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第一章第一章 有理数复习有理数复习一、正数，负数的定义正数，负数的定义：大于 0 的数叫做正数；小于 0 的数叫做负数。注意：注意：1 1、0 既不是正数也不是负数。2、a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示 0 时，-a 仍是 0 练习：1、带+号的数是正数，带-号的数是负数，对吗？2、如果收入 50 元记作+50 元，那么支出 80 元应该记作 没有收入也没有支出记作 3、七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为 85 分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均分记正，将五名同学的成绩分别记作15 分，4 分，0 分，4 分，15 分。这五名同学的总分？二、有理数的分类二、有理数的分类:负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 注意：注意：1 1、是无限不循环小数不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。2、引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8也是偶数，-1,-3,-5也是奇数。练习：观察下面 9 个数，并给它们进行分类 5、5.6、-6、-3.7、0、3、-2、9/3、-1/2、0020整数：分数：正数：负数：3、数轴数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.注意注意：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数（如，数轴上的点 不是有理数）练习练习 1 1、在数轴上记出下列各数：在数轴上记出下列各数：2 2，2 25 5，2 2，1.51.5，2、如图，数轴上所标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点表示的数为（）AA、30 B、50 C、60 D、803、数轴上到 1 距离 5 个单位长度的点表示的数是（）A+6 B-4 C+6 或-44、有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示，求的值ccbbaa四、相反数：四、相反数：有符号不同的两个数叫做互为相反数。一般地 a 的相反数是a 特别：0 的相反数还是 0注意：1、互为相反数的两个数一定一正一负或者同时为 0；2、相反数的和为相反数的和为 0 0 即即 a a，b b 互为相反数，则互为相反数，则 a+b=0a+b=0 3 3、相反数的商为、相反数的商为-1.-1.即即 a a，b b 互为相反数，则互为相反数，则=-1-1(a0,b0)ba 2、多重符号的化简规律:“+”号可以直接省略；“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。例：3 的相反数是：；9 的相反数是：；5+5=；7（-7）=；5-a 的相反数 -（-（+（-5）=练习：1.1.6 是_的相反数，_的相反数是 0.3 -5 的相反数是_；a 的相反数是_；a-b 的相反数是_ ab0c 2、若 a=-13，则-a=；若-a=-6，则 a=3、如果a与 1 互为相反数，则|2|a等于（）A2B2C1D14、若 a 和 b 互为相反数，则 a+b=5、-（-5）=-=4-五、绝对值五、绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值(1)正数的绝对值等于它本身，（2）0 的绝对值是 0，（3）负数的绝对值等于它的相反数；注意：1、绝对值可表示为：)0a(a)0a(0)0a(aa 2、|a|是重要的非负数，即|a|0|a|0；3、相反数的绝对值相等4、若几个数的绝对值的和等于 0，则这几个数就同时为 0。即|a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0。练习 1、.求下列各数绝对值：8.58.5、-5-5、，0.30.3，0 0 ，-8.5-8.5 74742、.；_412_5 _5 _5 _)3.0(3、；（2）绝对值最小的数是_._32)1(相反数是（3）绝对值等于本身的数是_；（4）绝对值小于 3 的正整数是_4、已知，则 a 的值是（)aaA、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数5、绝对值不大于 5 的所有正整数的和为_绝对值小于 4 的整数的积_6、的值是则，b-a4b3a_六六.倒数倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；a=1，则 a 与互为倒数。a1a1注意：1、互为倒数的两个数符号相同 2、0 没有倒数 3、互为倒数的两个数积为互为倒数的两个数积为 1.1.即即 a a，b b 互为倒数，则互为倒数，则 ab=1ab=1 4、求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；例：-7 的倒数 ;-的倒数 。的倒数 ;的倒数71431711七、有理数比大小：七、有理数比大小：1、正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。