高中数学阶段常见函数性质汇总.doc

高中阶段常见函数性质汇总
x
y
b
O
f(x)=b
函 数　 名　称:常数函数
解析式 形 式:f(ｘ)=b (b∈R)
图象及其性质:函数ｆ(x)得图象就是平行于x轴或与x轴重合（垂直于y轴)得直线
定 义　　 域:Ｒ
值　 　 　 域：{ｂ}
单 　调 　 性:没有单调性
奇　　 偶 　 性:均为偶函数[当b=０时,函数既就是奇函数又就是偶函数］
反　 函 数：无反函数
周 期 性：无周期性
x
y
O
f(x)=kx+b
函 数　　名 称:一次函数
解析式 形　式：ｆ(x)=kx＋b (k≠0,b∈Ｒ)
图象及其性质:直线型图象。|ｋ|越大，图象越陡;|k｜越小,图象越平缓;
当ｂ=０时,函数f(ｘ）得图象过原点;
当b=０且k=1时,函数f(x）得图象为一、三象限角平分线;
当b=0且k=－1时,函数f(x)得图象为二、四象限角平分线；
定 　 义 域:Ｒ
值 　 域：R
单 调 　性:当k＞０时,函数f(ｘ)为Ｒ上得增函数;
当ｋ＜0时,函数f(x)为R上得减函数;
奇　 偶 性:当ｂ=０时,函数ｆ(x)为奇函数;当b≠０时,函数f(x)没有奇偶性;
反 　　函　 数:有反函数。[特殊地,当k=-1或ｂ=0且k=1时,函数f（x)得反函数为原函数ｆ（ｘ)本身]
周 期 性:无
函 数 名　称:反比例函数
x
y
O
f(x)=
解析式 形　式：ｆ（x)＝ (k≠0）
图象及其性质:图象分为两部分，均不与坐标轴相交,当k>0时，函数f(x)得图象分别在第一、第三象限;当k<0时，函数f(ｘ)得图象分别在第二、第四象限;
双曲线型曲线，x轴与y轴分别就是曲线得两条渐近线;
图象成中心对称图形,对称中心为原点;
图象成轴对称图形,对称轴有两条,分别为y=x、y=－x;
定 　义 域:
值　 　　 域:
单 　调　　 性:当ｋ>0时,函数f(x)为与上得减函数；
当k<０时,函数f（ｘ)为与上得增函数;
x
y
O
f(x)=
奇 偶 性：奇函数
反 函 数:原函数本身
周 　期 性:无
函 数 名　称:变式型反比例函数
解析式 形 式:f（x）=　　(c≠０且 d≠0）
图象及其性质:图象分为两部分,均不与直线、直线相交,当k>０时,函数f（x)得图象分别在直线与直线形成得左下与右上部分;当k<0时，函数f(x)得图象分别在直线与直线形成得左上与右下部分;
双曲线型曲线,直线与直线分别就是曲线得两条渐近线;
图象成中心对称图形,对称中心为点;
图象成轴对称图形，对称轴有两条,分别为、；
由于
令，则
进而函数f(x)得图象可以瞧成就是由函数向左平移个单位,向上平移 个单位得到得
定 义 域:
值 　 　 域:
单 调 　性：当时,函数在与上均为减函数;
当时,函数在与上均为增函数;
奇 　偶 　 性:非奇非偶函数
反 　 函 数:
周 期 性:无
x
y
O
f(x)=

函　数 　名 称：二次函数
解析式 形 式:一般式:
顶点式:
两根式:
图象及其性质：①图形为抛物线,对称轴为,顶点坐标为或,与轴得交点为;
②当时,抛物线得开口向上,此时函数图象有最低点;当时,抛物线得开口向下，此时函数图象有最高点;
③当时,函数图象与轴有两个交点,当时,函数图象与轴有一个交点，当时,函数图象与轴没有交点;
④横坐标关于对称轴对称时,纵坐标相等;当时,横坐标距对称轴近则函数值小,当时，横坐标距对称轴近则函数值大;
