数分知识总结及例题.doc

数分近一周知识点总结

本周学习了第二章数列极限。由于在数学分析中，变量的取值范围是限制在实数集合内，我们本章学习的重点便是实数系的基本性质和定理。
首先，经过严格的证明，引出了具有连续性的实数系，而确界存在定理就是R连续性的表述之一——非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界，即非空有界数集的上（下）确界是唯一的。
接着，高中学习过的数列在数分课上也被进一步深化——无穷大量、无穷小量、极限等概念的引入，让我们知道数列是发散或收敛的。数列极限有唯一性，且收敛数列必有界，而有界数列未必收敛。由此展开的系列推论与性质，如夹逼性、保序性和四则运算定理也为我们数列运算和学习收敛准则（单调有界数列必收敛）提供了思路和工具。
数学是良好的工具。应用极限，我们研究了兔群增长率变化情况，π、e、Euler常数的起源，感受了极限的魅力。接下来学习的闭区间套定理也解决了我们上一章遇到的问题——实数集是否可列。Bolzano-Weierstrass定理是将收敛准则条件改动而得到的“稍弱的结论”，更重要的是它为我们最终证明Cauchy收敛原理提供了强有力的支持。而Cauchy原理也说明了实数系的另一个性质——完备性。
回顾本章，我们会发现实数系的完备性等价于实数系的连续性，本章学习的5个实数基本定理也是相互等价的。
下面我们以5定理互证为例题
补充：聚点
有界数列的一个收敛子列的极限称为该数列的聚点，又称称极限点，因此Bolzano-Weierstrass定理又称聚点定理。下面我们用聚点定理代替B-W,是等效的
例题：实数系完备性基本定理的循环证明

