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理论力学运动学2 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位置的方法叫自然法置的方法叫自然法。一、弧坐标一、弧坐标,自然轴系自然轴系1、弧坐标、弧坐标5-3 5-3 自然法自然法 设动点设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，为参考点，并设点并设点O的某一侧为正向，动点的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧在轨迹上的位置由弧长长s确定，视弧长确定，视弧长s为代数量，称它为动点为代数量，称它为动点M在轨迹上的在轨迹上的弧坐标。当动点弧坐标。当动点M运动时，运动时，s随着时间变化，它是时间的随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即单值连续函数，即 s=f(t)MsAB(+)(-)O3二、点的速度二、点的速度三、点的加速度三、点的加速度式中式中v 称为速度矢量在切线上的投影。称为速度矢量在切线上的投影。4切向加速度切向加速度 _ 表示速度大小的变化表示速度大小的变化法向加速度法向加速度 _表示速度方向的变化表示速度方向的变化56例例 是指刚体的平行是指刚体的平行 移动和定轴转动移动和定轴转动刚体的运动刚体的运动平行移动、定轴转动平行移动、定轴转动平面运动、定点运动、一般运动平面运动、定点运动、一般运动简单运动简单运动7大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点8得出结论得出结论:即即二、刚体平移的特点二、刚体平移的特点 平移刚体在任一瞬时各点的运动平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状，速度和加速度都一样。轨迹形状，速度和加速度都一样。即即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。A2B2A1B1OBA9一、刚体定轴转动一、刚体定轴转动 定轴转动定轴转动:刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动。刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动。通过两点的直线称为转轴通过两点的直线称为转轴,不在转轴上的各点都在垂直于转轴的不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内做圆周运动。平面内做圆周运动。二、转角和转动方程二、转角和转动方程 _转角转角,单位弧度单位弧度(rad)=f(t)_ 为转动方程为转动方程 方向规定方向规定:从从z z 轴正向看去轴正向看去,6-2 6-2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 逆时针为正逆时针为正 顺时针为负顺时针为负10三、定轴转动的角速度和角加速度三、定轴转动的角速度和角加速度定义定义代数量代数量1 1、角速度、角速度单位单位 rad/s若已知转动方程若已知转动方程112 2、角加速度、角加速度 设当设当t 时刻为时刻为 ,t+t 时刻为时刻为 +单位单位:rad/s2(代数量代数量)角加角加速度速度如果如果 与与a a同号，则转动是加速的；如果同号，则转动是加速的；如果 与与a a异号，异号，则转动是减速的。则转动是减速的。与与a a同号同号,转动加速转动加速 与与a a异号异号,转动减速转动减速O a aO a aO a aO a a123 3、匀速转动和匀变速转动、匀速转动和匀变速转动当当 =常数常数，为匀速转动为匀速转动；当当a a=常数常数，为匀变速转动为匀变速转动。常用公式常用公式与点的运动相类似。与点的运动相类似。机器中的转动部件或零件，一般都在匀速转动情况下工作。机器中的转动部件或零件，一般都在匀速转动情况下工作。转动的快慢用转动的快慢用转速转速n表示，其单位为转表示，其单位为转/分分(r/min=rpm)。则则n与与的关系为的关系为:136-3 6-3 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度 刚体定轴转动时，不在转轴上的各点都在垂直于转轴的刚体定轴转动时，不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内作平面内作圆周运动圆周运动，圆心在轴线，圆心在轴线O上，半径上，半径R等于点到转轴等于点到转轴的距离。