极值最值作图曲率.pptx

极大值和极小值统称为极值.极大值点和极小值点统称为极值点.注注:极值是一个局部概念,如图oabx1x2x3x4x5y=f(x)xy定理定理定理定理1 1 1 1(Fermat定理)设函数f(x)在某区间I内有定义,在该区间内的点x0处取得极值,且 f (x0)存在,则必有f (x0)=0证证:不妨设 f(x0)为极大值,则存在U(x0)I,使x(x0),有 f(x)f(x0)由 f(x)在x0可导,故当x x0时,从而必有 f (x0)=0.注注1.1.使 f (x)=0的x0称为 f(x)的驻点.注注2.2.f (x)=0是 f(x)在x0取极值的必要条件,非充分条件,比如y=x3驻点x0=0非极值点.注注3.3.f (x)不存在的点,也可能是极值点.如y=|x|,x0=0.定理定理定理定理2 2 2 2.设 f(x)在x0连续,在(x0)可导,(1)若x ,f (x)0 x ,f (x)0 则 f(x)在x0取得极大值.(3)若x(x0)内,f (x)不变号,则 f(x)在x0不取得极值.(2)若x ,f (x)0 则 f(x)在x0取得极小值.证证:只证(1).当x 时,因为 f (x)0,所以 f(x)单调增加.因而 f(x)f(x0),x 当x 时,f (x)0,所以 f(x)单调减少,因而也有 f(x)f(x0),x 例例1.求 f(x)=x33x2 9x+5的极值.解解:f (x)=3x26x 9=3(x+1)(x3)令f (x)=0,得驻点x1=1,x2=3将(,+)分成三个区间,列成下表.故,极大值 f(1)=10极小值 f(3)=22(,1)f (x)xf(x)+单增10极大(1,3)单减30极小(3,+)+单增例例2.解解:f (x)与x同号,故 f(0)=0为极小值.xy0定理定理定理定理3 3 3 3.设 f(x)在U(x0)具有二阶导数,且f (x0)=0,f (x0)0,则(1)f (x0)0,f(x0)为极小值证证:当 f (x0)0时,由极限保号性,存在(x0),故 x x0时,f (x0)x0时,f (x0)0此时 f(x)在 x0处取极小.例例3.求f(x)=sinx+cosx的极值.解解:因 f(x)以2为周期,只需考虑区间0,2)由f (x)=sinxcosx=0得驻点f (x)=sinxcosx 故(,+)上,二、函数的最值二、函数的最值二、函数的最值二、函数的最值若 f(x)在a,b上连续,则 f(x)在a,b上 一定存在最大值M和最小值m.假定 f(x)在(a,b)内只有有限个驻点或导数不存在的点x1,x2,xn,我们说M和m只能在这些点或端点处达到.即 M=max f(a),f(x1),f(x2),f(xn),f(b)m=min f(a),f(x1),f(x2),f(xn),f(b)(想一想:为什么)例例4.求f(x)=x4 8x2+2在1,3上的最大值和最小值.解解:f (x)=4x3 16x=4x(x+2)(x 2)f (x)=0,得x1=2(舍去),x2=0,x3=2故最值在1,0,2,3四处达到f(1)=5,f(0)=2,f(2)=14,f(3)=11所以 M=f(3)=11,m=f(2)=14例例5.设 f(x)=xex,求它在定义域上的最大值和最小值.解解:f(x)在(,+)上连续可导,且 f (x)=(x+1)ex令 f (x)=0,得 x=1x 1时,f (x)1时,f (x)0,f(x)单增.故 f(x)在1处达到极小值,由于极小值点唯一,而 故 f(x)无最大值.注意注意注意注意1.1.1.1.f(x)C(a,b),且在(a,b)内只有唯一 一个极值点x0,则当 f(x0)为极大(小)值时,它就是 f(x)在a,b上的最大(小)值.注意注意注意注意2.2.2.2.f(x)在a,b上单调,则m和M在端点处达到.注意注意注意注意3.3.3.3.