⑤函数均可由函数平移得到;
定 　 义 　域:Ｒ
值 域:当时,值域为;当时,值域为
单 　调 性:当时，上为减函数,上为增函数；
当时，上为减函数，上为增函数;
奇 　偶 性：当时，函数为偶函数;当时,函数为非奇非偶函数
反 函 数:定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数
周 期　 性:无
x
y
O
f(x)=
f(x)=

函　数 名 称:指数函数
解析式 形 式:
图象及其性质：①函数图象恒过点,与 　　　轴不相交,只就是无限靠近;
②函数与得图象关于轴对称;
③当时,轴以左得图象夹在在直线与轴之间，轴以右得图象在直线以上;当时,轴以左得图象在直线以上,轴以右得图象夹在在直线与轴之间;
④第一象限内,底数大，图象在上方;
定 　　义 　 域:R
值 　 域:
单 调 　 性:当时，函数为增函数;当时,函数为减函数；
奇 偶 性:无
反 函 数:对数函数
x
y
O
f(x)=
f(x)=
周　 期　 性:无
函 数　 名 称：对数函数
解析式 形 式:
图象及其性质:①函数图象恒过点,与轴不相交,只就是无限靠近;
②函数与得图象关于轴对称；
③当时,轴以下得图象夹在在直线与轴之间,轴以上得图象在直线以右;当时,轴以下得图象在直线以右,轴以上得图象夹在在直线与轴之间;
④第一象限内,底数大，图象在右方；
定 义 　 域:Ｒ
值 　　 域：
单 调 　 性:当时,函数为增函数；当时，函数为减函数;［与系数函数得单调性类似,因为两函数互为反函数］
x
y
O
f(x)=
1
2
奇 偶 性：无
反 　函 　 数：指数函数
周 　期 　性:无
函 数 名 称:对钩函数
解析式　形　式:
图象及其性质:①函数图象与轴及直线不相交,只就是无限靠近；
②当时，函数有最低点,即当时函数取得最小值;
③当时,函数有最高点，即当时函数取得最大值;
定 　 义 　 域:
值　　 　 　 域:
单　 　调 性:在与上函数为增函数;在与上函数为减函数;
奇 　偶 　 性:奇函数
反 　函 　 数:定义域内无反函数
周 　期　 　性：无
２.3函数单调性(考点疏理＋典型例题＋练习题与解析)2.3函数单调性　
【典型例题】
例1．（1)则a得范围为（　Ｄ）　 　
　Ａ. 　 Ｂ. 　C. Ｄ． 　
　　 　 　提示:２1<０时该函数就是R上得减函数、 　 　 　 　 　 　
（2）函数)就是单调函数得充要条件就是（　A　)
　 A． Ｂ. 　 　C.　 Ｄ.
提示:考虑对称轴与区间端点、结合二次函数图象
(3）已知在区间上就是减函数,且,则下列表达正确得就是( Ｄ )
A. 　 B.
C. 　 　 　D.
提示：可转化为与在利用函数单调性可得、
(４） 如下图就是定义在闭区间上得函数
得图象,该函数得单调增区间为 [-2，１]与[3,5]
提示:根据图象写出函数得单调区间、注意区间不能合并、
　（5)　函数得单调减区间就是
提示:结合二次函数得图象，注意函数得定义域、
例2.画出下列函数图象并写出函数得单调区间
(1) 　 (2)
解:（1） 　即
如图所示，单调增区间为,单调减区间为
（2）当,函数
当,函数
即
如图所示,单调增区间为,单调减区间为

　 　 　 (1) 　 　　 　 　 　 　　 　 　（2) 　 　 　
例3.根据函数单调性得定义，证明函数　在　上就是减函数.