的距离。设刚体以设刚体以 从定平面从定平面A绕定轴转动到绕定轴转动到B处；转角处；转角j j。定轴转动刚体上任一点做圆周运动定轴转动刚体上任一点做圆周运动 刚体上一点从刚体上一点从MO转到转到M，取取MO为弧坐标原点。为弧坐标原点。方向方向:沿圆周的切线沿圆周的切线,指向与转动方向指向与转动方向一致一致速度速度:BAO(+)点的弧坐标点的弧坐标:一、角速度一、角速度 与与v 的关系的关系14即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。转动的一方。15BAO(+)二、角加速度二、角加速度a a 与与an，at的关系的关系设角加速度如图所示设角加速度如图所示切向加速度切向加速度即：即：转动刚体内任一点的切向加速度转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加又称转动加速度速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，它的方向由角加速度的符号决定，当当a a是正值时，它沿圆周的切线，指向角是正值时，它沿圆周的切线，指向角j j的正向；的正向；否则相反。否则相反。法向加速度法向加速度:即：即：转动刚体内任一点的法向加速度转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度又称向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。16如果如果与与a同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度动，这时点的切向加速度at与速度与速度v的指向相同；如果的指向相同；如果与与a异号，刚体作减速转动，异号，刚体作减速转动，at与与v的指向相反。这两种情况的指向相反。这两种情况如图所示。如图所示。O a avatanMO a avatanM17 (1)(1)在在每每一一瞬瞬时时，转转动动刚刚体体内内所所有有各各点点的的速速度度和和加加速速度度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。(2)(2)在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的与半径间的夹角夹角 都有相同的值。都有相同的值。点的全加速度为点的全加速度为：（一般情况下不合成）：（一般情况下不合成）18例例试画出图中刚体上试画出图中刚体上M，N两点在图示位置时的速度和两点在图示位置时的速度和加速度。加速度。1920研究点和刚体的运动研究点和刚体的运动地面为参考系地面为参考系不同参考系上观察物体不同参考系上观察物体的运动会有不同的结果的运动会有不同的结果相对于地面运动相对于地面运动的物体为参考系的物体为参考系实际问题中需要实际问题中需要2122237-1 7-1 点的合成运动概念点的合成运动概念动动 点点定定 系系动动 系系绝对运动绝对运动相对运动相对运动绝对速度绝对速度 绝对加速度绝对加速度相对速度相对速度 相对加速度相对加速度点的运动点的运动固结于地面上的坐标系固结于地面上的坐标系固结于相对于地面固结于相对于地面运动物体上的坐标系运动物体上的坐标系绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹牵连运动牵连运动动系相对于定系的运动动系相对于定系的运动刚体运动刚体运动24动动 点点动动 系系不同瞬时，动点在不同瞬时，动点在动系中的位置不同。动系中的位置不同。牵连点牵连点设想该瞬时将该动点固结在动系上，而随着动系一起设想该瞬时将该动点固结在动系上，而随着动系一起运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体的拖带或牵连而产生的速度和加速。的拖带或牵连而产生的速度和加速。相对运动相对运动牵连点是牵连点是动系上的点，动系上的点，不同瞬时牵连点不同！不同瞬时牵连点不同！在某瞬时，动系中在某瞬时，动系中与动点相重合的点。与动点相重合的点。