行列式按一行列展开.pptx

引入引入可见，三级行列式可通过二级行列式来表示可见，三级行列式可通过二级行列式来表示一一 余子式、代数余子式余子式、代数余子式定义定义在在 n 级行列式级行列式 中将元素中将元素 所在的所在的第第 i 行行与第与第 j 列划去，剩下列划去，剩下 个元素按原位置个元素按原位置次序构成一个次序构成一个 级的行列式，级的行列式，称之为元素称之为元素 的的余子式余子式,记作记作 令令称称 之为元素之为元素 的的代数余子式代数余子式注：注：行列式中每一个元素分别对应着一个余子式行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式和代数余子式无关，只与该元素的在行列式中的位置有关无关，只与该元素的在行列式中的位置有关 元素元素 的余子式和代数余子式与的余子式和代数余子式与 的大小的大小元素除元素除 外都为外都为 0，则，则1.1.引理引理二二 行列式按行行列式按行(列列)展开法则展开法则若若n 级行列式级行列式 D=的的 中第中第 i 行所有行所有证：证：先证的情形，即先证的情形，即由行列式的定义，有由行列式的定义，有结论成立。结论成立。一般情形：一般情形：结论成立。结论成立。2.2.定理定理行列式行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，对应的代数余子式乘积之和，即即或或行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则证：证：例例如如.计算行列式计算行列式 解：解：例例如如.证明范德蒙行列式证明范德蒙行列式 证：用数学归纳法证：用数学归纳法.时，时，假设对于假设对于 级范德蒙行列式结论成立即级范德蒙行列式结论成立即结论成立结论成立把把 从第从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的行开始，后面一行减去前面一行的倍，得倍，得下证对于下证对于 n 级范德蒙行列式级范德蒙行列式 结论也成立结论也成立.范德蒙行列式范德蒙行列式 中至少两个相等中至少两个相等注：注：3.3.推论推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证相同相同 当当 时时,同理可证同理可证,综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：例例如如.设设 求求 解：解：和和例如例如.证明：证明：三三 总结总结 1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具。式的计算化为低阶行列式计算的重要工具。练习：练习：1.计算行列式计算行列式2.设设 求求答案：答案：