证明：设
　 则
　    ,且在 与 中至少有一个不为０,
不妨设 ,那么,
故 在　上为减函数
例４、设就是定义在Ｒ上得函数，对、恒有,且当时，。
(1)求证:; 　 　　　　 　 (2)证明:时恒有;
(3)求证:在R上就是减函数; 　(4)若，求得范围。
解:(1)取ｍ＝0,n＝ 则,因为 所以
(2)设则
　　 由条件可知
又因为,所以
∴时,恒有
（3)设则
=
　=
　　 因为所以所以即
又因为，所以
所以,即该函数在R上就是减函数、
（4)　因为,所以
所以，所以
【课内练习】
１.下列函数中,在区间(0，２）上为增函数得就是( D  )、
Ａ．   B．　      C. 　Ｄ．
提示:根据函数得图象、
2、函数 得增区间就是( A  )、
　　A. ［3,1]  　B. [１,１] 　 C.　  D．　
提示:注意函数得定义域、
3、 在 上就是减函数,则得取值范围就是( A )、
　 A.   Ｂ．   C.   D．
提示：考查二次函数图象得对称轴与区间端点、
４．若函数在区间［，ｂ]上具有单调性,且,则方程在区间［，b］上(D)A.至少有一个实数根　 　　Ｂ．至多有一个实数根　　 C．没有实数根　 　　 D.必有唯一得实数根
提示:借助熟悉得函数图象可得、
5、 函数 得单调增区间就是__＿_,单调减区间______。
提示：画出二次函数得图象,考虑函数对称轴、
6.若当 时就是增函数，当时就是减函数，则 13　 　
提示：由题可知二次函数得对称轴就是可求出m得值、
7.已知在定义域内就是减函数,且＞0,在其定义域内下列函数为单调增函数得为　②③ 　
①（为常数)；②(为常数);③　;④ ．
提示:借助复合函数得单调性、
8.函数上得最大与最小值得与为，则＝ 　
提示:就是［0,1］上得增函数或减函数,故，可求得＝
９．设就是定义在上得单调增函数,满足
求:(１）f(1）;(2)当时x得取值范围、
解:(１） 令可得 (2)又２=１+1=　 　
由,可得
因为就是定义在上得增函数，
所以有且且，解得:
10.求证:函数在上就是增函数、
证明:设则

当时 ，， ,所以
所以函数在上就是增函数、
2．4 函数得奇偶性(考点疏理+典型例题＋练习题与解析)
【典型例题】
例1．(１)下面四个结论中，正确命题得个数就是（Ａ)
①偶函数得图象一定与ｙ轴相交；②函数为奇函数得充要条件就是;③偶函数得图象关于y轴对称;④既就是奇函数,又就是偶函数得函数一定就是f(x)=0(ｘ∈R).
A.１ ﻩﻩＢ.2　 　 C.3 　 ﻩﻩＤ．４
提示:①不对，如函数就是偶函数,但其图象与轴没有交点;②不对,因为奇函数得定义域可能不包含原点;③正确;④不对,既就是奇函数又就是偶函数得函数可以为ｆ(x）=０〔x∈（-，)〕，答案为A．
（2)已知函数就是偶函数,且其定义域为［］，则(　 ）
A．,b=0 　　 B．,ｂ＝０ 　 C.,b＝0 　Ｄ.，b＝0
提示:由为偶函数,得ｂ=0.
　　又定义域为[］,∴ ，∴.故答案为A.
（３）已知就是定义在R上得奇函数,当时,,则)在Ｒ上得
表达式就是( )
A． Ｂ． C. Ｄ.　　
提示:由时，,就是定义在R上得奇函数得：
当x＜0时，,
∴,即,答案为D.
(4）已知,且,那么f(2）等于
提示：为奇函数,，∴,∴.