牵连点对定系的速度和加速度分别称为牵连点对定系的速度和加速度分别称为 的牵连速度的牵连速度 与牵连加速度与牵连加速度 动点动点25动点：动点：AB杆上杆上A点点动系：固结于凸轮上动系：固结于凸轮上定系：固结在地面上定系：固结在地面上凸凸轮轮顶顶杆杆机机构构26绝对运动：铅直绝对运动：铅直运动运动相对运动：曲相对运动：曲线线(圆弧圆弧)运动运动牵连运动：凸轮牵连运动：凸轮直线平移直线平移27绝对速度绝对速度：相对速度相对速度：牵连速度牵连速度：28绝对加速度：绝对加速度：相对加速度：相对加速度：牵连加速度：牵连加速度：29动点：动点：AB杆上的杆上的A点点 动系：偏心轮动系：偏心轮绝对运动：直线绝对运动：直线相对运动：圆周（曲线）相对运动：圆周（曲线）牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动30313233绝对运动：曲线（圆周）绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线相对运动：直线牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动圆圆轮轮摇摇杆杆机机构构动点：动点：A（在圆盘上（在圆盘上)动系：动系：OA摆杆摆杆定系：机架定系：机架34摇杆滑道机构摇杆滑道机构绝对运动：点绝对运动：点A的水平直线运动；的水平直线运动；相对运动：点相对运动：点A沿沿OB轴线的运动；轴线的运动；牵连运动：牵连运动：OB杆的定轴转动。杆的定轴转动。动点：销子动点：销子A(CD上上);动系：固结于动系：固结于OB。35曲柄滑块机构曲柄滑块机构动点：动点：O1A上上A点点;动系：固结于动系：固结于BCD上。上。绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动相对运动：直线运动;牵连运动：牵连运动：BCD平移平移动点：动点：BCD上的套筒上的套筒F点点;动系：固结于动系：固结于O2E上。上。绝对运动：直线运动；绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。牵连运动：定轴转动。再选再选36刨床机构刨床机构3738相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。39相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。40相对轨迹清楚，可以确定相对速度和相对加速度的方位。相对轨迹清楚，可以确定相对速度和相对加速度的方位。41424344说明：说明：va动点的绝对速度；动点的绝对速度；vr动点的相对速度；动点的相对速度；ve动点的牵连速度，是动系上一点动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点牵连点)的速度的速度动系作平移时，动系上各点速度都相等动系作平移时，动系上各点速度都相等;动系作转动时，动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。动点相重合点的速度。即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。矢量和，这就是点的速度合成定理。7-2 7-2 点的速度合成定理点的速度合成定理45点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小，方向点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小，方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。二、应用举例二、应用举例解：选取动点解：选取动点:物块物块A，动系，动系:小车小车相对运动相对运动:铅直直线铅直直线;相对速度相对速度vr=v2 牵连运动牵连运动:平移平移;牵连速度牵连速度ve=v1 绝对运动绝对运动:曲线，轨迹未知曲线，轨迹未知;绝对速度绝对速度va 的大小、方向待求。的大小、方向待求。例例 桥式吊车桥式吊车 已知：小车水平运行，速已知：小车水平运行，速度为度为v1，物块，物块A相对小车垂直上升的速度相对小车垂直上升的速度为为v2。求物块。求物块A的运行速度。的运行速度。v1v2A作出速度平四边形如图示，则作出速度平四边形如图示，则物块物块的速度大小和方向为的速度大小和方向为由速度合成定理：由速度合成定理：vevrva 4647由速度合成定理由速度合成定理 va=ve+vr，作出速度平行四边形作出速度平行四边形 如图示。如图示。解：动点取直杆上解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘。点，动系固结于圆盘。绝对速度绝对速度 va=?待求，待求，方向方向/AB 相对速度相对速度 vr =?未知，未知，方向方向 CA 牵连速度牵连速度 ve=OA =2e ，方向方向 OA例例 圆盘凸轮机构圆盘凸轮机构已知：已知：OC=e，凸轮角速度，凸轮角速度。图图示瞬时，示瞬时，OC CA 且且 O、A、B三点共线。三点共线。求从动杆求从动杆AB的速度。的速度。ReCO ABvavevrj j48例例刨床的急回机构如图所示。