逆矩阵及其求法-PPT.pptx

逆矩阵及其求法逆矩阵及其求法定义定义10 对于对于n阶方阵阶方阵A,若有一个若有一个n阶方阵阶方阵B,使使AB=BA=E,则称方阵则称方阵A可逆可逆,并称方阵并称方阵B为为A得逆阵得逆阵,记作记作A 1、注注:如果方阵如果方阵A可逆可逆,则逆阵就是唯一则逆阵就是唯一得得、设设B、C 均为均为A得逆阵得逆阵,则则逆阵就是唯一得逆阵就是唯一得、一、逆矩阵得概念及其求法一、逆矩阵得概念及其求法则则B=A 1、B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C定理一定理一 若方阵若方阵A可逆可逆,则则|A|0、证证 A可逆可逆有有A 1,使使AA 1=E|A|A 1|=|E|=1|A|0定理二定理二 若若|A|0,则方阵则方阵A可逆可逆,且且其中其中A*称为方阵称为方阵A得伴随方阵得伴随方阵,它就是它就是|A|得得各个元素得代数余子式所构成得如下方阵各个元素得代数余子式所构成得如下方阵:证证设设=E由逆阵得定义有由逆阵得定义有:同样同样注注:AA*=A*A=|A|E推论推论 若若AB=E(或或BA=E),则则B=A 1、证证|A|B|=|E|=1|A|0A 1存在存在B=EB=(A 1A)B=A 1(AB)=A 1E=A 12、若若A可逆可逆,则则A 1也可逆也可逆,且且(A 1)1=A证证由推论得由推论得二、逆矩阵得性质二、逆矩阵得性质1、若若A可逆可逆,则有则有|A 1|=|A|1证证AA 1=E|A|A 1|=1|A 1|=|A|1A 1A=E(A 1)1=A|A 1|=|A|1 0 A 1可逆可逆3、若若A可逆可逆,数数 0,则则 A可逆可逆,且且(A)1=证证由推论得由推论得4、若若A、B为同阶方阵为同阶方阵,且均可逆且均可逆,则则AB亦可亦可逆逆,且且(AB)1=B 1A 1证证由推论得由推论得:|A|=n|A|0 A可逆可逆=E|AB|=|A|B|0AB可逆可逆(AB)(B 1A 1)=A(BB 1)A 1=AEA 1=AA 1=E(AB)1=B 1A 1证证由推论得由推论得另外另外,定义定义:当当|A|0时时,A0=E,A k=(A 1)k、k为正整为正整数数5、若若A可逆可逆,则则A 也可逆也可逆,且且(A)1=(A 1)|A|=|A|0 A 可逆可逆A(A 1)=(A 1A)=E=E(A)1=(A 1)有有:A A=A+,(A)=A、,为整数为整数 例例1 求方阵求方阵 得逆阵得逆阵、解解:=2 0A可逆可逆大家学习辛苦了,还就是要坚持继续保持安继续保持安静静A13=7,A21=2,A22=2,A23=2,A31=1,A32=2,A33=1例例2 求求X:解解:方程两端左乘矩阵方程两端左乘矩阵,得得得得解解:方程两端右乘矩阵方程两端右乘矩阵例例3 设方阵设方阵A满足满足A2 A 2E=0,证明证明:A,A+2E都可逆都可逆,并求它们得逆阵并求它们得逆阵、证证A2 A 2E=0A(A E)=2E|A|0A可逆可逆A2 A 2E=0(A+2E)(A 3E)+4E=0|A+2E|0 A+2E可逆可逆利用逆阵可用于解线性方程组利用逆阵可用于解线性方程组:AX=B若若A可逆可逆,则则X=A 1B例例4 解线性方程组解线性方程组解解:把方程组写为把方程组写为:AX=B其中其中|A|=15 0A可逆可逆求得求得X=A 1B