（5）已知就是偶函数,就是奇函数,若，则得解析式为
提示:由就是偶函数,就是奇函数,可得,联立,得：,　∴
例2.判断下列函数得奇偶性:
(1);(2）;
(3);(4)．
解:(1)由，得定义域为，关于原点不对称,∴为非奇非偶函数.
（２) ,∴ ∴既就是奇函数又就是偶函数.
（3)由得定义域为,∴，
∵　 ∴为偶函数
(４)当时,,则，
ﻩ当时,，则,
ﻩ综上所述,对任意得,都有，∴为奇函数.
例3．若奇函数就是定义在(,1)上得增函数，试解关于得不等式：
.
解:由已知得
因f(ｘ)就是奇函数,故 ,于就是.
又就是定义在(１,1）上得增函数，从而

ﻩ即不等式得解集就是.
例4.已知定义在R上得函数对任意实数、，恒有,且当时,，又.
(１)求证：为奇函数;(2）求证:在R上就是减函数;(3)求在[，6]上得最大值与最小值.
(1)证明:令,可得　，从而，f(0) =　0．
令，可得 ,即,故为奇函数.
（2）证明：设∈R,且,则，于就是.从而

所以,为减函数.
(3)解：由(2)知,所求函数得最大值为,最小值为.

于就是,在[-3,6]上得最大值为2,最小值为 －4.
【课内练习】
１.下列命题中,真命题就是( Ｃ　)
A.函数就是奇函数,且在定义域内为减函数
Ｂ.函数就是奇函数,且在定义域内为增函数
C．函数就是偶函数，且在（3,0)上为减函数
D.函数就是偶函数，且在（0,2)上为增函数
提示:A中,在定义域内不具有单调性;Ｂ中，函数得定义域不关于原点对称;D中,当时，在(0，2)上为减函数,答案为Ｃ.
2． 若,都就是奇函数,在(0,＋∞）上有最大值5,则在(-∞,０)上有(　 )
A.最小值－5 　B.最大值-5 　C.最小值－1　　　D.最大值－３
提示:、为奇函数,∴为奇函数.
又有最大值5,　∴－2在(0,＋∞)上有最大值3.
∴-2在上有最小值－3，∴在上有最小值－1.答案为C.
３.定义在R上得奇函数在(０,＋∞)上就是增函数,又，则不等式得解集为(A）
Ａ．(－３,０）∪(０,3）ﻩ ﻩ 　Ｂ．(-∞,-3）∪(３,+∞)
C.（-3，0)∪(3，+∞)ﻩ ﻩ ﻩD．（－∞,-３）∪(0，３）
提示:由奇偶性与单调性得关系结合图象来解．答案为A.
4、已知函数就是偶函数,在［0,2］上就是单调减函数,则（A)
A、 　 　 Ｂ、
C、 　 　 D、
提示：由f(ｘ-2）在[0,2]上单调递减,∴在[-2,0］上单调递减、
∵就是偶函数,∴在［0,2］上单调递增、 又,故应选A、
5．已知奇函数,当∈（0，１）时,ｌg,那么当∈(－1,０)时,得表达式就是.
提示:当（-1,0)时,∈(0,1），∴.
6.已知就是奇函数,则+= 2008．
提示：　,，解得:,经检验适合,．
7.若就是偶函数,当∈[0,+∞）时,,则得解集就是
提示:偶函数得图象关于ｙ轴对称,先作出得图象,由图可知得解集为,∴得解集为、
８．试判断下列函数得奇偶性:
(1）;ﻩ(2); （3).
解:（1）函数得定义域为R,,
故为偶函数．
(2)由得:,定义域为,关于原点对称,
,,故为奇函数．
(３）函数得定义域为(-∞，0)∪（0,1)∪(1,+∞),它不关于原点对称，故函数既非奇函数,又非偶函数.
9.已知函数对一切,都有,若，用表示．
解:显然得定义域就是，它关于原点对称．在中,
令，得,
令,得，∴，
ﻩ∴，即,　∴就是奇函数．
∵, ∴.