摘 要:循环论证了实数系的5个基本定理,并最终形成所有完美的论证环,体现了数学论证之美.
(单调有界定理)　任何单调有界数列必定收敛．
　　(闭区间套定理）　设为一闭区间套：
　　1.
　　2.
则存在唯一一点
　　(聚点定理)又称Bolzano-WEierstrass定理　直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）．或表述为：有界数列有至少一个收敛子列。
　　(柯西收敛准则)　数列收敛的充要条件是：N， , 恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）
(确界存在原理) 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .
单调有界定理对其它定理的证明
一．用单调有界定理证明闭区间套定理
证 由区间套定义,{}为递增有界数列，依单调有界定理,{} 有极限,且有n=1,2, (1)
同理,递减有界数列{}也有极限,并按区间套的条件有
= (2)
且 ，n=1,2, (3)
联合(1) (3)即得式.
最后证明满足的的是唯一的,设数也满足
，n=1,2, 则由式有
|- | - ，n=1,2,
由区间套的条件得
|- |，
故有=
二．用单调有界定理证明确界原理
证 我们不妨证明非空有上界的数集必有上确界.
1.欲求一实数使它是非空数集的上确界.利用非空有上界的数集,构造一数列使其极限为我们所要求的实数.
选取性质:不小于数集中的任一数的有理数.
将具有性质的所有有理数排成一个数列{} ,并令
{}=max{,,,},
则得单调递增有上界的数列{};
2.由单调有界定理得,,且对任意的自然数n 有;
3.是数集S的上确界.用反证法.若有数 使,取,由3.一定存在一个有理数 ,使<+,从而<,这与是数集的上界矛盾.所以对一切S,都有,即是数集S 的上界.
任给>0,若S,都有-,则存在有理数,使-<<,即-< < .这与3.矛盾,所以存在 ,使>-.即是数集的最小上界.
于是,我们证明了所需结论.
三.用单调有界定理证明柯西收敛准则
证 若收敛，设
则有对，，当时有︱︱
任取，则有︱︱
从而︱︱︱︱︱︱
即是列
设是列
(i) 则对，，当时有︱︱
从而
取，，︱︱
从而
… …
取，，︱︱
从而
即得对有，由的任意性有
(ii)由列的定义，任取，则，当时有
︱︱
取则
所以为有界序列
由有为有界序列
由有界单调收敛定理有收敛，设
(iii)下证
因为对，，当时有︱︱
由是列有
当时有︱︱
所以︱︱︱︱+︱︱
所以收敛，且
证毕
四.单调有界定理证明聚点定理
证 设是以有界无限点集 ,则在中选取一个由可数多个互不相同的点组成的数列 {},显然数列{}是有界的.
下面我们从{}中抽取一个单调子列, 从而由单调有界定理该子列收敛, 最后我们证明该子列的极限值 ,就是有界无限点集的聚点 .分两种情况来讨论.
1)如果在{}的任意一项之后 ,总存在最大的项( 因是有界的且{},这是可能的). 设
后的最大项是;
后的最大项是且显然;
一般地, 后的最大项记为 ,(=1,2,…). 这样,就得到了{}的 一个单调递减的子数列{},因为{}有界,根单调有界定理知,{}收敛.
2)如果1)不成立. 即从某一项后, 任何一项都不是最大的 (为证明书写简单起见 ,不妨设从第一项起,每一项都不是最大项). 于是, 取=, 因不是最大项, 所以必存在另一项>(>).又因为也不是最大项, 所以又有>( >),…… 这样一直下去,就得到{}的一个单调递增的子列 {}且有上界 单调有界定理知, {}收敛。
总之不论{}属于情形 1）还是情形 2）都可作出{}的一个单调收敛的子列.
设=,今证是的聚点 .对>0,存在自然数,使得时>时，
- < < +,
若这时{}单调递减 , < +( >) 且 , 即的领域内含有中异于的点,故是 的聚点.
单调递增时,类似可证
区间套定理对其它定理的证明
一.用区间套定理证明数列的柯西收敛准则
证 [必要性] 设= A.由数列极限定义,对任给的>0,存在>0,当m,n>时有
|-A|< , |-A|< ,
因而 | -| |-A|+ |-A|< + =.
[充分性] 按假设,对任给的>0,存在>0,使得对一切有
|-| ,即在区间[-,+] 内含有{}中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“ {} 中几乎所有的项”表示“ {} 中除有限项外的所有项”)
据此,令= ,则存在,在区间[-, + ]内含有{}中几乎所有的项.记这个区间为[,].
