随机过程六.ppt

第六章：平稳随机过程v严平稳过程的定义v宽平稳过程的定义v平稳过程的数字特征v平稳过程自相关函数的性质v时间平均和集合平均的概念v平稳过程遍历性定义v遍历性判定定理v遍历性应用举例1.严平稳过程的定义设X(t),t T是随机过程，如果对任意常数和正整数n n，t1,t2,tn T，t1+,t2+,tn+T，(X(t1),X(t2),X(tn)与(X(t1+),X(t2+),X(tn+)有相同的联合分布，则称X(t),t T为严平稳过程或侠义平稳过程。严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定。2.宽平稳过程的定义设X(t),tT是随机过程，如果1、X(t),t T是二阶矩过程；2、对任意t T，mX(t)=EX(t)=常数；3、对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(s-t)。则称X(t),t T为广义平稳过程，简称为宽平稳过程3.对于严平稳随机过程X(t)（以实过程为例）的一维分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+)，若令=-t1，则F1(X1,t1)=F1(X1,0)=F1(X1)因此严平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规律相等。若随机过程X(t)为严平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。4.对于严平稳随机过程X(t)的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+,t2+)，若令=-t1，则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1=，则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;)严平稳过程+二阶矩过程=宽平稳；反之不成立。5.例题1：设Y是随机变量，试分别考虑X(t)=Y和X(t)=tY的平稳性。例题2：设Xn，n=0,1,2,是实的互不相关随机变量序列，且EXn=0,DXn=2。试讨论随机序列的平稳性。例题3：设Xn，n=1,2,是相互独立且都服从N(0,1)的随机变量序列，Yn，n=1,2,是相互独立且都服从 上的均匀分布的随机变量序列，且Xn 与Yn 相互独立，n=1,2,。令证明Zn，n=1,2,是宽平稳过程，但不是严平稳过程。6.联合平稳过程设X(t),t T和Y(t),t T是两个平稳过程，若它们的互相关函数 和 仅与有关，而与t t无关，则称X(t)X(t)和Y(t)Y(t)是联合平稳随机过程。当两个平稳过程X(t)，Y(t)是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程。7.4、RX()是非负定的，即对任意实数t1,t2,tn及复数a1,a2,an，有平稳过程自相关函数的性质设x(t),t T为平稳过程，则其相关函数具有下列性质：5、若X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)=X(t+T)，则RX()=RX(+T)；6、若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当|时，X(t)与X(t+)相互独立，则1、2、3、8.联合平稳过程自相关函数的性质9.收敛性概念对于概率空间(,F,P)上的随机序列Xn每个试验结果e都对应一序列，如果该序列对每个e都收敛，则称随机序列Xn处处收敛，即满足称二阶矩随机序列Xn(e)以概率1收敛于二阶矩随机变量X(e)，即或称Xn(e)几乎处处收敛于X(e)，及作称二阶矩随机序列Xn(e)依概率收敛于二阶矩随机变量X(e)，若对于任给0，有记作10.设有二阶矩随机序列Xn和二阶矩随机变量X，若有成立，则称Xn均方收敛于X，记作称二阶矩随机序列Xn依分布收敛于二阶矩随机变量X，若Xn相应的分布函数列Fn(x)，在X的分布函数F(x)的每一个连续点处，有记作a.em.sPd不收敛11.定理6.3设Xn,Yn,Zn都是二阶矩随机序列，U为二阶矩随机变量，Cn为常数序列，a,b,c为常数，令l.i.mXn=X，l.i.mYn=Y，l.i.mZn=Z，有 12.定理6.4设Xn为二阶矩随机序列，则Xn均方收敛的充要条件为下列极限存在：定义6.6设有二阶矩过程X(t),t T，若对每一个t T，有则称X(t)在t点均方连续，记作若T中一切点都均方连续，则称Xt在T上均方连续。定理6.5二阶矩过程X(t)，t T在t点均方连续的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处连续。13.均方导数定义6.7设X(t),t T为二阶矩过程，若存在另一个随机过程X(t)，满足则称X(t)在t点均方可微，记作14.二阶矩过程的相关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数记作定理6.6二阶矩过程X(t),t T在t点均方可微的充要条件微相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)的广义二阶导数存在。推论：数学期望运算与求导运算可以交换顺序。15.均方积分定义6.8设X(t),t T为二阶矩过程，f(t)为普通函数，其中T=a,b，设T的任一划分为 a=t0t1tn=b，记 做和式如果当n n0时，Sn均方收敛于S，即则称f(t)X(t)在区间a,b上均方可积，记作16.定理6.7f(t)X(t)在区间a,b上均方可积的充要条件为存在。二阶矩过程X(t)在区间a,b上均方可积的充要条件为RX(t1,t2)在a,ba,b上可积。17.定理6.8设f(t)X(t)在区间a,b上均方可积，则有 定理6.9设X(t),t T为二阶矩过程在区间a,b上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程Y(t),t T在区间a,b上均方可微，且有Y(t)=X(t)。18.19.时间平均和集合平均概念集合平均mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计平均。时间平均是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同，是个随机变量。对于一个确定的样本时间平均集合平均20.定义6.10设X(t),-t是均方连续的平稳过程，若以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。定义6.11如果均方连续的平稳过程X(t),t T的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。21.定理6.10设X(t),-t是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为例题6.9：随机过程X(t)=acos(wt+),a,w为常数，为(0,2(0,2)上均匀分布的随机变量，试分析X(t)X(t)遍历性。22.23.定理6.11设X(t),-t是均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件为其中24.各态历经定理的意义：一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的时间平均代替过程的集合平均，即若样本函数X(t)只在有限区间0,T上给出，则对于实平稳过程有下列估计式25.作业：6.7 6.2126.