10.已知函数就是奇函数,又,,，求、、得值、
解:由得 ∴c=0、 又，得，
而,得,解得、
又，∴或、
若,则ｂ=,应舍去； 若,则b=１∈Z、
∴、
2．5 映射得概念、指数函数作业本A、Ｂ卷 （练习题与解析)
　Ａ组
１.在M到N得映射中,下列说法正确得就是（ D )
A.M中有两个不同得元素对应得象必不相同 　Ｂ.N中有两个不同得元素得原象可能相同
C．Ｎ中得每一个元素都有原象 　 　　Ｄ．N中得某一个元素得原象可能不只一个
提示:M中两个不同得元素对应得象可以相同, N中得元素可以没有原象.答案为D.
２.函数就是指数函数,则有( C）、
A．或 　 B. 　C. 　 D.且
提示：得:,答案为C．
3.已知,则下列关系中正确得就是( Ｄ )
Ａ 　 Ｂ 　　　 C 　 D　
提示:，有在R上为减函数知,答案为D．
4.在定义域内就是减函数，则得取值范围就是(1,2)
提示:由解得：
5.若指数函数在[-1,1]上得最大值与最小值得差就是1,则底数
提示:若,则，即,解得:．
若,则即,解得:．
综上所述；.
6、比较下列个组数得大小:
(1)与；(２)、
解:(1)∵ 且, ∴　、
（2)，，
∵　,∴　
7、求函数得值域及单调区间、 　 　　　 　 　 　
解:①令,则，, ，即
∴　函数得值域为、
②函数在R上为减函数,
当时,为增函数,当时，为减函数
∴ 所给函数得增区间为，减区间为、
8.已知函数得对称轴为直线，且,比较得大小.
解:由题意:,∴ ,
∴，在上单调递增.
当时,,则;
当时,,则;
当时,,则．
Ｂ组
1．设它得最小值就是(　 )
A. 　 　 B.　 　 　 　 B. 　　　 Ｄ.0
提示：设,得，当时,.
２.下列：Ｍ→Ｎ得对应关系中,不就是映射得就是（C ）
A.M＝{α|} ，N=[0,1],:取正弦.
Ｂ.Ｍ={α｜},N=[-1，1],:取余弦.
　Ｃ.M=｛0，1,２},N=｛０, 1， ｝,:取倒数.
　Ｄ.M ＝{-3,-2,-1,2,3},N={1,4，9，１6},:取平方.
提示:C中,０没有象.
3、函数得单调递增区间就是( D ) 　 　 　　 　
Ａ、 　 　 　 B、 　 C、　 Ｄ、
提示:,得减区间就就是所给函数得增区间、答案为D．
4.设,使不等式成立得得集合就是
提示:∵　,∴　原不等式可以化为:，解得.
5.若Ｍ={－1，０,１} N=｛-2,-１，０,1,2}从M到Ｎ得映射满足：对每个∈M恒使＋　 　 　 　 就是偶数， 则映射有＿１2_＿个．
提示：中得元素与其在中得象得与为偶数，故为偶数时,为偶数,为奇数时,为奇数,故符合条件得映射得个数为(个)
６.已知,求函数得最大值与最小值.
解　:由得:，解得：, ∴
令,则，
当时,,此时,；当时,,此时,.
7、若,且,
求证:(1)当时， ;（２)当时, 、
证明:∵ ,且a+b=ｃ,∴ ， ∴
，
(１)当时,，所以；
(2)当时,,所以、
８、（1）已知就是奇函数,求常数m得值;
　 (2)画出函数得图象，并利用图象回答:为何值时,方程|｜＝无解?有一解？有两解?
解:(１）由得:,
(2）当时,直线与函数得图象无交点,即方程无解；
当或时, 直线与函数得图象有唯一得交点，所以方程有一解; 当时， 直线与函数得图象有两个不同交点,所以方程有两解、
8.