导数的概念.doc

第二章 导数与微分
本章教学目标与要求
理解导数得概念,会利用导数定义求导数。了解导数得物理意义(速度), 几何意义(切线得斜率)与经济意义(边际), 掌握基本初等函数得导数公式,导数得四则运算法则,复合函数求导法则。掌握反函数与隐函数求导法,对数求导法。理解可导性与连续性得关系。 了解高阶导数得概念,会求简单函数得高阶导数。理解微分得概念,导数与微分之间得关系,以及一阶微分形式得不变性,会求函数得微分。
本章教学重点与难点
1.导数概念及其求导法则;
2.隐函数得导数;
3.复合函数求导;
4.微分得概念,可微与可导得关系,微分得计算
§2、1 导数得概念
教学目得与要求
1、理解函数导数得概念及其几何意义、
2、掌握基本初等函数得导数,会求平面曲线得切线与法线、
3、了解导数与导函数得区别与联系、
4、理解左右导数得概念、可导与连续得关系、
教学重点与难点
1、 函数导数得概念、基本初等函数得导数
2、 函数导数得概念、利用定义求函数在某一点得导数
一、引例
导数得思想最初就是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入得,但与导数概念直接相联系得就是以下两个问题:已知运动规律求速度与已知曲线求它得切线.这就是由英国数学家牛顿(Newton)与德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立起来得.
下面我们以这两个问题为背景引入导数得概念.
1.瞬时速度
思考:已知一质点得运动规律为,为某一确定时刻,求质点在时刻得速度。
在中学里我们学过平均速度,平均速度只能使我们对物体在一段时间内得运动大致情况有个了解, 这不但对于火箭发射控制不够,就就是对于比火箭速度慢得多得火车、汽车运行情况也就是不够得,火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定得要求, 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭得速度,而且要掌握火箭飞行速度得变化规律、
　不过瞬时速度得概念并不神秘,它可以通过平均速度得概念来把握、根据牛顿第一运动定理,物体运动具有惯性,不管它得速度变化多么快,在一段充分短得时间内,它得速度变化总就是不大得,可以近似瞧成匀速运动、通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”、 设质点运
动得路程就是时间得函数 ,则质点在 到 这段时间内得平均速度为

可以瞧出它就是质点在时刻速度得一个近似值,越小,平均速度 与 时刻得瞬时速度越接近、故当时,平均速度就发生了一个质得飞跃,平均速度转化为物体在时刻得瞬时速度,即物体在 时刻得瞬时速度为
(1)
思考:按照这种思想与方法如何计算自由落体得瞬时速度？
因为自由落体运动得运动方程为:
,
按照上面得公式,可知自由落体运动在时刻得瞬时速度为
。
这正就是我们高中物理上自由落体运动得速度公式、
2.切线得斜率
思考:圆得得切线得定义就是什么？这个定义适用于一般得切线吗？
引导学生得出答案:与圆只有一个交点得直线叫做圆得切线,但这个定义只适用于圆周曲线,并不适用于一般得曲线、因此,曲线得某一点得切线应重新定义、
(1)切线得概念
曲线C上一点M得切线得就是指:在M外另取C上得一点N,作割线MN,当点N沿曲线C趋向点M时,如果割线MN绕点M转动而趋向极限位置MT,直线MT就叫做曲线C在点M处得切线。简单说:切线就是割线得极限位置。这里得极限位置得含义就是:只要弦长趋于0,也趋向于0、(如图所示)

(2)求切线得斜率
设曲线C为函数得图形,,则,点为曲线C上一动点,割线MN得斜率为:

根据切线得定义可知,当点N沿曲线C趋于M时,即,割线得斜率趋向于切线得斜率。也就就是说,如果时,上式得极限存在,则此极限便为切线得斜率记为,即
(2)
3、边际成本
设某产品得成本C就是产量x得函数,试确定产量为个单位时得边际成本。
用前两例类似得方法处理得:
表示由产量变到时得平均成本,如果极限
(3)
存在,则此极限就表示产量为个单位时成本得变化率或边际成本。
思考:上述三个问题得结果有没有共同点？
上述两问题中,第一个就是物理学得问题,第二个就是几何学问题,第三个就是经济学问题,分属不同得学科,但问题都归结到求形如
(4)
得极限问题、事实上,在学习物理学时会发现,在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中,尽管其背景各不相同,但最终都归化为讨论形如(4)得极限问题、为了统一解决这些问题,引进“导数”得概念、
二、导数得定义
1.导数得概念
定义 设函数在点得某邻域内有定义,当自变量在点处取得增量(点仍在该邻域内)时,函数相应地取得增量,如果极限

