条件概率全概公式.pptx

若事件若事件B已发生，则为使已发生，则为使A也发生也发生,试验结试验结果必须是既在果必须是既在B中又在中又在A中的样本点中的样本点 ,即此点即此点必属于必属于AB。由于我们已经知道。由于我们已经知道B已发生已发生,故故B变变成了新的样本空间成了新的样本空间 ,于是有于是有(1)(1)式。式。掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是所有可能结果构成的集合就是B，于是于是P(A|B)=1/3.)=1/3.B中共有中共有3 3个元素，它们的出现是个元素，它们的出现是等可能的，其中只有等可能的，其中只有1 1个在集个在集A中，中，P P(A)=1/6)=1/6，B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？例例如如，掷一颗均匀骰子掷一颗均匀骰子A 掷出掷出2 2点点，容易看到：容易看到：例例1 1 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到2020岁以上岁以上的概率为的概率为0.80.8，活到，活到2525岁以上的概率为岁以上的概率为0.40.4。如。如果现在有一个果现在有一个2020岁的这种动物，问它能活到岁的这种动物，问它能活到2525岁以上的概率是多少？岁以上的概率是多少？解解 设设A表示表示“能活到能活到2020岁以上岁以上”，B表表示示“能活到能活到2525岁以上岁以上”。则则由已知由已知从而所求的概率为从而所求的概率为由条件概率的定义：由条件概率的定义：即若即若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)(2)而而 P(AB)=P(BA)2 2、乘法公式乘法公式若已知若已知P(B),P(A|B)时时,可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0,)0,则则P(AB)=)=P(A)P(B|A)(3)(3)若若P(A)0,)0,则则P(BA)=)=P(A)P(B|A)(2)(2)和和(3)(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式,利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率 例例2 2 在在100100件产品中有件产品中有5 5件是次品，从中件是次品，从中连续无放回地抽取连续无放回地抽取3 3次，问第三次才取得次品次，问第三次才取得次品的概率。的概率。解：设解：设 表示表示“第第i次取得次品次取得次品”（i=1=1，2 2，3 3）,B表示表示“第三次才取到次品第三次才取到次品”，则，则3 3、事件的相互独立性事件的相互独立性 对乘法公式对乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)P(AB)=P(A)P(B|A)，有的，有的问题中事件问题中事件B B发生的概率与事件发生的概率与事件A A发生的条件发生的条件下事件下事件B B发生的概率是相等的，即发生的概率是相等的，即相当于无条件概率，相当于无条件概率，B是否发生与是否发生与A无关，从无关，从而而此时称此时称A与与B是相互独立的。是相互独立的。我们也称我们也称A，B，C 是相互独立的事件。是相互独立的事件。对三个事件对三个事件A，B，C，如果成立：，如果成立：定理定理 若事件若事件A与与B是相互独立的，则是相互独立的，则,与与 都是相互独立的。都是相互独立的。与与 例例 3 3 一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体,将第一面染将第一面染成红色成红色,第二面染成白色第二面染成白色,第三面染成黑色第三面染成黑色,第四面同时染上红、白、黑三种颜色，如果第四面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以以A A、B B、C C分别表示投掷一次正四面体时红、分别表示投掷一次正四面体时红、白、黑颜色着地的事件，由于在四个面中两白、黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上着红色，故面上着红色，故 同理可知同理可知 对以上三事件对以上三事件A A、B B、C C，成立，成立:对对于于多多个个随随机机事事件件，若若 是是相相互互独独立立的的，则则n n 个个事事件件中中至至少少有有一一个个发发生生的的概率为概率为但但 所所以以A A、B B、C C三三事事件件不不是是相相互互独独立立的的,但但它它们们是两两独立的。是两两独立的。例例4 4 若若每每个个人人的的呼呼吸吸道道中中有有感感冒冒病病毒毒的的概概率率为为0.002,0.002,求求在在有有15001500人人看看电电影影的的剧剧场场中中有有感感冒病毒的概率。冒病毒的概率。解解 以以 表表示示事事件件“第第i i个个人人带带有有感感冒冒病病毒毒”（i i=1,2,=1,2,，15001500），假假定定每每个个人人是是否否带带有感冒病毒是相互独立的，则所求概率为有感冒病毒是相互独立的，则所求概率为 从从这这个个例例子子可可见见，虽虽然然每每个个带带有有感感冒冒病病毒毒的的可可能能性性很很小小，但但许许多多聚聚集集在在一一起起时时空空气气中中含含有有感感冒冒病病毒毒的的概概率率可可能能会会很很大大，这这种种现现象象称称为为小小概概率率事事件件的的效效应应。卫卫生生常常识识中中,不不让让婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。它们下方的数是它们各自正常工作的概率。它们下方的数是它们各自正常工作的概率。求电路正常工作的概率。求电路正常工作的概率。例例5 5 下面是一个串并联电路示意图下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件都是电路中的元件.解解 将电路正常工作记为将电路正常工作记为W，由于各元件，由于各元件独立工作，有独立工作，有代入得代入得二二 、全概率公式、全概率公式 贝叶斯公式贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用式和乘法公式的综合运用.综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)01 1、全概率公式、全概率公式:在一些教材中，常将全概率公式叙述为：在一些教材中，常将全概率公式叙述为：之一同时发生，则之一同时发生，则 是两两互斥的事件，且是两两互斥的事件，且设设另有一事件另有一事件B,它总是它总是与与设设 为随机试验的样本空间，为随机试验的样本空间，是两两互斥的事件，且是两两互斥的事件，且全概率公式全概率公式:例例6 6 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击击,三人击中的概率分别为三人击中的概率分别为0.40.4、0.50.5、0.7.0.7.