曲柄刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为的角速度为，通过，通过套筒套筒A带动摇杆带动摇杆O1B摆动。已知摆动。已知OA=r，OO1=l，求当，求当OA水平水平时时O1B的角速度的角速度 1。j jAO1O Bvevavr 1 1解：取解：取OA杆上杆上A点为动点，摆杆点为动点，摆杆O1B为动系。为动系。绝对速度绝对速度 va=r ，方向，方向 OA相对速度相对速度 vr =?，方向方向/O1B牵连速度牵连速度 ve=?，方向方向 O1B49由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：选取动点，动系和定系（工程问题选地面不作说明）；选取动点，动系和定系（工程问题选地面不作说明）；三种运动的分析；三种运动的分析；三种速度的分析；三种速度的分析；根据速度合成定理根据速度合成定理 作出速度平行四边形。作出速度平行四边形。根据速度平行四边形，求出未知量。根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。动点、动系的选择原则动点、动系的选择原则动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体，否则绝，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）50解：以小环解：以小环M为动点，动系取在为动点，动系取在AB杆上，动点的速度合成杆上，动点的速度合成矢量图如图。矢量图如图。由图可得：由图可得：例例 水平直杆水平直杆AB在半径为在半径为r的固定圆环上以匀速的固定圆环上以匀速u竖直下落，竖直下落，如图。求套在该直杆和圆环交点处的小环如图。求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。的速度。uABOMrj jvrvave51解解：取取套套筒筒A为为动动点点，动动系系与与OC固连，分析固连，分析A点速度，有点速度，有 例例 求图示机构中求图示机构中OC杆端点杆端点C的速度。其中的速度。其中v与与 已知，已知，且设且设OA=a,AC=b。P355例例14-4 vA BCOvC OCvavevr52 分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。可以发现，凸轮上触点为动点。可以发现，凸轮上C的轨迹是直线，若选的轨迹是直线，若选OA为为动系，其相对轨迹也容易确定是直线。动系，其相对轨迹也容易确定是直线。例例 已知已知:凸轮半径凸轮半径r，图示位置时其速度为，图示位置时其速度为v，=300。杆杆OA靠在凸轮上，求杆靠在凸轮上，求杆OA的角速度。的角速度。OAC53OAC解解:取凸轮上取凸轮上C点为动点点为动点,动系固结于动系固结于OA杆上。杆上。绝对运动绝对运动:直线运动直线运动,绝对速度绝对速度:相对运动相对运动:直线运动直线运动,相对速度相对速度:牵连运动牵连运动:定轴转动定轴转动,牵连速度牵连速度:如图示。如图示。根据速度合成定理根据速度合成定理作出速度平行四边形作出速度平行四边形（）54va解解 取取M为动点，为动点，AB为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。取取M为为动动点点，CD为为动动坐坐标标系系，相对速度、牵连速度如图。相对速度、牵连速度如图。由上面两式可得：由上面两式可得：其中其中M例例AB杆杆以以速速度度v1向向上上作作平平移移，CD杆杆斜斜向向上上以以速速度度v2作作平平移移，两条杆的夹角为两条杆的夹角为，求套在两杆上的小环，求套在两杆上的小环M的速度。的速度。P194、7-13BCD Av2v1ve1vr1vr2ve255将等式两边同时向铅直轴投影将等式两边同时向铅直轴投影则动点则动点M的绝对速度为：的绝对速度为：vr2ve2vaMBCD Av2v1ve1vr1567-3 7-3 牵连运动为平移时点的加速度合成定理牵连运动为平移时点的加速度合成定理由于牵连运动为平移，故由于牵连运动为平移，故由速度合成定理由速度合成定理对对t求导求导 设有一动点设有一动点M按一定规律沿着固连于动系按一定规律沿着固连于动系Oxyz的曲线的曲线AB运运动，曲线动，曲线AB同时又随同动系同时又随同动系Oxyz相对定系相对定系Oxyz平移。平移。OxyzaOOxyzvOABM57牵连运动为平移时点的加速度合成定理牵连运动为平移时点的加速度合成定理即当牵连运动为平移时，动点的即当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。对加速度的矢量和。