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严谨 规范 求真 铸魂
1-7 两个重要极限练习题
教学过程：
引入：考察极限
问题1：观察当x®0时函数的变化趋势：
x(弧度)
0.50
0.10
0.05
0.04
0.03
0.02
...

0.9585
0.9983
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
...
当x取正值趋近于0时，®1，即=1；
当x取负值趋近于0时，-x®0, -x>0, sin(-x)>0．于是
．
综上所述，得
一．．
的特点：
(1)它是“”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是；
(2)在分式中同时出现三角函数和x的幂．
推广　　如果j(x)=0,(a可以是有限数x0, ±¥或¥)，
则　　　　　　　==1．
例1 求．
解　=．
例2 求．
解　=．
例3 求．
解　=．
例4 求．
解　令arcsinx=t，则x=sint且x®0时t®0．
所以=．
例5 求．
解　=
　　　　　　=．
考察极限
问题2：观察当x®+¥时函数的变化趋势：
x
1
2
10
1000
10000
100000
100000
...

2
2.25
2.594
2.717
2.7181
2.7182
2.71828
...
当x取正值并无限增大时，是逐渐增大的，但是不论x如何大，的值总不会超过3．实际上如果继续增大x．即当x®+¥时，可以验证是趋近于一个确定的无理数e＝2.718281828...．
当x®-¥时，函数有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e．
综上所述，得　　　
二．=e．
=e的特点：
（１）lim(1+无穷小) ；
（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．
推广　（１）若j(x)= ¥,(a可以是有限数x0, ±¥或¥)，则
　　　　　=e；
（２）若j(x)=0,(a可以是有限数x0, ±¥或¥)，则
　　　　　=e．
变形　令=t，则x®¥时t®0，代入后得到 ．
如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1¥，因此通常称之为1¥不定型．
例6 求．
解　令－=t，则x=－．
当x®¥时t®0，
于是　　　==e –2．
例7 求．
解　令=1+u，则x=2－．
当x®¥时u®0，
于是　　　=
==e -1．
例8 求．
解　设t=tanx，则＝cotx．
当x®0时t®0，
于是　　　==e．
小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。
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§2-1 导数的概念
教学过程：
引入：
一、两个实例
实例1 瞬时速度
考察质点的自由落体运动．真空中，质点在时刻t=0到时刻t这一时间段内下落的路程s由公式s=gt2来确定．现在来求t=1秒这一时刻质点的速度．
当Dt很小时，从1秒到1+Dt秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在t=1时速度的近似．
Dt (s)
Ds(m)
(m/s)
0.1
1.029
10.29
0.01
0.09849
9.849
0.001
0.0098049
9.8049
0.0001
0.000980049
9.80049
0.00001
0.00009800049
9.800049
上表看出，平均速度随着Dt变化而变化，当Dt越小时，越接近于一个定值—9.8m/s．考察下列各式：
　　　　Ds=g×(1+Dt)2－g×12=g[2×Dt+(Dt)2]，
=g×=g(2+Dt)，
思考： 当Dt越来越接近于0时，越来越接近于1秒时的“速度”．现在取Dt®0的极限，得
g=9.8(m/s)．
为质点在=1秒时速度为瞬时速度．
一般地，设质点的位移规律是s=f(t)，在时刻t时时间有改变量Dt，s相应的改变量为Ds=f(t+Dt)-f(t)，在时间段t到t+Dt内的平均速度为
=，
对平均速度取Dt®0的极限，得
v(t)=，
称v(t)为时刻t的瞬时速。

研究类似的例子
实例2 曲线的切线
设方程为y=f(x)曲线为L．其上一点A的坐标为(x0,f(x0))．在曲线上点A附近另取一点B，它的坐标是(x0+Dx, f(x0+Dx))．直线AB是曲线的割线，它的倾斜角记作b．由图中的RtDACB，可知割线AB的斜率
f(x0+Dx)

x
y
O
A
B
x0
x0+Dx
f(x0)
T
C
b
a
tanb=．
在数量上，它表示当自变量从x变到x+Dx时函数f(x)
关于变量x的平均变化率(增长率或减小率)．
现在让点B沿着曲线L趋向于点A，此时Dx®0，
过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置——
直线AT，我们就称L在点A处存在切线AT．记AT
的倾斜角为a，则a为b的极限，若a¹90°，得切线AT
的斜率为
tana= tanb=．
在数量上，它表示函数f(x)在x处的变化率．
上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y=f(x)和自变量x具体内容不同，但本质都是要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率．
1. 自变量x作微小变化Dx，求出函数在自变量这个段内的平均变化率=，作为点x处变化率的近似；
2. 对求Dx®0的极限，若它存在，这个极限即为点x处变化率的的精确值．
二、导数的定义
1. 函数在一点处可导的概念
定义 设函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义．对应于自变量x在x0处有改变量Dx，函数y=f(x)相应的改变量为Dy=f(x0+Dx)-f(x0)，若这两个改变量的比

