b9分析06平方逼近.pptx

W Y第六章 函数逼近6-1第六章目录第六章目录1最小二乘法原理和多项式拟合最小二乘法原理和多项式拟合2一般最小二乘拟合一般最小二乘拟合2.1线性最小二乘法的一般形式线性最小二乘法的一般形式2.2非线性最小二乘拟合非线性最小二乘拟合3正交多项式曲线拟合正交多项式曲线拟合3.1离散正交多项式离散正交多项式3.2用离散正交多项式作曲线拟合用离散正交多项式作曲线拟合4函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近5最佳一致逼近最佳一致逼近第第第第1 1页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-24函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近前面对离散数据，我们利用最前面对离散数据，我们利用最小二乘法求拟合函数（多项式），小二乘法求拟合函数（多项式），本节对一些连续函数，当其表达式本节对一些连续函数，当其表达式较复杂不易于计算和研究时，我们较复杂不易于计算和研究时，我们利用最小二乘法，求这些连续函数利用最小二乘法，求这些连续函数的近似函数（较简单的函数），称的近似函数（较简单的函数），称为为函数函数f(x)在在a,b上的最佳平方逼上的最佳平方逼函数函数(x)。第第第第2 2页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-34.1基本方法基本方法设设f(x)在在a,b上连续，上连续，i(x)(i=0,1,2,m)在在a,b上线性无关，上线性无关，H=Span 0,1,m为为 k(x)的集合，求的集合，求(x)使：使：定义定义6.2连续情况下的连续情况下的内积内积定义为：定义为：(x x)为权函数）为权函数）为权函数）为权函数）第第第第3 3页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-4基本方法（续）基本方法（续）要求出满足（要求出满足（6-10）的）的(x)，与离散情况完全，与离散情况完全类似，即要求类似，即要求 k(x)满足正规方程组（满足正规方程组（6-5），当），当 k(x)线性无关线性无关可求出唯一解可求出唯一解是是H中关于权函数中关于权函数(x)的唯一的最佳平方逼近多项式。的唯一的最佳平方逼近多项式。若若 k(x)=xk(k=0,1,2,m)，此时，此时H为为 k(x)所所有线性组合生成的多项式集合，则有线性组合生成的多项式集合，则(x)称为关于称为关于(x)的的m次最佳平方逼近多项式或最小二乘逼近多次最佳平方逼近多项式或最小二乘逼近多项式。关于权函数项式。关于权函数(x)一般应给定，若没有特别一般应给定，若没有特别标明则标明则(x)1。第第第第4 4页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-5最佳平方逼近多项式最佳平方逼近多项式举例举例例例例例7 7求求求求f f(x x)=cos)=cos x x在在在在0,10,1上的一次最佳平方逼近多项式上的一次最佳平方逼近多项式上的一次最佳平方逼近多项式上的一次最佳平方逼近多项式 问题问题问题问题：如何求二：如何求二：如何求二：如何求二次、三次最佳平次、三次最佳平次、三次最佳平次、三次最佳平方逼近多项式，方逼近多项式，方逼近多项式，方逼近多项式，可：可：可：可：（1 1）如上，如上，如上，如上，H H=1,=1,x x,x x2 2 即取即取即取即取 2 2(x x)=)=x x2 2（2 2）或如后面例，按三项推式构造正交多项式或如后面例，按三项推式构造正交多项式或如后面例，按三项推式构造正交多项式或如后面例，按三项推式构造正交多项式第第第第5 5页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-64.24.2利用正交多项式求最佳平方逼近多项式利用正交多项式求最佳平方逼近多项式利用正交多项式求最佳平方逼近多项式利用正交多项式求最佳平方逼近多项式 从上节知道从上节知道从上节知道从上节知道 利用正交函数系可以简化最小二乘法的求利用正交函数系可以简化最小二乘法的求利用正交函数系可以简化最小二乘法的求利用正交函数系可以简化最小二乘法的求解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到正交多项式。正交多项式。正交多项式。正交多项式。定义定义定义定义6.36.3如果函数系如果函数系如果函数系如果函数系 0 0(x x),),1 1(x x),),mm(x x),),满足满足满足满足:则称此函数为区间则称此函数为区间则称此函数为区间则称此函数为区间 a a,b b 上关于权函数上关于权函数上关于权函数上关于权函数 (x x)的正的正的正的正交函数系。特别地，若交函数系。特别地，若交函数系。特别地，若交函数系。特别地，若A Ak k=1(k=0,1,2,)=1(k=0,1,2,)，则称其为，则称其为，则称其为，则称其为标准正交函数系，当标准正交函数系，当标准正交函数系，当标准正交函数系，当 k k(x x)为多项式时，称为为多项式时，称为为多项式时，称为为多项式时，称为正交多正交多正交多正交多项式。项式。项式。项式。