第九章-欧式空间(第三讲).ppt

线性代数机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 正交变换与对称变换正交变换与对称变换 本节讨论欧氏空间中两个特殊的线性变换正交变换与对称变换.定义定义3.1 设是欧氏空间V的线性变换.如果对于V中任意向量,都有（），（）=（,），（6）则称为一个正交变换正交变换.满足（6）的线性变换称为是保持内积的.于是可以说，正交变换是欧氏空间中保持内积的线性变换.定理定理3.1 设是n维欧氏空间V的线性变换，则以下各说法互为充分必要条件：1）是正交变换；2）把标准正交基化为标准正交基，即若1，2，n是V的标准正交基，则（1）,（2）,（n）必是的标准正交基；3）在标准正交基下的矩阵是正交矩阵；4）保持向量长度，即对V中任一向量，总有（）=.证明证明 采用循环证法.1）=2）设1，2 ，n是V的标准正交基，则i,j=1,2,n,由为正交变换，便知i,j=1,2,n,故（1）,（2）,（n）也是V的标准正交基.2）=3）设1，2，n是V的标准正交基.并设（1，2，n）=（1，2，n）A，即（1）,（2）,（n）=（1，2，n）A.由2）已知（1）,（2）,（n）也是V的标准正交基.按定理2.4，A必是正交矩阵.3）=4)设1，2，n是V的标准正交基,是V中向量,它在基1，2，n下的坐标为x,再设在基1，2，n下的矩阵为A.于是()在基1，2，n下的坐标为Ax.又因A为正交矩阵,便有即知（）=.4)=1)对于V中任意向量,由于保持心理长度,便有（(),()）=(,),(7)（(),()）=(,),（8）（+），（+）=（+，+）（9）（9）式即（(),()）+2（(),()）+（(),()）=(,)+2（+）+(,).利用（7），（8）可得（(),()）=(,).可见为正交变换.例例3.1 欧氏空间R2上的旋转变换是正交变换.证明证明 设变换是将向量绕原点按逆时针方向旋转角，容易证明为一个线性变换.对于R2的标准正交基1=（1，0）T，2=（0，1）T，有于是在1，2下的矩阵为A为正交矩阵，故为正交矩阵.从几何直观的角度看，旋转变换只改变向量的方向，并不改变向量的长度，因此是正交变换.定义定义3.2 设是欧氏空间V的一个线性变换.如果对于V中任意向量,，总有（(),)=(,()），则称为一个对称变换对称变换.定理定理3.2 n维欧氏空间V的线性变换是对称变换的充分必要条件为:在标准正交基的矩阵是对称矩阵.证明证明 设1，2，n是V的标准正交基,线性变换在该基下的矩阵为必要性.据设有于是由为对称变换知所以A为对称矩阵.充分性.若A为对称矩阵，即AT=A，对于V中任意向量,，设它们在基1，2，n下的坐标分别为x,y，则()，()在基1，2，n下的坐标分别为Ax,Ay.于是因此为对称变换.定理定理3.3 若是n维欧氏空间V的对称变换，则必有V的标准正交基，使在该基下的矩阵为对角矩阵.证明证明 任取V的一个标准正交基1，2，n，设在该基下的矩阵为A，由定理3.2知A为实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q，使令由定理2.4知 1，2，n为标准正交基.再由第八章定理2.4可知在基 1，2，n下的矩阵恰是对角矩阵.定理的证明过程提示了与对角矩阵相应的标准正交基的求法.主要的工作是求正交矩阵Q，以它为相似因子的正交变换把实对称矩阵A化为对角矩阵.这是在第五章中早已熟知的方法.例例3.2 设2维欧氏空间V的基1，2的度量矩阵为V的线性变换在基1，2下的矩阵为试判明是不是正交变换？是不是对称变换？解解 先用Schmidt方法将1，2正交化，得1=1由（1，1）=（1，1）=1知1是单位向量.又由知2也是单位向量.于是1，2为V的一个标准正交基.且有（1，2）=（1，2）P，其中求出便可算出线性变换在标准正交基1，2下的矩阵为C是正交矩阵又是对称矩阵，则既是正交变换又是对称变换.k(+)=k +k,kR3,0,V中.C F上R V1+V2 V1 V2 A n维1，2 ，s 1，2 ，r st r N 1，2 ，n Schmidt P V1V2 1，2，n dim(V)e1 Ei（i=1,2,n）E11，E12，E21，E22 Rx3 k1，k2，k s（x1，x 2，x 3）T 1，2 ，3 A B 1，2 ，n（x1，x 2，x n）T 1，2 ，3（x1,x2,x3）Tk（V）Rxn（1），（2），（s）1（i）（i=1，2，n）(（1）,（2）,（n）)A=（aij）i f(x)=f (x)k E k*C 3 f(x)1，2，n，P 1，2，3，4 1，2，3，4 0（）（1）1 2 V1 V2 Rn 1，2 ，n g(x)h(x)a1,b1 l1，l2，ln k1，k2，k m|k|=|k|e0 x,y 1，2，3 P1，P2，Pn Q作业：标准化作业第9章作业.