2、两个负数比较，绝对值大的反而小；3、数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；练习 1、比较下列有理数的大小-（-5）和-（+3）与 0 54354与14.3 与2、若 m0，n|n|，用“”把、连接起来。mmnn八、有理数加法八、有理数加法.1、有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与 0 相加，仍得这个数.例：5+3=8；-5+(-3)=-8；5+(-3)=2；3+(-5)=-2；5+(-5)=0；-5+5=0 5+0=5；-5+0=-5练习:1、有理数的加法：直接写出结果（1）(-17)+(-15)（2）(+12)+(+14)（3）(+3)+(-5)（4）-0.3+4.7 （5）(-2)+2 九有理数加法的运算律：1、加法的交换律：a+b=b+a；2、加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.运用运算律的规律：（1）、互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”；（2）、分母相同的数先相加“同分母结合法”；（3）、几个数相加得到整数，先相加“凑整法”；（4）、符号相同的两个数先相加“同号结合法”练习、1、如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（）。A 都是负数B 一个是正数，一个是负数C 一个是正数，一个是 0D.以上三种情况都有可能2、计算 )75()65()72(61)1(67314213)2(3、已知与互为相反数，求的值。132x122yxy4、小明在一条南北方向的公路上散步，他从 A 地出发，每 10 分钟记录自己的散步情况（向南为正方向，单位：米），1 小时后停下来时记录如下：-1008，1100，-976，1010，-827，946此时他在 A 地的什么方向，距离 A 地多远？小明散步共走了多少米？5、a 与 b 互为相反数，b 与 c 相乘的积是最大的负整数，d 与 e 的和等于-2，则edbcbabc的值是多少？十有理数减法法则十有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即 a-b=a+（-b）练习 1、有理数的减法：计算（1）(14)(+16)（2）(+6)(13)（3）(7)(10)（4）(+5)(+9)（5）15(15)（6）013 （7）16382、下列说法正确的是（）A.两数相减，被减数一定大于减数B.0 减去一个数仍得这个数C.互为相反的两个数差为 0D.减去一个正数，差一定小于被减数有理数加减混合运算有理数加减混合运算在有理数加减法混合运算中，将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。有理数的减法法则：减去一个有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数数，等于加上这个数的相反数。在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.练习 1、计算(1)(-7)-(+5)+(-4)-(-10)(2)(-0.8)+1.2+(-0.7)-(+2.1)-(-0.8)+(+3.5)（3）-+-1 （4）(+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)4327）（61-）（32-438132（5）2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69 （6）（1+3+5+7+99）-（2+4+6+8+100）（7）-3+10-12+4512211572、以地面为基准，A 处高+2.5 米，B 处高为-17.8 米，C 处高-32.44m，问：（1）A 处比 B 出高多少？（2）B 处和 C 处哪个高？高多少？（3）A 处和 C 处哪个低？低多少？3、某摩托车厂本周计划每日生产 250 辆摩托车，由于工人实行轮休，每天上班人数不一定相等，实际每日产量与计划每日产量相比情况如下表：（增加的辆数为正数，减少的辆数为负数）星期一二三四五六日增减-5+7-3+4+10-9-25（1）求星期日生产摩托车多少辆？（2）本周总产量与计划产量相比是增加了，还是减少了？差是多少？（3）产量最多的一天与产量最少的一天的产量差是多少？十一、有理数的乘除法十一、有理数的乘除法1.有理数的乘法法则（1）：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）：任何数同 0 相乘，都得 0；（3）：几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；（4）：几个数相乘，如果其中有因数为 0,则积等于 0.2.有理数的乘法运算律乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即 ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即 a(b+c)=ab+ac3.有理数的除法法则（1）除以一个不等 0 的数，等于乘以这个数的倒数。（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 04、有理数四则运算法则：先乘除，后加减，有括号先算括号里的。十二、有理数的乘方十二、有理数的乘方1.