再令=,则存在(>) ,在区间[-,+]内含有{}中几乎所有的项.记
[,]=[-,+][,],
它也含有{} 中几乎所有的项,且满足
继续依次令=, , , ,照以上方法得一闭区间列{[,]},其中每个区间都含有{} 中几乎所有的项,且满足
[,][,],n=1,2, ,
-0 (n),
即{[,]}是区间套,由区间套定理,存在唯一的一个数[,]( n=1,2,). .
现在证明就是数列{}的极限.事实上,对任给的>0 ,存在>0 ,使得当> 时有 [,]U(;).
因此在U(;)内含有{} 中除有限项外的所有项,这就证得= .
二．用区间套定理证明聚点定理
证 因为有界点集,故存在,使得,记[,]= .
现将[,]等分为两个子区间,因为无限点集,故两个子区间至少有一个含有中无穷多个点,记此子区间为[,] ,则[,][,] ,且
-=(-)=M.
再将[,]等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间含有中无穷多个点,取出这样的一个子区间,记为[, ] ,则[,][, ] ,且
-=(-)=.
将此等分子区间的手续无限地进行下去,得到一个区间列{[,]} ,它满足
[,][,],n=1,2, ,
-=0 (n),
即{[,]}是区间套,且其中每一个闭区间都含有中无穷多个点.
由区间套定理,存在唯一的一点[,] , n=1,2,.于是对任给的>0,存在>0 ,当>时有[,]U(;).从而U(;)内含有中无穷多个点, 为的一个聚点.
三.用区间套定理证明确界原理
证 仅证明非空有上界的数集必有上确界.
1.要找一数,使其是数集上的上确界. 是的上确界就要满足上确界定义中的两个条件:大于 的数不在中, 的任何领域内有中的点.这两条即为性质.
如果在闭区[,]间中,则闭区间应有性质[,]:任何小于的数不在中, [,]中至少含有中的一个点,该性质即为.取的上界为,且 b,取,则闭区间有性质;
2. 将闭区间[,]等分为两个闭区间,则至少有一个闭区间[,]也有性质.如此继续得一闭区间列,满足
[,][,][,];
==0
3. 由闭区间套定理得属于所有的闭区间[,],n=1,2, , 并且每个闭区间[,]有性质 ;
4. 因为, n=1,2, , 且=0,故
==,
由于对,有,从而=;又对>0,总存在,使得- < ,故存在[, ], 于是>- .因而=sup.
四．用区间套定理证明单调有界定理
证 设{}是单调有界数列 ,不妨设其为单调递增且有上界,现在来构造以个闭区间套.
在{}中任取一项记作, 这时<于是,以,为端点的闭区间[,]内一定含有数列{}中的无限多项,将区间[,]二等分,得闭区间[,],[,].
由于{}单调递增，故[,]和[，]中只有一个包含{}的无限多项，记该区间为[,].再将[,]二等分，在所得区间中只有一个包含{}的无限多项，记该区间为[,],如此继续，得一闭区间列：
[,]，[,]，…[,]，…，
满足
[,][,],(=1,2,…);
=0
故是一个闭区间套,由闭区间套定理,存在唯一实数使得[,](=1,2,…).
现在证明因=.因=0,故对>0存在自然数,当> 时,
︱-︱<
另外,由于[,]包含递增数列{}的 无限多项,所以必存在,当> 时,有
,
取=max{, },当> 时有
︱-︱<-<,
此即=.
柯西收敛准则对其它定理的证明
一.用柯西数列的收敛准则证明确界原理
证 设为非空有上界数集.由实数的阿基米德性,对任何正数,存在整数,使得= 为的上界,而- =(-1) 不是S的上界,即存在,使得 >(-1) . .
分别取= ，=1,2,,则对每一个正整数,存在相应的 ,使得为的上界,而- 不是的上界,故存在,使得
>-. (1)
又对正整数,是的上界,故有.结合(1)式得-< ;同理有-< .从而得
| -|<max(,).
于是,对任给的>0 ,存在>0 ,使得当,>时有
| -|<.
由柯西收敛准则,数列{} 收敛.记
= (2)
现在证明就是的上确界.首先,对任何和正整数有,由(2)式得,即是的一个上确界.其次,对任何>0 ,由0()及(2)式,对充分大的同时有
<,>-.
又因- 不是的上界,故存在,使得>- .结合上式得
>--=-.
这说明为的上确界.
同理可证:若为非空有下界数集,则必存在下确界.
二.用柯西收敛准则证明聚点定理
证 1.取为的下界,对任意固定的自然数，存在自然数, 使=+ 满足：
1） 至多为有限点集；
2）为无限点集.
2．由1.对任意的自然数,, < , 这是因为，若存在n,使, 则

