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第第1414章章 全等三角形全等三角形14.1 14.1 全等三角形全等三角形1课堂讲解u全等形全等形 u全等三角形及对应元素全等三角形及对应元素 u全等三角形的性质全等三角形的性质2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升全等三角形的判定和性质是初中平面几何中的重要内容全等三角形的判定和性质是初中平面几何中的重要内容.ABCABC（SAS）ABCEDC（ASA）ABCDEF（SSS）1知识点全全 等等 形形 如图，按同一底版印制的两枚邮票，它们如图，按同一底版印制的两枚邮票，它们的形状相同、大小一样的形状相同、大小一样.知知1 1导导知知1 1导导 像如图那样，把像如图那样，把ABC叠到叠到DEF上，两个上，两个三角形能够完全重合，表明它们的形状和大小一样三角形能够完全重合，表明它们的形状和大小一样.能够完全重合的两个图形，叫做能够完全重合的两个图形，叫做全等形全等形.知知1 1讲讲 1.定义：定义：能够能够完全重合完全重合的两个图形叫做全等形的两个图形叫做全等形 要点精析：要点精析：(1)图形的全等与它们的位置无关，只要满足能够图形的全等与它们的位置无关，只要满足能够 完全重合即可完全重合即可完全重合包含完全重合包含两层含义：图形两层含义：图形 的的形状相同、大小相等形状相同、大小相等；(2)全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积 相等的两个图形不一定是全等形相等的两个图形不一定是全等形2.几种常用的全等变换方式：几种常用的全等变换方式：平移、翻折、旋转平移、翻折、旋转（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲例例1 如图中是全等形的是如图中是全等形的是_ 导引：导引：上述图形中，上述图形中，和和形状相同，但大小不同，形状相同，但大小不同，和和 大小、形状都不同；大小、形状都不同；和和、和和、和和尽管方尽管方 向不同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等形，向不同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等形，和和都是五角星，大小、形状都相同，是全等形都是五角星，大小、形状都相同，是全等形（来自（来自点拨点拨）和和、和和、和和、和和 总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)此题运用定义识别全等形，确定两个图形全此题运用定义识别全等形，确定两个图形全 等要符合两个条件：等要符合两个条件：形状相同，形状相同，大小相等；是否是全等形与位置无关大小相等；是否是全等形与位置无关(2)判断两个全等形还可以通过平移、旋转、翻判断两个全等形还可以通过平移、旋转、翻 折等方法把两个图形叠合在一起，看它们能折等方法把两个图形叠合在一起，看它们能 否完全重合，即用否完全重合，即用叠合法叠合法判断判断 1 如图，有如图，有6个条形方格图，图中由实线围成的图形个条形方格图，图中由实线围成的图形 中，全等形有：中，全等形有：(1)与与_；(2)与与_2 下列四组图形中，是全等形的一组是下列四组图形中，是全等形的一组是()知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）3 下列说法中正确的有下列说法中正确的有()用一张底片冲洗出来的用一张底片冲洗出来的10张张1寸相片是全等形；寸相片是全等形；我国国旗上的我国国旗上的4颗小五角星是全等形；颗小五角星是全等形；所有的正方形是全等形；所有的正方形是全等形；全等形的面积一定相等全等形的面积一定相等 A1个个 B2个个 C3个个 D4个个知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）4 下列命题：下列命题：两个图形全等，它们的形状相同；两个图形全等，它们的形状相同；两个图形全等，它们的大小相同；两个图形全等，它们的大小相同；面积相面积相 等的两个图形全等；等的两个图形全等；周长相等的两个图形全周长相等的两个图形全 等其中正确的个数为等其中正确的个数为()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2知识点全等三角形及对应元素全等三角形及对应元素知知2 2讲讲1.全等三角形的定义：全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2.全等三角形对应元素：全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，把两个全等的三角形重合到一起，(1)对应顶点：重合的顶点；对应顶点：重合的顶点；(2)对应边：重合的边；对应边：重合的边；(3)对应角：重合的角对应角：重合的角知知2 2讲讲3.全等三角形的表示法：全等三角形的表示法：如图，如图，ABC和和DEF全等，记作全等，记作ABCDEF，符号符号“”读作读作全等于全等于其中其中“”表示形状相同，表示形状相同，“”表示大小相等记两个三角形全等时，通常把表示大小相等记两个三角形全等时，通常把 表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如点表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如点A和点和点 D，点，点B 和点和点E，点，点C和点和点F是对应顶点；是对应顶点；AB和和DE，BC和和EF，AC和和DF是对应边；是对应边；A和和D，B和和 E，C和和F是对应角是对应角知知2 2讲讲4教你一招：教你一招：对应元素的确定方法：对应元素的确定方法：(1)字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确 定对应边、对应角，如定对应边、对应角，如CABFDE，则，则AB与与 DE、AC与与DF、BC与与EF是对应边，是对应边，A和和D、B和和E、C和和F是对应角；是对应角；(2)图形位置确定法：图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共边一定是对应边，公共公共 角一定是对应角；角一定是对应角；对顶角一定是对应角；对顶角一定是对应角；(3)图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边(角角)是对应边是对应边(角角)，最小的边，最小的边(角角)是对应边是对应边(角角)知知2 2讲讲 (4)对应边对应边(或角或角)与对边与对边(或角或角)的区别：对应边、对应的区别：对应边、对应 角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的 关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的 位置关系对边是与角相对的边，对角是与边相位置关系对边是与角相对的边，对角是与边相 对的角对的角5.