一般式可写为：一般式可写为：OxyzaOOxyzABMae=aOaraa(其中其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平移，故为动系坐标的单位矢量，因为动系为平移，故它们的方向不变，是常矢量，所以它们的方向不变，是常矢量，所以)58解解1 1 用运动方程求解。因推杆作平移，用运动方程求解。因推杆作平移，其上各点的速度和加速度都相同，现取其上各点的速度和加速度都相同，现取推杆上与凸轮的接触点推杆上与凸轮的接触点M分析：分析：例例平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB可沿导轨上下移动，偏心凸轮可沿导轨上下移动，偏心凸轮 绕轴绕轴O转动，轴转动，轴O位于顶杆轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表位于顶杆轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表 面。该凸轮半径为面。该凸轮半径为R，偏心距，偏心距OC=e，凸轮绕轴，凸轮绕轴O转动的角速度为转动的角速度为，角加速度为角加速度为a a。求。求OC与水平线成夹角与水平线成夹角j j 时顶杆的速度和加速度。时顶杆的速度和加速度。yBACOj jxa a M59解解2 2 取圆盘的中心取圆盘的中心C为动点，动系与平底推杆为动点，动系与平底推杆AB固连。分析动点的速度和加速度如图所示。固连。分析动点的速度和加速度如图所示。Cj jj j可求得：可求得：向向y轴投影：轴投影：ABCOj ja a vevavrj j60解：取杆上的解：取杆上的A点为动点，动系与凸轮固连。点为动点，动系与凸轮固连。例例已知凸轮半径为已知凸轮半径为R，其速度和加速度分别为，其速度和加速度分别为v0和和a0。求求j j=600时时，顶杆顶杆AB的加速度。的加速度。ABCv0a0j j绝对速度绝对速度va=?，方向，方向/AB；绝对加速度；绝对加速度aa=?，方向，方向/AB相对速度相对速度vr =?，方向，方向 AC；相对加速度相对加速度art=?方向方向 AC arn=vr2/R，方向沿方向沿AC指向指向C牵连速度牵连速度ve=v0，方向方向水平；牵连加速度水平；牵连加速度 ae=a0，方向方向水平水平61由速度合成定理由速度合成定理作出速度平行四边形，如图示。作出速度平行四边形，如图示。ABCv0a0j jvavevrj j因牵连运动为平移，故有因牵连运动为平移，故有其中其中作加速度矢量图如图示。作加速度矢量图如图示。aaaearnartj j62整理得整理得ABCv0a0j jaaaearnartj j将矢量方程将矢量方程 投影到投影到 轴上，得轴上，得 3 3个矢量个矢量组成的方程，通常用组成的方程，通常用几何法求解几何法求解！例如！例如3个力平个力平衡，画力三角形求解，速度合成定理衡，画力三角形求解，速度合成定理3个矢量，用三角形求个矢量，用三角形求解！解！3 3个以上的矢量个以上的矢量组成的方程，通常用组成的方程，通常用解析法解析法求解，即采求解，即采用用投影的方法投影的方法求解。求解。左边矢量在某轴上的投影左边矢量在某轴上的投影=右边矢量在同一轴上的投影右边矢量在同一轴上的投影63BACDEO300600 O例例图示平面机构，已知：图示平面机构，已知：OA=r，O为常数，为常数，BC=DE，BD=CE=l，求图示位置，杆求图示位置，杆BD的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。P181例例7-9解解：动点：动点：A点点(OA杆杆)，动系：动系：BC杆杆vavrve由几何关系得由几何关系得 BD根据牵连运动为平移的加速度合成定理根据牵连运动为平移的加速度合成定理araaA300300300在铅直轴上投影得在铅直轴上投影得a aBD64 设一圆盘以匀角速度设一圆盘以匀角速度 绕定轴绕定轴顺时针转动，盘上圆槽内有一点顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以以大小不变的速度大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，沿槽作圆周运动，那么那么M点相对于静系的绝对加速度应点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？是多少呢？R O 上一节我们证明了牵连运动为平移时的点的加速度合成上一节我们证明了牵连运动为平移时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。否还适用呢？下面我们来分析一特例。