有理数章节复习.doc

有理数章节复习
有理数章节复习
概念性质层面
作为初中数学的第一课，本章涉及的概念较多，主要包括：正负数，有理数，数轴，相反数，绝对值，乘方，科学记数法等.在学习过程中，要注意对各个概念的把握，要能理解、计算和应用.
一、负数：引入负数，主要是应对记数的需要.负数都小于0.
例1、某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：+10，－5，0，+8，－3，又知道记为0的成绩表示90分，正数表示超过90分，则五名同学的平均成绩为多少分？
例2、我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家.在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程.按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（ ）
A．
B．
C．
D．
练习1、桌上摆着四杯水，分别是440毫升、365毫升、415毫升、372毫升．为杯子里的水设定一个基准，超过的毫升数记为正数，不足的毫升数记为负数．记录如下：40，－35，+15，－28，则这个基准数是______．
二、有理数：引入有理数，主要是对数的扩充，扩大了研究范围.要着重掌握有理数的分类，以及由此带来的概念性题目的分析判断.
例3、下列说法正确的是（ ）
A．整数就是正整数和负整数
B．分数包括正分数、负分数
C．正有理数和负有理数组成全体有理数
D．一个数不是正数就是负数
例4、下面是四名同学对“0”的描述，其中正确的是（ ）
①“0”可表示特定的意义，如0℃等；
②“0”只表示什么也没有；
③因为0＋0＝0＝－0，所以“0”既是正数也是负数；
④0是正数和负数的分界.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
练习2、下列说法：①所有的整数都是正数；②所有的正数都是整数；③分数是有理数；④有理数分为正有理数和负有理数；⑤有理数包括整数和分数.其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.引入数轴，主要是将数字对应到图形上，这种“数形结合”思想，是初中数学的典型思想方法，目的是便于研究和解决相关问题.在学习数轴时，要本着应用为先的原则去体会其便利.
例5、数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动6个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（  ）
A．7 B．3 C．－3 D．－2
四、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.特别地，0的相反数是0.要注意的是，相反数是两个数的关系，即两数相加和为0，不存在单个数是相反数的说法.对相反数，一者要注意其概念的应用，二者要能化简计算.
例6、一个有理数和它的相反数之积（ ）
A．一定为正数 B．一定为负数 C．一定为非负数 D．一定为非正数
例7、化简：
（1）； （2）； （3），
化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“”号的个数有什么关系吗？
例8、数轴上，点A与点B分别表示互为相反数的两个数，且点A在点B的左边，A，B之间的距离为7个单位长度，则点A代表的数是________.
五、绝对值：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值.绝对值的直接应用一般有求绝对值和根据绝对值求原数，尤其以后者容易忽略多个值而出错.绝对值表示距离和非负性也是出题的常考点，要引起重视.
例9、若，则______．
变式、若，则______．
例10、绝对值不大于5的所有整数有____________．
六、乘方与科学记数法：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫幂.对于乘方，要记住其中的几个概念，理解其乘法运算的本质，然后能熟练计算.
科学记数法是指，把一个数表示成的形式（其中的绝对值大于或等于1且小于10，是正整数）.使用科学记数法主要是使书写简短，便于读数.
例11、据媒体报道，我国最新研制的“察打一体”无人机的速度极快，经测试最高速度可达204000米/分，这个数用科学记数法表示，正确的是（   ）
A．204×103 B．20.4×104 C．2.04×105 D．2.04×106
例12、用科学记数法表示下列各数：
（1）10000；     （2）80万；     （3）-；     （4）20.3亿.
例13、用四舍五入法按括号里的要求，对下列各数取近似值：
（1）78 . 6（精确到个位）； （2）0 . 853（精确到十分位）；
（3）27 . 5644（精确到0 . 001）； （4）（精确到万位）．
应用层面
作为初中的基础，本章主要是对数进行学习，所以最多的应用就是计算.除常规计算外，我们还要掌握数字规律问题、新定义计算问题等.另外，数轴作为一个新的工具，可以帮我们很好地解决问题，所以关于数轴的应用也是一个重点.
有理数的混合运算：学习有理数的混合运算，可类比小学所学混合运算，只是要注意符号和新的运算方式.同样的，以前所学各种运算律，也适用于有理数范围，熟练运用它们，可以简化计算.
例1、计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）；（6）；
（7）； （8）；
例2、如果，，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．7或1
例3、李明的练习册上有这样一道题：计算|（3）+▉|，其中“▉”是被墨水污染而看不到的一个数，他翻看了后边的答案得知该题的计算结果为6，那么“▉”表示的数是_______.
例4、请你只在“加、减、乘、除和括号”中选择使用，可以重复，将四个数－2，4，－6，8组成算式（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是_______________（只写一种）.
例5、将8，6，4，2，0，2，4，6，8这9个数分别填入下图（1）的9个空格中，使得横、竖、斜对角的3个数相加的和为0，应该怎么填？若改用2，1，0，1，2，3，4，5，6这9个数分别填入下图（2）的9个空格中，使得横、竖、斜对角的3个数相加的和都相等，又怎么填？