乘方的概念求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。na2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。（2）正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。有理数的混合运算有理数的混合运算法则：任何运算都要先确定符号在进行绝对值的运算。步骤：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行练习 1、计算（1）（2）2003225)1()21()2(4123234931232（3）（4）2321.0254.001.013228324123223(5)（6）14332149252222.3535436224、若 a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是 2，求的值。cdmcdba5、若 ab0,且，则 a+b 0（填“”“”）ba f十三、科学记数法十三、科学记数法把一个大于 10 的数表示成 的形式（其中，n 是正整数），这种记数法是科学记数法。十五、近似na 10101 a数的精确度：两种形式 精确到某位或精确到小数点后某位。保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示。例如：256000（精确到万位）的结果是 2.6105练习 1、光的速度大约是 300 000 000m/s，用科学计数法表示为（）。A.m/s B.m/s C.m/s D.m/s9103810371039103.02、用科学计数法表示下列各数（3）（1）7230；（2）100 000；(3)-102 600;（4）15 亿。3、用四舍五入法，取近似值：（1）1.999（精确到 0.01）；（2）0.03049（保留 2 个有效数字）；（3）67294（精确到万位）；（4）5864（保留 2 个有效数字）强化练习一、填空题1.计算（1）+=_31416573（2）+=_316532612.将(3)+(2)(+7)(6)去括号后可变形为_.3.与的相反数的绝对值之和是_.21324.已知 a、b 互为相反数，c 是绝对值最小的数，d 是负整数中最大的数，则 a+b+cd=_.5.若|2x3|+|3y+2|=0，则 xy=_.6、某次考试初一年级数学平均分为 73 分，其中最高分高出平均分 25 分，最低分比平均分低 24 分，请问最高分比最低分高_分.7.某地上午气温为 5，中午气温上升 7，晚上又下降了 16，则晚上的气温为_.8.（1）当 a0 时，a，a，a，2a，3a，由小到大的排列顺序为_.2132（2）当 b0 时，a+2b，a+b，ab，a2b，a，由小到大的顺序为_.二、选择题9.如果|c|=c，则 c一定是 21A.正数 B.负数C.0 D.可能为正数也可能为负数10.与 a+bc 的值相等的是 A.a(b)(c)B.a(b)(+c)C.a+(b)c D.a+(cb)11.如果一个整数加 4 为正，加 2 为负，那么这个数与2 的和为 A.4 B.5 C.5 D.412.下面等式错误的是 A.=(+)B.5+2+4=4(5+2)213151213151C.(+3)(2)+(1)=3+21 D.234=(2)(+3)+(4)三、解答题13.计算（1）()(.)(.)(.)(.)1889754235 2）()()()()()1141211453314294163（3）4553186()()（4）0313922516.（5）()()()()325611438143 （6）495835493845()()（7）12（18）（7）15；14.已知 a=2，b=3，c=1，计算|ab|+|bca|+|3b4c|.15.张三在鱼窝头大道用摩托车搭客,以向市桥方向为正,向南沙方向为负.开始在马克路口,某天走了七趟的记录如下(单位:km)+12,-6,+8,-8,-7.5,+6.5,+7.问:(1)七趟后张三在马克路口的那个方向?距离马克路口多远?(2)张三某天走的路程是多少?(3)如果每走 1kg,要耗油 0.1 升,请问这天耗油多少升?一填空题一填空题计算：._)1()1(101100、平方得的数是_；立方得64 的数是_.412、观察下面一列数的规律并填空：0，3，8，15，24，_.用“”、“”、“”号填空:（1）；（2）；1_02.043_54（3）；（4）。)75.0(_)43(14.3_722的值是_。1 23456 2001 2002数轴上表示数和表示的两点之间的距离是_。514若，则=_。0|2|)1(2baba 平方等于它本身的有理数是_，立方等于它本身的有理数是_。.我国的国土面积约为九佰六十万平方千米,用科学记数法写成约为_.2km、某数的绝对值是 5，那么这个数是 。134756 （保留四个有效数字）、()216，()3 。32、一家电脑公司仓库原有电脑 100 台，一个星期调入、调出的电脑记录是：调入 38 台，调出 42 台，调入 27 台，调出 33 台，调出 40 台，则这个仓库现有电脑 台若x+2+y-3=0，则 xy=_绝对值大于 2，且小于 4 的整数有_x 平方的 3 倍与-5 的差，用代数式表示为_，当 x=-1 时，代数式的值为_若 m，n 互为相反数，则m-1+n=_观察下列顺序排列的等式：90+1=1；91+2=11；92+3=21；93+4=31；94+5=41；猜想第 n 个等式（n 为正整数）应为_-_13、计算：（1）（2）114 1.25(12)48 4211(1 0.5)2(3)3（3）（4）15115()12(5)16816 31(1.5)(5)3.25(9)42 （5）（6）12(4)3 0.13(0.33)25 222223226()5()(6)2333 （7）（8）171311(14.9)()1 207756 22831(2)(1)0.52552142 已知，则 。