7-4 7-4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理vrM65牵连运动为定轴转动，其牵连速度和加速度为牵连运动为定轴转动，其牵连速度和加速度为（方向如图）（方向如图）由速度合成定理可得由速度合成定理可得选点选点M为动点，动系固结与圆盘上，为动点，动系固结与圆盘上，则则M点的相对运动为匀速圆周转动，点的相对运动为匀速圆周转动，即绝对运动也为半径为即绝对运动也为半径为R的匀速圆周运动，所以的匀速圆周运动，所以方向指向圆心方向指向圆心点点R MOvevrar（方向如图）（方向如图）ae66 分析上式：分析上式：还多出一项还多出一项2vr。可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度aa 并不并不等于牵连加速度等于牵连加速度ae 和相对加速度和相对加速度ar 的矢量和。那么他们之间的矢量和。那么他们之间的关系是什么呢？的关系是什么呢？2vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？又是怎样出现的呢？它是什么呢？下下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。度合成定理。67点点的的加加速速度度合合成成定定理理：动动系系转转动动时时，动动点点在在某某瞬瞬时时的的绝绝对对加加速速度度等等于于该该瞬瞬时时它它的的牵牵连连加加速速度度、相相对对加加速速度度与与科科氏氏加加速度的矢量和。速度的矢量和。令,称为科氏加速度，于是有法国科里奥利。法国科里奥利。1792-184368牵连运动为转动时，加速度合成定理为牵连运动为转动时，加速度合成定理为一般式一般式 一般情况下科氏加速度一般情况下科氏加速度 的计算可以用矢积表示的计算可以用矢积表示方向：按右手法则确定。方向：按右手法则确定。大小：大小：69点点M2 的科氏加速度的科氏加速度解：点解：点M1的科氏加速度的科氏加速度垂直板面向里垂直板面向里。例例 矩形板矩形板ABCD以匀角速度以匀角速度 绕固定轴绕固定轴 z 转动，点转动，点M1和点和点M2分别沿板的对角线分别沿板的对角线BD和边线和边线CD运动，在图示位置时相对于板的运动，在图示位置时相对于板的速度分别为速度分别为 v1和和v2，计算点，计算点M1、M2的科氏的科氏加速度大小，并图示其方向。加速度大小，并图示其方向。DABC工工程程中中常常见见的的平平面面机机构构中中 e和和vr是是垂垂直直的的，此此时时aC=2evr；且且真真实实的的vr顺顺 e实实际际转转向（逆时钟、顺时钟）转向（逆时钟、顺时钟）转900就是就是aC的方向。的方向。900 evraC70解解:动点：顶杆上动点：顶杆上A点；点；动系：凸轮动系：凸轮 根据速度合成定理根据速度合成定理作出速度平行四边形，求得作出速度平行四边形，求得由牵连运动为转动时的加速度合成定理由牵连运动为转动时的加速度合成定理例例 已知凸轮机构以匀角速度已知凸轮机构以匀角速度 绕绕O轴转动，轴转动，图示瞬时图示瞬时OA=r，A点的曲率半径点的曲率半径，已知。已知。求该瞬时顶杆求该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。的速度和加速度。ABO n vavevr 71ABO n 相对加速度相对加速度方向沿方向沿n方向垂直方向垂直n绝对加速度绝对加速度牵连加速度牵连加速度A指向指向O科氏加速度科氏加速度vr顺顺 的转向转的转向转900，即，即n的反方向。的反方向。aCaaaearnart将方程将方程 向向 n 轴投影：轴投影：得得72例例刨刨床床的的急急回回机机构构如如图图所所示示，曲曲柄柄OA以以匀匀角角速速度度 绕绕O转转动动，通通过过滑滑块块A带带动动摇摇杆杆O1B摆摆动动。已已知知OA=r，OO1=l，求求当当OA水水平时平时O1B的角速度的角速度 1和角加速度和角加速度a a1。j jAO1O B解解：选选取取滑滑块块A作作为为研研究究的的动动点点，把把动动系固定在摇杆系固定在摇杆O1B上。作速度矢图。上。作速度矢图。vevavr 1 173AO1OB1a1araaaC由于动参考系作转动，因此加速度合成定理为：由于动参考系作转动，因此加速度合成定理为：假设假设a a1的转向的转向为顺时针转向。为顺时针转向。aenaet可以不算可以不算74h为了求得为了求得aet，应将加速度合成定理向轴，应将加速度合成定理向轴h h投影：投影：即：即：得：得：摇杆摇杆O1B的角加速度的角加速度：负号表示负号表示a a1的转向应为逆时针转向。的转向应为逆时针转向。AO1OB1a1araaaCaenaet75解：速度分析解：速度分析1）取套筒）取套筒A为动点，动系与摇杆为动点，动系与摇杆O2B固连。固连。例例牛头刨床机构如图所示。已知牛头刨床机构如图所示。