新定义：解决新定义问题，关键是搞清新运算是怎么计算的，将新运算转化成常规运算后，再进行计算就没有问题了.
例6、数学活动课上，徐老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“※”，对于任意有理数a，b，有a※b=ab+2.请你根据新运算，计算(3※4)※3的值是_______.
例7、大家都知道，八点五十五可以说成九点差五分，有时这样表达更清楚．这启发人们设计一种新的加减计数法．
比如：9写成11，11=101；
198写成202，202=2002；
7683写成12323，12323=100002320+3
总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算52313241=（　　）
A．1990 B．2068 C．2134 D．3024
练习1、在一个秘密俱乐部中，有一种特殊的算账方式：a❉b=3a－4b，比如对于2❉(－4)是这样计算的：“解：2❉(－4)=3×2－4×(－4)=22”，假设规定：a❉b=2a－3b－1，那么请你求2❉（－3）的值.
数字规律问题：数字规律问题，往往比较灵活，这类问题包括两种类型，一种是符号和数字的变化，要学会从不同的角度去解读数字，找到规律；另一种是周期循环，要注意找到循环周期，确定位置.
例8、观察下面一列数，探究其规律：
，，，，，，……
（1）写出第7，8，9项的三个数；
（2）第2018个数是什么？
（3）如果这一列数无限排列下去，与哪两个整数越来越接近？
例9、观察下列算式：
21 ＝2，22 ＝4，23 ＝8，24 ＝16，25 ＝32，26 ＝64，27 ＝128，28 ＝256，…
用你发现的规律，确定22018 的个位数字是_______.
变式、计算：21 1＝1，22 1＝3，23 1＝7，24 1＝15，25 1＝31，…，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22019 1的个位数字是（   ）
A．1 B．3 C．7 D．5
例10、观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为_____（用含n的代数式表示）.
练习2、1118×1311×1410的积的末位数字是_______.
练习3、观察下列三行数并按规律填空：
－1，2，－3，4，－5，______，______，… 
1，4，9，16，25，______，______，… 
0，3，8，15，24，______，______，…
（1）第一行数按什么规律排列？
（2）第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和.
数轴、绝对值的应用：抓住数轴上的点能表示数的特点，将数字对应表示在数轴上，则可利用数轴解决相关问题.另外，数轴上常考查点的移动、运动问题，计算时要把握好运算规律.
绝对值的性质和意义也常结合数轴一起考查，可涉及非负性应用，化简等.
例11、已知、分别表示两个有理数，它们在数轴上的位置如图所示，试比较、、、之间的大小．
例12、北京时间2012年3月3日15时，全国政协十一届五次会议在人民大会堂举行开幕会．5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么开幕时间应是（  ） 

A．伦敦时间2012年3月3日23时 B．巴黎时间2012年3月3日08时
C．纽约时间2012年3月4日04时 D．汉城时间2012年3月3日14时
例13、小明做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点A，其表示的数是－3，由于粗心，把数轴的原点标错了位置，使点A正好落在了－3的相反数的位置，想想，要把数轴画正确，原点要向哪个方向移动几个单位长度？（   ）
A．向右移6个 B．向右移3个 C．向左移6个 D．向左移3个
例14、如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 t（ t＞0）秒． 

（1）数轴上点B表示的数是_______，点P表示的数是_______（用含t的代数式表示）； 
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： 
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ 
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 
例15、如果，那么________．
例16、有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则_________．

例17、数轴上A，B，C三点所代表的数分别是a、1、c，且．若下列选项中，有一个表示A，B，C三点在数轴上的位置关系，则下列选项正确的是
A． B．C． D．
练习4、如果，则的值是          .
比较大小问题：有理数大小比较，是一种比较常见的问题，要注意一般的比较方法，先看符号，有必要再看绝对值，必须熟练掌握.
例18、比较下列各对数的大小：
（1）和绝对值； （2）和的绝对值；

（3）和； （4）和.
例19、在－0.3168中，用数字4替换其中的一个非0数字后，使所得的数最大，则被替换的数字是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
例20、在如图1－3的数轴上，O为原点，数轴上的点P，Q，R，S所表示的数分别为a，b，c，d，请问下列哪一个大小关系式是不正确的（ ）

A． B． C． D．
思想方法层面
学习初中数学，除学习基本的知识外，思想方法的提炼和运用也是要重点学习的.本章主要涉及三种思想方法，分别是：数形结合，分类讨论和特殊值法.下面通过相关例题一一讲解.
数形结合：这是数轴这一工具带来的一种新的解决问题的方法，主要是将代数问题结合到图形上，用一种比较直观的方式去分析和解决问题.
例1、有理数、在数轴上的位置如下图所示，则（　 　）
A． B． C． D．

例2、如图，半径为1的圆在数轴上滚动，开始在数轴上点A（称圆与数轴的切点）处，向左滚动一周至点B处，若点A对应的数是3，则点B对应的数是（　 　）
A． B． C． D．
例3、已知，，且，试比较、、0、、的大小.
例4、如图，已知点A在数轴上，从点A出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达点C，点B所表示的有理数是5的相反数，按要求完成下列各小题.
（1）请在数轴上标出点B和点C； 
（2）求点B所表示的有理数与点C所表示的有理数的乘积；
（3）若将该数轴进行折叠，使得点A和点B重合，则点C和数______所表示的点重合.

分类讨论：分类讨论的原因是情况不确定，而不同的情况会导致不同结果，所以要分类.本章涉及分类讨论的地方包括绝对值逆运算，数轴上点运动的方向性等.
例5、在数轴上到表示－2的点的距离为4的点所表示的数是______．
例6、甲、乙两人的住处与学校同在一条街道上，甲住处在离学校8千米的地方，乙住处在离学校5千米的地方，则甲、乙两人的住处相距______千米．
例7、如果有理数、、满足：，，那么、、中负数的个数是______．
例8、若，则一定有（ ）
A．， B．， C．， D．
例9、互不相等的四个整数的积等于4，则这四个数的绝对值的和是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
特殊值法：特殊值法是一种技巧性比较强的方法，运用得当，可以为解决问题带来极大便利，但要注意取值须合理，有代表性才行.
例10、若，，，，，，则S1、S2、S3的大小关系是（　　）
A． B． C． D．