飞机被一人击中而击落的概率为飞机被一人击中而击落的概率为0.2,0.2,被两人击被两人击中而击落的概率为中而击落的概率为0.6,0.6,若三人都击中若三人都击中,飞机飞机必定被击落必定被击落,求飞机被击落的概率。求飞机被击落的概率。则对任一事件则对任一事件B B，有，有称满足上述条件的称满足上述条件的为为完备事件组。完备事件组。设设B=飞机被击落飞机被击落 Ai=飞机被飞机被i人击中人击中,i=1,2,3=1,2,3，则，则B=A1B+A2B+A3B求解如下求解如下:由全概率公式由全概率公式为求为求P(Ai),设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中 i=1,2,3=1,2,3可求得可求得:依题意，依题意，将数据代入计算得将数据代入计算得:于是于是 即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458。例例7 7 有有一一批批产产品品是是由由甲甲、乙乙、丙丙三三厂厂同同时时生生产产的的.其其中中甲甲厂厂产产品品占占50%,50%,乙乙厂厂产产品品占占30%,30%,丙丙厂厂产产品品占占20%,20%,甲甲厂厂产产品品中中正正品品率率为为95%,95%,乙乙厂厂产产品品正正品品率率为为90%,90%,丙丙厂厂产产品品正正品品率率为为85%,85%,如如果果从从这这批批产产品品中中随随机机抽抽取取一一件件,试试计计算算该该产产品品是是正品的概率多大正品的概率多大?解解 设设A A、B B、C C分别表示抽得产品是甲厂、分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，乙厂、丙厂生产的，D D 表示抽得产品为正品，表示抽得产品为正品，从从而而任任取取一一件件产产品品为为正正品品的的概概率率可可由由全全概概率率公式得到：公式得到：则由已知，则由已知，该该球球取取自自哪哪号号箱箱的的可能性最大可能性最大?实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“已知结已知结果求原因果求原因”。某人从任一箱中任意摸某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球出一球，发现是红球,求该求该球是取自球是取自1 1号箱的概率号箱的概率.1 12 23 31 1红红4 4白白或者问或者问:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式贝叶斯公式 这一类问题在实际中更为常见，它所求这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。求各原因发生可能性大小。是两两互斥的事件，且是两两互斥的事件，且设设另有一事件另有一事件B,它总是它总是之一同时发生，则之一同时发生，则 与与 该公式于该公式于17631763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它是在观察到事件它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导已发生的条件下，寻找导致致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai|B)分别称为分别称为原因的原因的验前概率验前概率和和验后概率验后概率.P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知是在没有进一步信息（不知道事件道事件B B是否发生）的情况下，人们对诸事件是否发生）的情况下，人们对诸事件 当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B B发生），人们对发生），人们对诸事件发生可能性大小诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。有了新的估计。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。例例8 8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。由长期的经验知，三家的正品率分别为由长期的经验知，三家的正品率分别为0.950.95、0.900.90、0.800.80，三家产品数所占比例为，三家产品数所占比例为2:3:52:3:5，混，混合在一起。合在一起。（1 1）从中任取一件，求此产品为正品的概率；）从中任取一件，求此产品为正品的概率；（2 2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、）现取到一件产品为正品，问它是由甲、发生可能性大小的认识。发生可能性大小的认识。乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？解解 设事件设事件A表示表示“取到的产品为品取到的产品为品”，分别表示分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产产品由甲、乙、丙厂生产”由已知由已知（1 1）由全概率公式得：）由全概率公式得：由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得由以上由以上3 3个数作比较，可知这件产品由丙厂生个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小。产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小。例例9 9 假假定定具具有有症症状状 中中一一个个或数个的疾病为其中或数个的疾病为其中 S S1 1=食欲不振食欲不振 S S2 2=胸痛胸痛 S S3 3=呼吸急促呼吸急促 S S4 4=发热发热现现从从2000020000份份患患有有疾疾病病 的的病病历历卡卡中中统统计计得到下列数字：得到下列数字：疾病人数出现S中一个或几个症状人数 775075005250420070003500试试问问当当一一个个具具有有S S中中症症状状的的病病人人前前来来要要求求诊诊断断时时，他他患患有有疾疾病病的的可可能能性性是是多多少少？在在没没有有别别的的可可资资依依据据的的诊诊断断手手段段情情况况下下，诊诊断断该该病病人人患患有有这这三三种疾病中哪一种较合适？种疾病中哪一种较合适？解解 以以A A表表示示事事件件“患患有有出出现现S S中中的的某某些些症症状状”,表表示示事事件件“患患者者患患有有疾疾病病 ”（i i=1=1，2 2，3 3），由由于于该该问问题题观观察察的的个个数数很很多多，用用事事件件的的频频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知从而从而由贝叶斯公式可得由贝叶斯公式可得从而推测病人患有疾病从而推测病人患有疾病 较为合理。较为合理。