第第第第6 6页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-7正交多项式举例正交多项式举例第第第第7 7页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-8正交函数系性质正交函数系性质 正交函数系具有以下性质：正交函数系具有以下性质：正交函数系具有以下性质：正交函数系具有以下性质：定理定理定理定理6.36.3 定理定理定理定理6.46.4 设设设设 k k(x x)(k=0,1,2,)(k=0,1,2,)是最高次项系数不为零的是最高次项系数不为零的是最高次项系数不为零的是最高次项系数不为零的k k次多项式，则次多项式，则次多项式，则次多项式，则 k k(x x)是是是是 a a,b b 上关于权函数上关于权函数上关于权函数上关于权函数 (x x)的正交多的正交多的正交多的正交多项式系的充要条件是对任意至多项式系的充要条件是对任意至多项式系的充要条件是对任意至多项式系的充要条件是对任意至多k k1 1次的多项式次的多项式次的多项式次的多项式Q Qk k1 1(x x)，均有：，均有：，均有：，均有：区间区间区间区间 a a,b b 上关于权函数上关于权函数上关于权函数上关于权函数 (x x)的正交函数系的正交函数系的正交函数系的正交函数系 0 0,1 1,n n是线性无关的。是线性无关的。是线性无关的。是线性无关的。第第第第8 8页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-9定理定理6.4的证明的证明第第第第9 9页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-10定理定理6.5证明类似于定理证明类似于定理证明类似于定理证明类似于定理6.26.2，略。，略。，略。，略。构造正交多项式的一般方法由以下定理给出：构造正交多项式的一般方法由以下定理给出：构造正交多项式的一般方法由以下定理给出：构造正交多项式的一般方法由以下定理给出：定定定定理理理理6 6.5 5第第第第1010页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-11几种常用的正交多项式几种常用的正交多项式 下面介绍几种常用的正交多项式下面介绍几种常用的正交多项式下面介绍几种常用的正交多项式下面介绍几种常用的正交多项式:（一）勒让德（一）勒让德（一）勒让德（一）勒让德（LegendreLegendre）多项式）多项式）多项式）多项式 LegendreLegendre多项式的一般表示式为多项式的一般表示式为多项式的一般表示式为多项式的一般表示式为:具体表达具体表达具体表达具体表达式为式为式为式为:第第第第1111页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-12Legendre多项式性质多项式性质（1 1）P Pk k(x x)是区间是区间是区间是区间 1,11,1上关于权函数上关于权函数上关于权函数上关于权函数 (x x)1 1的正交的正交的正交的正交函数系，且函数系，且函数系，且函数系，且 第第第第1212页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-13Legendre多项式性质（续多项式性质（续1）通过变量变换由通过变量变换由通过变量变换由通过变量变换由LegendreLegendre多项式可以得到在任意区间多项式可以得到在任意区间多项式可以得到在任意区间多项式可以得到在任意区间 a a,b b 上关于权函数上关于权函数上关于权函数上关于权函数 (x x)1 1的正交多项式系。的正交多项式系。的正交多项式系。的正交多项式系。第第第第1313页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-14Legendre多项式性质（续多项式性质（续2）（2 2）LegendreLegendre多项式满足递推公式多项式满足递推公式多项式满足递推公式多项式满足递推公式:例例例例如如如如：第第第第1414页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-15（二）第一类切比雪夫（二）第一类切比雪夫（二）第一类切比雪夫（二）第一类切比雪夫（ChebyshevChebyshev）多项式）多项式）多项式）多项式 第一类第一类第一类第一类ChebyshevChebyshev多项式的一般表示式为：多项式的一般表示式为：多项式的一般表示式为：多项式的一般表示式为：令令令令x x=cos=cos ，当，当，当，当x x在在在在 1,11,1上变化时，对应的上变化时，对应的上变化时，对应的上变化时，对应的 在在在在0,0,上变化，上变化，上变化，上变化，（6-126-12）可改写成：）可改写成：）可改写成：）可改写成：具体表达式为：具体表达式为：具体表达式为：具体表达式为：由上式容易看出，由上式容易看出，由上式容易看出，由上式容易看出，T Tn n(x x)是首是首是首是首项系数为项系数为项系数为项系数为2 2n n-1-1的的的的n n次次次次多项式。多项式。多项式。多项式。第第第第1515页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-16第一类第一类Chebyshev多项式性质多项式性质第一类第一类第一类第一类ChebyshevChebyshev多项式多项式多项式多项式有以下性质：有以下性质：有以下性质：有以下性质：第第第第1616页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-17第一类第一类Chebyshev多项式性质（续）多项式性质（续）性质（性质（性质（性质（3 3），（），（），（），（4 4）由余弦函数性质即得。由余弦函数性质即得。由余弦函数性质即得。由余弦函数性质即得。