已知 O1A=200mm，以匀角速度以匀角速度 1=2rad/s 转动，求图示位置滑枕转动，求图示位置滑枕CD的速度和加速度。的速度和加速度。P197、7-27650CDO2O1BA 130由速度合成定理作速度矢图可得由速度合成定理作速度矢图可得 ：va1vr1ve1 276 650CDO2O1BA 130 22）取套筒）取套筒B为动点，动系与滑枕为动点，动系与滑枕CD固连。固连。由速度合成定理作速度矢图可得由速度合成定理作速度矢图可得：va2ve2vr2滑枕滑枕CD的速度为的速度为加速度分析加速度分析由由A点的加速度合成定理有点的加速度合成定理有AaC在在 轴上投影得轴上投影得于是于是77O2B杆的角加速度为杆的角加速度为650CDO2O1BA 130 2a a2由由B点的加速度合成定理有点的加速度合成定理有B为了清晰为了清晰画在向上画在向上将各加速度向水平方向投影得：将各加速度向水平方向投影得：滑枕滑枕CD的加速度为的加速度为78第七章点的合成运动习题课第七章点的合成运动习题课一、概念及公式一、概念及公式 1、一点、二系、三运动、一点、二系、三运动 点的绝对运动为点的相对运动点的绝对运动为点的相对运动 与牵连运动的合成与牵连运动的合成 2、速度合成定理、速度合成定理 3、加速度合成定理、加速度合成定理 牵连运动为平移时牵连运动为平移时 牵连运动为转动时牵连运动为转动时注意加速度切注意加速度切向和法向分量向和法向分量79二、解题步骤二、解题步骤1、选择动点、动系和定系。、选择动点、动系和定系。2、分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。、分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3、作速度分析，画出速度平行四边形，求出有关未知量、作速度分析，画出速度平行四边形，求出有关未知量 (速度，角速度）。速度，角速度）。4、作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加、作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加 速度、角加速度未知量。速度、角加速度未知量。80 三、解题技巧三、解题技巧1、恰当地选择动点和动系、恰当地选择动点和动系,应满足选择原则，具体地有：应满足选择原则，具体地有：两个不相关的动点，求二者的相对速度。两个不相关的动点，求二者的相对速度。根据题意，选择其中之一为动点，动系为固结于另一根据题意，选择其中之一为动点，动系为固结于另一 点的坐标系。点的坐标系。运动刚体上有一动点，点作复杂运动。运动刚体上有一动点，点作复杂运动。该点取为动点，动系固结于运动刚体上。该点取为动点，动系固结于运动刚体上。机构传动，传动特点是在一个刚体上存在一个不变的机构传动，传动特点是在一个刚体上存在一个不变的 接触点，相对于另一个刚体运动。接触点，相对于另一个刚体运动。例如导杆滑块机构，取滑块为动点，动系固结于导杆。凸轮挺例如导杆滑块机构，取滑块为动点，动系固结于导杆。凸轮挺杆机构，取杆上与凸轮接触点为动点，动系固结与凸轮。摇杆杆机构，取杆上与凸轮接触点为动点，动系固结与凸轮。摇杆滑道机构，取滑道中的点为动点，摇杆为动系等。滑道机构，取滑道中的点为动点，摇杆为动系等。81特殊问题，特点是相接触两个物体的接触点位置都随时特殊问题，特点是相接触两个物体的接触点位置都随时 间而变化，此时，这两个物体的接触点都不宜选为动点，间而变化，此时，这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。2、速度问题，一般采用几何法求解简便，即作出速度平行、速度问题，一般采用几何法求解简便，即作出速度平行 四边形求解，超过三个矢量，必须采用解析法求解四边形求解，超过三个矢量，必须采用解析法求解；3、加速度问题，往往超过三个矢量，一般采用解析（投影）、加速度问题，往往超过三个矢量，一般采用解析（投影）法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定，大多法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定，大多在在 相对轨迹的法向投影相对轨迹的法向投影。82 四、注意问题四、注意问题 1、牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。、牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。2、牵连为转动时加速度分析不要丢掉、牵连为转动时加速度分析不要丢掉，正确分析和计算。，正确分析和计算。