当Dx®0时存在极限，我们就称函数y=f(x)在点x0处可导，并把这一极限称为函数y=f(x)在点x0处的导数(或变化率)，记作或f¢(x0)或或．即
=f¢(x0)= (2-1)
比值表示函数y=f(x)在x0到x0+Dx之间的平均变化率，导数则表示了函数在点x0处的变化率，它反映了函数y=f(x)在点x0处的变化的快慢．
如果当Dx®0时的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点x0处不可导或导数不存在．
在定义中，若设x=x0+Dx，则(2-1)可写成
f¢(x0)= (2-2)
根据导数的定义，求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤如下：
第一步 求函数的改变量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)；
第二步 求比值；
第三步 求极限f¢(x0)=．
例1 求y=f(x)=x2在点x=2处的导数．
解 Dy=f(2+Dx)-f(2)=(2+Dx)2-22=4Dx+(Dx)2；
=4+Dx； =(4+Dx)=4．
所以y¢|x=2=4．
当存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x0处的左导数，记作；当存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x0处的右导数，记作．
据极限与左、右极限之间的关系
f¢(x0) Û 存在,，且== f¢(x0)．
2. 导函数的概念
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处都可导，就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导．这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值x0都有对应着一个确定的导数f¢(x0)，这样就在开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f(x)的导函数，记作等f¢(x)或y¢等．
根据导数定义，就可得出导函数
f¢(x)=y¢= (2-3)
导函数也简称为导数．
注意　（１）f¢(x)是x的函数，而f¢(x0)是一个数值
（２）f(x)在点处的导数f¢(x0)就是导函数f¢(x)在点x0处的函数值．
例2 求y=C (C为常数)的导数．
解　因为Dy=C-C=0，=0，所以y¢==0．
即 (C)¢=0常数的导数恒等于零）．
例3 求y=xn(nÎN, xÎR)的导数．
解 因为Dy=(x+Dx)n-xn=nxn-1Dx+xn-2(Dx)2+...+(Dx)n，
= nxn-1 +xn-2×Dx+...+(Dx)n-1，
从而有 y¢==[ nxn-1 +xn-2×Dx+...+(Dx)n-1]= nxn-1．
即 (xn)¢=nxn-1．
可以证明，一般的幂函数y=xa, (aÎR, x>0)的导数为
(xa)¢=a xa-1．
例如　()¢=()¢=；()¢=(x-1)¢=-x-2=-．
例4 求y=sinx, (xÎR)的导数．
解　=，在§1-7中已经求得
=cosx，
即 (sinx)¢=cosx．
用类似的方法可以求得y=cosx, (xÎR)的导数为
(cosx)¢=-sinx．
例5 求y=logax的导数(a>0, a¹1, x>0)．
解　对a=e、y=lnx的情况，在§1-7中已经求得为
(lnx)¢=．
对一般的a，只要先用换底公式得y=logax=，以下与§1-7完全相同推导，可得
(logax)¢=．
三、导数的几何意义
方程为y=f(x)的曲线，在点A(x0,f(x0))处存在非垂直切线AT的充分必要条件是f(x)在x0存在导数f¢(x0)，且AT的斜率k=f¢(x0)．
导数的几何意义——函数y=f(x)在x0处的导数f¢(x0)，是函数图象在点(x0,f(x0))处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为
　　　　　　　　y-f(x0)=f¢(x0)(x-x0) 　　　　 (2-4)
过切点A (x0,f(x0))且垂直于切线的直线，称为曲线y=f(x)在点A (x0,f(x0))处的法线，则当切线非水平(即f¢(x0)¹0)时的法线方程为
　　　　　　　　y-f(x0)=-(x-x0) (2-5)
例6 求曲线y=sinx在点(,)处的切线和法线方程．
解　（sinx）¢=cosx=．
所求的切线和法线方程为　　　y－=(x－)，
法线方程　　　　　　　y－=－(x－)．
例7 求曲线y=lnx平行于直线y=2x的切线方程．
解　设切点为A(x0, y0)，则曲线在点A处的切线的斜率为y¢(x0)，
y¢(x0)=(lnx)¢=，
因为切线平行于直线y=2x，，所以=2，即x0=；又切点位于曲线上，因而y0=ln=-ln2．
故所求的切线方程为
y+ln2=2(x-)，即y=2x-1-ln2．
四、可导和连续的关系
如果函数y=f(x)在点x0处可导，则存在极限
=f¢(x0)，则=f¢(x0)+a (a=0)，或Dy= f¢(x0) Dx+a×Dx (a=0)，
所以 Dy=[f¢(x0) Dx+a×Dx]=0．
这表明函数y=f(x)在点x0处连续．
但y=f(x)在点x0处连续，在x0处不一定是可导的．
例如：（１）y=|x|在x=0处都连续但却不可导．
x
y
O
y=|x|