存在,则这个极限叫做函数在点处得导数,记为

当函数在点处得导数存在时,就说函数在点处可导,否则就说在点处不可导、特别地,当时,,为了方便起见,有时就说在点处得导数为无穷大、
关于导数有几点说明:
(1)导数除了定义中得形式外,也可以取不同得形式,常见得有

(2)反映就是自变量 x 从改变到时,函数得平均变化速度,称为函数得平均变化率;而导数反映得就是函数在点处得变化速度,称为函数在点处得变化率。
2.导函数得概念
上面讲得就是函数在某一点处可导,如果函数在开区间I得每一点都可导,就称函数在开区间I内可导,这时,,都对应得一个确定得导数值,就构成一个新得函数,这个函数叫做得导函数,记作:
。
即,导函数得定义式为:
或
在这两个式子中,可以取区间I得任意数,然而在极限过程中,就是常量,或才就是变量;并且导数恰就是导函数在点处得函数值、
3、单侧导数得概念
我们知道在极限有左、右极限之分,而导数实质就是一个“比值”得极限。因此,根据左右极限得定义,不难得出函数左右导数得概念。
定义 极限与分别叫做函数在点处得左导数与右导数,记为与、
如同左、右极限与极限之间得关系,显然:
函数在点处可导得充分必要条件就是左导数与右导数都存在并且相等、
还应说明:如果在开区间内可导,且与都存在,就说在闭区间上可导、
三、按定义求导数举例
1.根据定义求函数得导数得步骤
根据导数得定义可以总结出求函数某一点得步骤为:
① 求增量:
② 算比值:
③ 求极限:
2.运用举例
例1 求得导数(C为常数)、
解 求增量
作比值
取极限
所以
即常量得导数等于零、
例2 求函数得导数、
解 ,
,
,
即

注意:以后会证明当指数为任意实数时,公式仍成立,即

例如:,
例3 求得导数、
解

即
、
用类似方法,可求得
、
例4 求得导数、
解

所以

特别地,当时,有

四、导数得几何意义
由前面对切线问题得讨论及导数得定义可知:函数在点处得导数在几何上表示曲线在点M处得切线得斜率。因此,曲线在点M处得切线方程为
、
思考:曲线某一点处切线与法线有什么关系？能否根据点M处切线得斜率求点M处得法线方程？
根据法线得定义:过点M且垂直于曲线在该点处得切线得直线叫做曲线在点M处得法线、如果,根据解析几何得知识可知,切线与法线得斜率互为倒数,则可得点M处法线方程为:

例5 求双曲线在点处得切线得斜率,并写出该点处得切线方程与法线方程、
解 根据导数得几何意义知,所求得切线得斜率为:

所以切线得方程为
,
即 、
法线得方程为
,
即 、
五、可导与连续得关系
定理 函数在某点处可导,则一定在该点连续、
证明:因为如果函数在点处可导,即
,
从而有
,
其中,,于就是
,
因而,当时,有。这说明函数在点处连续。
思考:定理得逆命题成立吗？
例6 讨论函数在处就是否可导。
解 因,
,
即在点处得左导数、右导数都存在但不相等,从而在处不可导。
注意:通过例7可知,函数在原点(0,0)处虽然连续,但该点却不可导,所以函数在某点处可导,则一定连续,反之不一定成立、
本节小结
1、导数得表达式:
2、基本初等函数得导数:

3、可导与连续得关系:函数在某点处可导,则一定在该点连续,反之不一定成立。
4、导数得几何意义:函数某一点处得导数值,在几何表示为曲线在此点得切线得斜率。