3、加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，特别要注意与、加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，特别要注意与 静力平衡方程的投影式不同。静力平衡方程的投影式不同。4、圆周运动时，、圆周运动时，非圆周运动时，（非圆周运动时，（r 为曲率半径）为曲率半径）83解解：动点：动点：OA杆上杆上 A点点;动系：固结在滑杆上。动系：固结在滑杆上。绝对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，铅直方向铅直方向 牵连运动：平移；牵连运动：平移；方向水平，方向水平，大小待求。大小待求。例例 曲柄滑杆机构曲柄滑杆机构已知已知:OA=l，j j=450 时，时，a a；求小车的速度与加速度。求小车的速度与加速度。84小车的速度小车的速度：根据速度合成定理根据速度合成定理 作出速度平行四边形作出速度平行四边形,如图示如图示在水平方向投影：在水平方向投影：，方向如图示方向如图示 小车的加速度小车的加速度：根据牵连运动平移的加速度合成定理根据牵连运动平移的加速度合成定理作出加速度矢量图如图示作出加速度矢量图如图示。vavevraanj jaeaatAar85解解：动点动点:销子销子D(BC上上);动系动系:固结于固结于OA。绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，沿，沿OA 线线牵连运动：定轴转动，牵连运动：定轴转动，根据速度合成定理根据速度合成定理作出速度平行四边形，如图示作出速度平行四边形，如图示。例例已知摇杆滑道机构已知摇杆滑道机构h，v，a。求。求:OA杆的杆的 ，a a。（）vevrvaD 86投至投至 轴轴：根据牵连运动为转动的加速度合成定理根据牵连运动为转动的加速度合成定理作加速度矢量图。作加速度矢量图。（）aaDaetaenarz z aC87解解：动点：动点：O1A上上A点；动系：固结于点；动系：固结于BCD上。上。绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动相对运动：直线运动;牵连运动：平移牵连运动：平移;，水平方向水平方向例例已知曲柄滑块机构已知曲柄滑块机构O1A=r,1 1,h。图时瞬时。图时瞬时O1A/O2E。求求 该瞬时该瞬时O2E杆的杆的 2 2。88 根据根据 作出速度平行四边形作出速度平行四边形再选动点：再选动点：BCD上上F点点动系：固结于动系：固结于O2E上，上，绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动，根据根据作出速度平行四边形作出速度平行四边形（）vevrvaA vFevFrvFaF 89例例 图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径R=OA=10cm，已知，已知曲柄绕轴曲柄绕轴O以匀速以匀速n=120rpm转动，求当转动，求当=300时滑道时滑道BCD的的速度和加速度。速度和加速度。nROO1ABCDvavrve解解：取取滑滑块块A为为动动点点，动动系系与与滑滑道道BCD固连。作速度平行四边形。固连。作速度平行四边形。求得曲柄求得曲柄OA转动的角速度为转动的角速度为 由速度合成定理由速度合成定理9012030hAOO1ABCDaeaa由加速度合成定理得由加速度合成定理得 将加速度向将加速度向h h轴上投影有：轴上投影有：速度图在原图上画，速度图在原图上画，加速度图在边上画，加速度图在边上画，保持方向一致。保持方向一致。arnart91解解:取凸轮上取凸轮上C点为动点，动系固点为动点，动系固结于结于OA杆上。杆上。绝对运动绝对运动:直线运动；相对运动直线运动；相对运动:直线直线运动；牵连运动运动；牵连运动:定轴转动。定轴转动。分析分析:由于接触点在两个物体上的位置由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。均是变化的，因此不宜选接触点为动点。例例 凸轮机构凸轮机构已知：凸轮半径为已知：凸轮半径为R，图示瞬时，图示瞬时O、C在一条铅直线上在一条铅直线上；已知已知:，v，a。求该瞬时求该瞬时OA杆的角速度和角加速度。杆的角速度和角加速度。方向方向92作出速度平行四边形作出速度平行四边形根据根据根据根据作出加速度矢量图作出加速度矢量图投至投至 轴：轴：转向由上式符号决定，转向由上式符号决定，a a 0 0则逆时针，则逆时针，a a 0 0 则顺时针。则顺时针。()vaCveaaCaetaenarz z 93例例 刨床机构刨床机构已知已知:主动轮主动轮O转速转速 n=30 r/minOA=150mm，图示瞬时，图示瞬时，OA OO1求求O1D杆的角速度杆