这与1），2）矛盾.从而
|-|max{,}
因此{}满足柯西收敛准则；
3．由柯西收敛准则得，=;
4．对>0, 由于=,所以存在使得
, -(-,+),
从
,
有2）得是无限点集；又
,
由1）得至多是有限点集.因此
(-,+),
是无限点集,即是的聚点.
三.用柯西收敛准则证明闭区间套定理
证 不妨设是一列闭区间,满足如下两个条件:1) 2)设.则,所以数列是一基本数列.从而由柯西收敛准则得: .由于数列单调增加,数列单调减少,可知是属于所有闭区间 的唯一实数,从而区间套定理得证.下面证明闭区间套的公共点是唯一的
若也属于所有的闭区间,则,当时, ,这与闭区间套的条件矛盾,即区间套的公共点是唯一的.
四.用柯西收敛准则证明单调有界定理
证 设为一递增且有上界M的数列．用反证法（ 借助柯西准则 ）可以证明：倘若无极限，则可找到一个子列以为广义极限，从而与有上界相矛盾．现在来构造这样的．
　　对于单调数列，柯西条件可改述为：“,当时，满足”．这是因为它同时保证了对一切，恒有
．
　　 倘若不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：，对一切，，使
．
依次取

把它们相加,得到
．
故当时，可使，矛盾．所以单调有界数列必定有极限．
确界原理对其它定理的证明　
一.用确界原理证明柯西收敛准则
证 必要性是常规证法,故从略.只证充分性.
1．构造非空有界数集,因为欲证明数列{}收敛，故数集必须含有数列{}中的无限多个数,为此，令
={ |(-, ){}是空集或有限点集};
2．由于满足柯西收敛准则充分条件的数列是有界的,故知数列{}的下界,上界也是的上界.所以是非空有上界的数集.由确界原理数集有上确界=sup;
3．对>0, (-,){} 是无限点集,否则,就与=sup.矛盾.因(-,+){}至多含有{}的有限多个点.故(-,+)含有{的无限多个点.设(-,+),k= 1,2,,且< < . 取=max{N, }, 则当n>时,总存在>使
|-| |- | + |-|<2
因此= .
二. 用确界原理证明闭区间套定理
证 存在唯一的实数使得[,](=1,2,…)
令= {} 显然非空且有上界( 任一都是其上界) 据确界原理 , 有上确界.设sup=
现在证明属于每个闭区间[,](=1,2,…)显然(=1,2,…),所以只需证明对一切自然数,都有. 实事上,对一切自然数，都是的上界, 而上确界是上界中的最小者,因此必有,故证明了存在一实数 使得[,](=1,2,…).
三.用确界原理证明聚点定理
证 设为有界无限点集。构造数集.易见数集非空有上界,由确界原理,有上确界.设sup.则对,由不是的上界, 中大于的点有无穷多个;由是的上界, 中大于的点仅有有限个.于是,在内有的无穷多个点,即是的一个聚点.
四.用确界原理证明单调有界定理
证 设单调上升,即有上界,即,使得.
考虑集合,它非空,有界,推出它有上确界,记为.我们验证.
,由上确界的性质,,使得,当时,由序列单调上升得,再由上确界定义,,有,即 ,也就是说.
同理可证若单调下降,有下界,也存在极限,且.
若集合无上界,记作；若集合无下界,记作,这样一来,由于单调上升（下降）有上界（下界）的序列,必有极限的定理现在有了严格的理论基础了.且对单调上升（下降）序列,总有
.
证闭.
聚点定理对其它定理的证明
一.用聚点定理证明区间套定理
证 设={}{}. 则 S是有界无限点集.由聚点定理得数集聚点.若存在一个, 使>>( n=1,2,).再取=( -), 由{}的单调性,当n>N时, >>+.这样,(-, +) 内至多有S中的有限多个点.这与是聚点矛盾,于是得到( n=1,2,).
同理可证, ( n=1,2,).因此,有.
唯一性的证明从略.
二.用聚点定理证明柯西收敛准则
证 设{}是一 列 柯西列，则知{}是有界的.若{}中只有有限 多个项不相同,那么必有一项譬如出现无限多次, 这时 就得到{}的一个收敛的子列{}. 又因为{}是柯西列，故对>0，存在自然数, 当>>时
︱-︱<.
特别地 , 当>, >时由于> > , 从而
︱-︱<,
令,得︱-︱.
即=.
若{}中有无限 多项互不相同, 数集={} 是一有界无限点集.根据聚点定理 , 至少有一 聚点, 由聚点的定义 ,对任意的自然数,在中, 必含有{}的 无限多项, 从而在中可选出一项,且,由于的任意性，所以 ＝.同上可知＝.
三.用聚点定理证明单调有界定理
证 设是一单调有界数列,下证收敛,不失一般性.
由聚点定理可知至少有一个聚点,假设都是的聚点
则,使得.使得.

因为所以
取,则至多含有中的项,矛盾
从而中只有一个聚点,记该点为.
下证.
因为是的聚点,所以对是无穷点集,
且.所以.
由的单调性,取,则当时有

所以
四.用聚点定理证明确界原理
证 设为一有上界点集,若为有限点集
则必有上确界,且sup=max.
若为无限点集,设为的任一上界,任取
将二等分,若,则令,.否则
,.再将二等分,若
则记,.否则,.
这样重复下去,可得两数列,, 其中是的上界,,且有

由聚点定理可知,有聚点,由聚点唯一,记为.
下证为的上确界.
1)对,有,即
2)对,由的构造可知,,使得
因为 所以为的上确界

谢谢大家，也祝大家数分攀岩之路一路顺风！！

学年论文

题 目： 实数完备性基本定理的循环证明
学 院： 数学与信息科学学院
专 业： 数学与应用数学
班 级： 2007级数学2班
学生姓名： 齐淼
学 号： 2007710710225