420 xyzxyz 7、到的距离等于 3 的点表示的数是 。210、已知 a 和 b 互为相反数，c 和 d 互为倒数，x 的绝对值是 1，则 。2()xabcd xcd13、判断大小关系：（1）若，比较、的大小。01aa2a3a（2）若，比较、的大小。10a a2a1a14、若，则=；=。2(2)30ab2007()ab0()ab15、宇宙大约形成于 15,000,000,000 年前，用科学计数法表示为 ；0.03020 有效数字有 位。5262,1282,642,322,162,82,42,228765432117、已知有理数在数轴上对应的点如图所示，其中，化简。,a b cbacababca有理数测试有理数测试 成绩：成绩：一、填空题（每题 2 分，共 24 分）1与_互为倒数；若，那么5113a_a2如果节约 20 度电记作20 度，那么浪费 10 度电记作；如果20.50 元表示亏本 20.50 元，那么100.57元表示。3.3.某日小明在一条南北方向的公路上跑步，他从A地出发，若把向北跑 1008 m 作1008 m，那么他折回来又继续跑了 1010 m 表示，这时他停下来休息，此时他在A地的方，距A地距离为米4数轴上有理数a、b、c、d的位置如图所示：（1）其中属于分数集合的数是；（2）其中倒数小于 1 的数是5若，则；若，则；若，则02 a_a13 a_aaaa20_a6若a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的相反数是它本身，则；_)()(2dcbaxcdba7 已知，x为有理数，则代数式的值为 。12005x2008321xxxxL8当时，把按从小到大的顺序排列_ _；0bbabaa、9.按规律填写：，_，_，_，；113,93,72,52,3110.观察下列算式：通过观察，用你所发现的规律写出的末位数字是_；34211如果与互为相反数，那么;3a1a_a12把下列各数镇在相应的集合中：7，3.5，3.1415926，0，10，5，21561.0自然数集合：非正整数集合：负分数集合：非负数集合；二、选择题（每题 3 分，共 36 分）已知x与y互为相反数，y与z互为相反数，则x与z的关系为（）.互为相反数 B.互为倒数 C.相同 D.不能确定2.下列说法中不正确的是（）A3 表示的点到原点的距离是 3B一个有理数的绝对值一定是正数a0bcC一个有理数的绝对值一定不是负数D互为相反数的两个数的绝对值一定相等3若m、n为任意有理数，且，则m、n的关系为（）0nmA B.C.D.nm 0nnm 0,0nm4有理数在数轴的位置如图，则下面关系中正确的个数为（）ba、0ba0abba1122ba A1 B2 C3 D45如果，且，那么的大小关系是（）0ba0bbaba、A BbababaabC Dbabaabba6在绝对值小于 100 的整数中，可以写成整数平方的数共有（）个A18 B19 C10 D97在绝对值小于 100 的整数中，可以写成整数立方的数共有（）个A7 B8 C D18一根 1m 长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（）Am Bm Cm Dm32152162112219若 a 为有理数，使成立的n条件为（）nnaa)(A.n为偶数 B.n为奇数 C.n为非正整数 D.n为非负整数10如果a为有理数，那么下列各式一定为正数的是（）A.B.C.D.a20042004a12004aa11若，则下列结论正确的是（）10 aA.B.C.D.aaa21aaa1221aaaaaa1212若a、b都为有理数，要使与互为相反数，则应满足的条件是（）babaA B C D0a0bba ba13、我国拟设计建造的长江三峡电站，估计总装机容量将达 16780000 千瓦，用科学记数法表示总装机容量是（）（A）4101678千瓦（B）61078.16千瓦（C）710678.1千瓦（D）8101678.0千瓦三、解答题（、题共分，题分，题分，题分，共分）1.李先生上星期六买进某公司股票 7 000 股，每股 27 元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况：（单位：元）星期一二三四五六每股涨跌+4+4.512.56+2（1）这六天中，星期的股票是上涨的，星期的股票是下跌的；（2）星期的股票上涨的最多，这天收盘时每股是元2.为了解某中学毕业年级男生的身体发育情况，对 20 名男生的身高进行了测量，这 20 名男生的平均身高为 170 cm，把高于平均身高的部分记为正数，把低于平均身高的部分记为负数，结果如下（单位：cm）：5，9，0，6，3，11，9，3，1，7，9，2，5，13，3，0，4，71，11（1）5 cm 表示，0 cm 表示；（2）这 20 名男生的身高最高是，最矮是；（3）身高在 171177cm（含 171 和 177cm）范围内的人数为个3计算（每题分，共 2分）：；)311(21)411(32)76()15(94412)81(；1211211611211733)64(317)64(31)4(2142114.已知，求代数式的值：；0)2(162bab22ba 222baba5.已知；223214111；22333241921；2233343413632122333354411004321（1）猜想填空：；_3213333nK（2）计算：_201864233333L