) 裂区设计结果的方差分析
基本思想
处理组间(A)
一级单位 总变异(T1) 区组间
ΣU2-C 误差(E1)
总变异(T) ΣX2-C 处理组间(B)
二级单位 总变异(T2) 交互效应(AB)
SST-SST1 误差(E2)
与析因设计方差分析相似，裂区设计方差分析的过程可分成两步

第一步：一级处理因素的方差分析

完全随机设计的方差分析表
方差来源
DF
SS
MS
F
总(T1)
ri-1

一级处理(A)
i-1

SSA/(i-1)
MSA/MSE1
误差(E1)
i(r-1)
SST1-SSA
SSE1/i/(r-1)

Uk是一级实验单位观察值小计二级因素与交互效应的方差分析
方差来源
DF
SS
MS
F
总(T)
rij-1
ΣX2-C

二级处理(B)
j-1

SSB/(j-1)
MSB/MSE2
AB
(i-1)(j-1)

SSAB/(i-1)/(j-1)
MSAB/ MSE2
误差(E2)
(r-1)i(j-1)

SSE2/(r-1)/i/(j-1)

SST2=SST-SST1 Tk是AB两因素组合的各处理结果小计

现举例介绍裂区试验

方差分析表
方差来源
DF
SS
MS
F
P
A
1
63.0125
63.0125
28.01
<0.01
E1
8
18.0000
2.2500

T1
9
81.0125

B
1
63.0125
63.0125
252.05
<0.01
AB
1
0.1125
0.1125
0.45
>0.05
E2
8
2.0000
0.2500

T2
10
65.1250

T
19
146.1375

4. 交叉设计与结果的方差分析

(1)基本概念
在实验设计一节中，介绍了交叉设计的基本结构如下图：

A组 接受常规药 间歇期 接受新药
实验对象 随机分配
B组 接受新药 间歇期 接受常规药

广义地说，如果比较G种处理，相应将试验时间分成G个阶段，每个受试者在不同试验阶段分别接受这G种处理；不同试验组受试者接受G种处理的顺序不同。

交叉试验除处理因素外，还需考虑处理顺序和试验阶段的效应，因此是三因素设计，分析时要分解出三种效应。一般假定因素间无交互作用。

优点：由于是自身前后比较，不受个体变异影响。每种处理在每种顺序都有，可比性好。
缺点：限于慢性病的对症治疗，有时停药的间歇期不能为病人接受。

(2)设计方法

两种处理时，随机分两组，每组顺序不同。

G>2时，可借用拉丁方安排处理顺序。

试验阶段
试验组
I
Ⅱ
Ⅲ
A
1
2
3
B
2
3
1
C
3
1
2
(3)交叉试验的方差分析
方差分析表
方差来源
DF
SS
MS
F
受试者间(P)
N-1
1/GΣB2i-C
SSP/(N-1)
MSP/MSE
阶段间(S)
G-1
1/NΣS2i-C
SSS/(G-1)
MSS/MSE
处理间(B)
G-1
1/NΣT2i-C
SSB/(G-1)
MSB/MSE
误差(E)
(G-1)(N-2)
SST-SSP-SSS-SSB
SSE/(G-1)/(N-2)

总(T)
GN-1
ΣX2-C

C=(ΣX)2/G/N
方差来源
DF
SS
MS
F
受试者间(P)
11
60.5631
5.5057
2.64(>0.05)
阶段间(S)
1
19.7871
19.7871
9.50(<0.05)
处理间(B)
1
8.5753
8.5753
4.12(>0.05)
误差(E)
10
20.8207
2.0821

总(T)
23
109.7462

C=56.2042/24=131.6204

随机区组设计的方差分析表
方差来源
DF
SS
MS
F
总(T1)
r-1

区组间(B2)
r-1

SSB2/(r-1)
MSB2/ MSE1
一级处理(A)
i-1

SSA/(i-1)
MSA/MSE1
误差(E1)
(i-1)(r-1)
SST1-SSB2-SSA
SSE1/(i-1)/(r-1)

Mr是区组观察值小计