（２）y=在x=0处都连续但却不可导．注意在点(0,0)处还存在切线，只是切线是垂直的．
1
x
y
O
y=

-1
-1
1
·
·

学生思考：
设函数f(x)=，讨论函数f(x)在x=0处的连续性和可导性．
小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。
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§4－2　换元积分法
教学过程
复习引入
1． 不定积分的概念；
2． 不定积分的基本公式和性质。
新课：一、第一类换元积分法
例如：，积分基本公式中只有：=sinx+C．为了应用这个公式，可进行如下变换：
u=2x回代
令2x=u
sinu+C sin2x+C,
因为(sin2x+C)¢=cos2x，所以=sin2x+C是正确的．
定理1　设f(u)具有原函数F(u)，j¢(x)是连续函数，那么
=F[j(x)]+C．
证明思路 因为F(u)是f(u)的一个原函数，所以F¢(u)=f(u)；
由复合函数的微分法得：
d F[j(x)]=F¢(u)×j¢(x)dx=f[j(x)]×j¢(x)dx，
所以 =F[j(x)]+C．
基本思想：作变量代换u=j(x), (dj(x)= j¢(x)dx)，变原积分为，利用已知f(u)的原函数是F(u)得到积分，称为第一类换元积分法．
例1　求, (a,b为常数)．
解 因为dx=d(ax+b)，所以
令ax+b=u
+C
u=ax+b回代
(ax+b)11+C．
例2　求．
解 因为dx=d(lnx)，所以
u=lnx回代
令lnx=u
原式= u2+C (lnx)2+C．
例3　求．
解 因为xdx=d(x2)，所以
u=x2回代
令x2=u
原式= =eu+C +C．
例4　求．
令a2-x2=u
解 因为xdx=d(x2)=－d(a2-x2)，所以
原式=－ 　－= －+C
a2-x2=u回代
－+C．
学生思考：　求．
第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为dj(x)，另一部分为j(x)的函数f[j(x)]，且f(u)的原函数易于求得．因此，第一类换元积分法又形象化地被称为凑微分法．
常用微分式：
dx=d(ax)； xdx=d(x2)；
dx=d(ln|x|)； dx=2d()；
dx=－d()； dx=d(arctanx)；
dx=d(arcsinx)； exdx=d(ex)；
sinxdx=－d(cosx)； cosxdx=d(sinx)；
sec2xdx=d(tanx)； csc2xdx=-d(cotx)；
secxtanxdx=d(secx)； cscxcotxdx=－d(cscx)．

例6　求．
解 原式=．
例7　求, (a>0)．
解 原式=．
例8　求．
解 原式=．
例9　求, (常数a¹0)．
解 原式=
=．
例10　求．
解 原式==－ln|cosx|+C．
类似可得：=ln|sinx|+C．
例11　求．
解　原式=，　
利用例9的结论得
原式=+C=ln|secx+tanx|+C．
类似可得：=ln|cscx-cotx|+C．
学生思考：1　求．2　求
3　求
4　求
教师讲评
小结 第一类换元积分法关键是凑微分，基本的凑微分方法要掌握。
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高等数学典型教案

淮安信息职业技术学院数学教研室