实际应用中,驻点唯一,最大(小)值又存在,则此点为最大(小)值点.例例6.要造一个容积为V0的带盖圆柱形桶,问桶的半径 r 和桶高 h 如何确定,才能使所用材料最省?解解:先建立函数关系,表面积A=2r2+2rh 又r2h=V0,所以得驻点显然故r0为极小值点,又在(0,+)内极小值点唯一,此极小值就是最小值.例例7.150 xDAoCB如图 C 工厂,B 铁路货站,要从AB铁路上选 一点D修建一条公路CD.使C与B连起来,已知AC=20公里,AB=150公里,又知铁路与公路的吨公里运费之比为3:5,问AD=x应为多少才能使运费最省.20解解:建立坐标如图,从A到B的方向,取A为原点.则AC=20,AD=x,DB=150 x,设铁路吨公里运费为3k,则公路吨公里运费为5k.于是从B到C每吨材料总运费为要求W的最小值,先求W得x=15.在(0,150)中驻点x=15唯一.又 在(0,150)中,0故W(15)为极小值也即为最小值.故 x=15时,全程运费最省.例例8.宽为2米的支渠道垂直地流向宽为3米的主渠道,若在其中漂运原木,问能通过的原木的最大长度是多少?解解:如图建立坐标系.原木直径不计.设AB是通过点C(3,2)且与渠道两侧壁分别交于A和B的线段L.要求L的最小值.32BxytOCLAL(t)=AC+CB实际问题中最小值一定存在,且驻点唯一,故此极小值就为最小值,于是m=L(t0)7.02故能通过原木的最大长度为7.02米.3-6 3-6 函数图形的描绘函数图形的描绘一、渐近线一、渐近线一、渐近线一、渐近线渐近线定义:当C上动点M离坐标原点无限远移时,存在一直线l,使MN趋向于零,则称直线l为曲线 C的一条渐近线.xyOCMNNly=f(x)注注注注1.1.1.1.渐近线是直线l:ax+by+c=0的形式.注注注注2.2.2.2.一条曲线的渐近线可以是水平线 y=y0,可以是铅直线 x=x0,也可以是斜线:y=ax+b.注注注注3.3.3.3.一个函数所表示的曲线可以有零条,一条,二条甚至更多条渐近线.确定函数 y=f(x)的渐近线的方法如下:(1)铅直渐近线:则 y=f(x)有一铅直线渐近线 x=x0.x=0为其渐近线.(2)水平渐近线:则 y=f(x)有一水平线渐近线 y=A.(3)斜渐近线:则 y=f(x)有一斜线渐近线 y=ax+b.证证:如图,MNNy=f(x)y=ax+b设y=f(x)有渐近线y=ax+b.例例1.解解:(1)对于 y=lnx,故 y=lnx有铅直线渐近线 x=0.xyOy=lnx(2)故该双曲线有一对斜渐近线:xy二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘.利用导数描绘函数的图形,步骤如下:(1)确定y=f(x)的定义域,并讨论其奇偶性,周期性,连续性(2)求 f (x),f (x)及其全部零点和不存在的点,得系列点x1,x2,xn.(3)在(xi,xi+1)上及分点xi 处观察 f (x),f (x)的符号,从而确定单调区间、极值点;对应曲线的凹凸区间及拐点.:表单增:表单减:表凹:表凸(4)确定y=f(x)的渐近线及其它变化趋势.(5)补充一些适当的点(xi,f(xi).(6)用光滑的曲线连接这些点并作图.例例2.描绘 f(x)=2xex的图形.解解:(1)函数定义域为(,+),连续.(2)f (x)=2ex 2xex=2(1 x)ex f (x)=2ex 2(1 x)ex=2ex(x 2)由 f (x)=0,f (x)=0,得x1=1,x2=2.(3)将(,+)分为三个区间(,1),(1,2),(2,+)列表讨论如下(,1)f (x)xf(x)+10(1,2)20(3,+)+f(x)xyO(4)(5)补充点 f(0)=0.描点作图.21例例3.解解:(1)定义域为f(x)为奇函数,故 f(x)的图形关于原点对称.