第第第第1717页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-18（三）拉盖尔（三）拉盖尔（Laguerre）多项式）多项式 LaguerreLaguerre多项式多项式多项式多项式定义为：定义为：定义为：定义为：其具体表达式为：其具体表达式为：其具体表达式为：其具体表达式为：第第第第1818页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-19Laguerre多项式性质多项式性质LaguerreLaguerre多项式有以下性质：多项式有以下性质：多项式有以下性质：多项式有以下性质：（1 1）L Ln n(x x)是区间是区间是区间是区间0,+0,+)上关于权函数上关于权函数上关于权函数上关于权函数 (x x)=)=e ex x的正交的正交的正交的正交多项多项多项多项 式系，且：式系，且：式系，且：式系，且：（2 2）LaguerreLaguerre多项式满足递推公式：多项式满足递推公式：多项式满足递推公式：多项式满足递推公式：由定理由定理由定理由定理6.56.5可以逐步构造在区间可以逐步构造在区间可以逐步构造在区间可以逐步构造在区间 a a,b b 上关于权函数上关于权函数上关于权函数上关于权函数 (x x)的正交多项式系的正交多项式系的正交多项式系的正交多项式系 n n(x x)进而求出满进而求出满进而求出满进而求出满足式（足式（足式（足式（6-86-8）的）的）的）的最佳平方最佳平方最佳平方最佳平方逼近多项式：逼近多项式：逼近多项式：逼近多项式：也可直接利用已知的正交多项式作出满足式（也可直接利用已知的正交多项式作出满足式（也可直接利用已知的正交多项式作出满足式（也可直接利用已知的正交多项式作出满足式（6-86-8）的）的）的）的最佳平方最佳平方最佳平方最佳平方逼近多项式：逼近多项式：逼近多项式：逼近多项式：第第第第1919页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-20最佳平方最佳平方逼近多项式举例逼近多项式举例例例例例8 8 利用正交多项式求利用正交多项式求利用正交多项式求利用正交多项式求y=tg 1x在区间在区间在区间在区间0,10,1上的上的上的上的最佳平方逼近一次式。最佳平方逼近一次式。最佳平方逼近一次式。最佳平方逼近一次式。第第第第2020页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-21例例8（续）（续）第第第第2121页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-22Laguerre多项式举例（例多项式举例（例9）例例9求求求求f f(x x)=)=SinSin x x在在在在0,10,1上的二次最佳平方逼近多项式上的二次最佳平方逼近多项式上的二次最佳平方逼近多项式上的二次最佳平方逼近多项式解解解解:用构造正交多项式用构造正交多项式用构造正交多项式用构造正交多项式的方法，的方法，的方法，的方法，(x x)=1.)=1.第第第第2222页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-23Laguerre多项式举例（例多项式举例（例10）例例10求求求求f f(x x)=)=e ex x 在在在在 1,11,1上的三次最佳平方逼近多项式上的三次最佳平方逼近多项式上的三次最佳平方逼近多项式上的三次最佳平方逼近多项式 第第第第2323页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-24Laguerre多项式举例（例多项式举例（例10续）续）若区间不一样，如求若区间不一样，如求若区间不一样，如求若区间不一样，如求f f(x x)=)=e ex x 在在在在0,10,1上的二次最佳平上的二次最佳平上的二次最佳平上的二次最佳平方逼近则需要变换区间，将方逼近则需要变换区间，将方逼近则需要变换区间，将方逼近则需要变换区间，将 1,11,1上的上的上的上的P Pn n(x x)变换为变换为变换为变换为0,10,1区区区区间上的正交多项式间上的正交多项式间上的正交多项式间上的正交多项式:第第第第2424页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-25第六章第六章结 束第第第第2525页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-26 上机练习题：不同拟合模型的比较上机练习题：不同拟合模型的比较 已知观测数据如下表所示，按下述方案求最小二已知观测数据如下表所示，按下述方案求最小二乘拟合函数，并求出偏差平方和乘拟合函数，并求出偏差平方和Q，比较拟合曲线，比较拟合曲线的优劣。的优劣。方案方案I拟合函数取为如下形式的三次多项式：拟合函数取为如下形式的三次多项式：方案方案II用离散正交多项式求三次拟合多项式用离散正交多项式求三次拟合多项式 方案方案III用离散正交多项式求四次拟合多项式用离散正交多项式求四次拟合多项式 方案方案IV拟合函数取为如下形式的函数：拟合函数取为如下形式的函数：第第第第2626页页页页/共共共共2727页页页页W Y第六章 函数逼近6-27x00.20.61.01.31.61.71.81.9y0 2.5 4.0 5.7 3.5 2.0 1.02.03.5x2.22.32.52.62.93.13.43.84.1y4.07.07.59.910.911.913.513.011.9x4.44.74.84.95.05.15.3y9.06.54.01.50.0 2.5 5.0观测数据表观测数据表第第第第2727页页页页/共共共共2727页页页页