(2)由 f (x)0,知 f (x)无驻点,f (x)=0,得x0=0.且0f (x)xf(x)+f(x)0 +间断点 (3)(4)(5)取辅助点描绘出函数在0,+)上的图形,再根据对称性得到函数在(,0)的图形.yxM1M2M3例例4.解解:(1)定义域(,+),连续(2)f (x)为0和不存在的点为4,0,6f (x)无零点,f (x)不存在的点为0,6.(3)在(,0),(0,4),(4,6),(6,+)上讨论.f (x)xf(x)+f(x)(,0)(0,4)不存在不存在 极小0040(4,6)6不存在不存在拐点(6,0)(6,+)(4)=2故有斜渐近线 y=x+2.xyO作图如下:4(6,0)y=x+23-7 3-7 相关变化率相关变化率 曲率曲率一、相关变化率一、相关变化率一、相关变化率一、相关变化率相相关关变变化化率率是:若两个函数的变化率(导数)有联系,已知其中之一求出另一个变化率的问题,其实就是复合函数导数的关系。例例1.在气缸内,当理想气体的体积为100(厘米)3时,压强为5牛顿/(厘米)3.如果温度不变,压强以0.05牛/(厘米)3 小时的速率减少,那么体积增加的速率是多少?解解:由物理学知,理想气体之压强 p,体积V和温度T关系如下,pV=RT已知T为常数,设RT=k,且V=100时,p=5.得 500=k.故 pV=500从得所以例例2.液体从深为18厘米,顶直径为12厘米的正圆锥形漏斗中漏入直径为10厘米的圆柱形桶中,开始时漏斗盛满液体,已知漏斗中液面深为12厘米时,液面下落速度为1厘米/分,求此时桶中液面上升的速率.12H18h10解解:设漏斗液面深为H厘米时,桶中液面深为h厘米,漏斗液面圆半径为R,先求两个体积之间的关系.由代入上式并整理得两边对t 求导,二、弧微分二、弧微分二、弧微分二、弧微分设 f(x)Ca,b,C为y=f(x)所表示的曲线.设x增大时,点(x,f(x)沿曲线方向为C的正方向.ydyPMMM0Oyxsx0 xx+xC在C上取点M0,弧 M0M 的长度为|M0M|,规定了弧长s的值为)s=|M0M|,M0M 的方向与C正向相同.)|M0M|,M0M 的方向与C正向相反.)由此可知,s为x的单调增加函数.我们要求s(x)的微分如图,设M,M的坐标为M(x,y),M(x+x,y+y)则 s=|M M|)s 的符号与x的符号相同.则)而可以证明)故或 (ds)2=(dx)2+(dy)2这就是弧微分.3-73-7、曲、曲、曲、曲 率率率率曲率是描述曲线在一点弯曲程度的量.rR曲率与什么有关呢?设想有两个圆半径分别为r和R,且r R.则小圆比大圆弯曲程度大.如图MMOyxCM,M是曲线C上 两点(C是光滑曲线),当C上的动点从M移动M 时,曲线切线转过了角度(称为转角).对应弧有一个改变量s.故(1)弯曲程度与转角成正比(2)弯曲程度与弧长改变量成反比定义定义定义定义.MM 上平均曲率)C上M点的曲率比如,半径为R的圆,其曲率直线曲率下面推出曲率计算公式设曲线C的方程为 y=f(x),且f(x)具有二阶导数.又 tan=y,=arctany故于是若曲线方程为则代入 K 的表达式,得例例3.铁路拐弯处常用立方抛物线作为过渡曲线,试求解解:y=x2,y=2x,于是 在(0,0)处,K0=0.定义定义定义定义:给定在C上一点M,在法线上沿曲线凹向的一侧取O,使(MO)=R,以O 为圆心,以R为半径所得的圆称为曲率圆.(曲率圆中心坐标求法自学)CORM作曲线切线和法线.曲率圆的性质(1)在M点处与C曲率相同(2)在M点处与C有相同切线(3)在M点处与C有相同的凹凸性例例4.某工件内表面的型体为 y=0.4x2,现要用砂轮磨削内表面,问应选多大直径的砂轮?解解:磨削时不应损坏工件的其它部分,故砂轮半径应不超过抛物线上各点曲率半径的最小值.ROxyy=0.4x2y=0.4x2y=0.8xy=0.8当 x=0时,K最大.故砂轮直径不得超过2.50.