易错警示：易错警示：记两个三角形全等时，通常把表示对应记两个三角形全等时，通常把表示对应 顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意 书写书写（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）解：解：AB与与ED，AC与与EC，BC与与DC是对应边；是对应边；A与与E，B与与D，ACB与与ECD 是对应角是对应角导引：导引：用用“”表示两个三角形全等时，对应顶点的字母表示两个三角形全等时，对应顶点的字母 写在对应的位置上，先把两个三角形顶点的字母写在对应的位置上，先把两个三角形顶点的字母 按照同样的顺序排成一排：按照同样的顺序排成一排：ABC，ED C，然后按照同样的顺序写出对应元素，然后按照同样的顺序写出对应元素例例2 已知已知ABCEDC，指出其对应边和对应角，指出其对应边和对应角总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）根据字母顺序找对应元素的前提条根据字母顺序找对应元素的前提条件是：用件是：用“”表示两个三角形全等时，表示两个三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应的位置上对应顶点的字母必须写在对应的位置上 知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）解：解：其他的其他的对应边对应边是是AB和和BA，对应对应角是角是CBA和和 DAB，CAB和和DBA，ACB和和BDA.导导引：引：因因为为已已经经知道了两知道了两组对应边组对应边，所以剩下的一，所以剩下的一组边组边 是是对应边对应边根据根据对应边对应边所所对对的角是的角是对应对应角，容易角，容易 发现对应发现对应角，所以比角，所以比较较容易容易发现发现AC的的对对角角CBA 和和BD的的对对角角DAB是是对应对应角，角，BC的的对对角角CAB 和和AD的的对对角角DBA是是对应对应角，剩下的一角，剩下的一组组角角 ACB和和BDA是是对应对应角角 例例3 如如图图，ACBBDA，AC和和 BD对应对应，BC和和AD对应对应，写出，写出 其他的其他的对应边对应边及及对应对应角角总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）根据对应边根据对应边(角角)找对应角找对应角(边边)的方法：对应边所对的角是对应角，的方法：对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边对应角所对的边是对应边知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）解：解：由由题题意得意得ABCDBE，AB与与DB，AC与与DE，BC与与BE是是对应边对应边，A与与BDE，ABC与与DBE，C与与E是是对应对应角角导导引：引：将将ABC绕绕其其顶顶点点B旋旋转转得到得到DBE，只改，只改变变了了图图形形 的位置，而没有改的位置，而没有改变变形状和大小，故形状和大小，故ABC与与 DBE全等，再写出全等，再写出对应边对应边与与对应对应角角 例例4 如如图图，将，将ABC绕绕其其顶顶点点B顺时针顺时针旋旋转转 一定角度后得到一定角度后得到DBE，请说请说出出图图中中 两个全等三角形的两个全等三角形的对应边对应边和和对应对应角角总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）旋转变换前后位置的边是对应边，旋转变换前后位置的边是对应边，前后位置的角是对应角前后位置的角是对应角 1 已知：如已知：如图图，ABCCED,B与与DEC是是对应对应角，角，BC与与 ED是是对应边对应边.说说出另外两出另外两组对组对 应应角和角和对应边对应边.2 如如图图，沿直，沿直线线AC对对折，折，ABC 与与ADC重合，重合，则则ABC _，AB的的对应边对应边是是 _，BCA的的对应对应角是角是_知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）（来自教材）（来自教材）3 如如图图，将，将ABC沿沿BC所在的直所在的直线线平平 移到移到ABC的位置，的位置，则则ABC _ABC，图图中中A与与_，B与与_，ACB与与_是是 对应对应角角知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3知识点全等三角形的性质全等三角形的性质知知3 3讲讲1.性性质质：全等三角形的全等三角形的对应边对应边相等相等，对应对应角角相等相等 还还具具备备：全等三角形：全等三角形对应边对应边上的中上的中线线相等，相等，对应对应 边边上的高相等，上的高相等，对应对应角平分角平分线线相等；全等三角形相等；全等三角形 的周的周长长相等、面相等、面积积也相等也相等 要点精析：要点精析：(1)全等三角形的全等三角形的对应对应元素相等其中，元素相等其中，对应对应元素元素 包括：包括：对应边对应边、对应对应角、角、对应对应中中线线、对应对应高、高、对应对应角平分角平分线线、对应对应周周长长、对应对应面面积积等；等；知知3 3讲讲 (2)在在应应用全等三角形性用全等三角形性质时质时，要先确定两，要先确定两 个条件：个条件：两个三角形全等；两个三角形全等；找找对应对应元素；元素；(3)全等三角形的性全等三角形的性质质是是证证明明线线段、角相等段、角相等 的常用方法的常用方法2.易易错错警示：警示：周周长长相等的两个三角形不一定相等的两个三角形不一定 全等，面全等，面积积相等的两个三角形也不一定全等相等的两个三角形也不一定全等（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲解：解：ABCFDE，ABFD.ABDBFDDB，即，即ADFB.AB8 cm，BD6 cm，ADABDB862(cm)FBAD2cm.例例5 如如图图，已知点，已知点A，D，B，F在同一在同一 条直条直线线上，上，ABCFDE，AB 8 cm，BD6 cm.求求FB的的长长导导引：引：由全等三角形的性由全等三角形的性质质知知ABFD，由等式的性，由等式的性 质质可得可得ADFB，所以要求，所以要求FB的的长长，只需求，只需求 AD的的长长（来自（来自点拨点拨）总 结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)全等三角形的性全等三角形的性质质在几何在几何证证明和明和计计算中起算中起 着重要作用，当所求着重要作用，当所求线线段不是全等三角形段不是全等三角形 的的对应边时对应边时，可利用等式的性，可利用等式的性质进质进行行转换转换，从而找到所求从而找到所求线线段与已知段与已知线线段的关系段的关系(2)本本题题运用运用转转化思想化思想，通，通过过全等三角形的性全等三角形的性 质质，可把，可把线线段段AB转转化化成成线线段段DF，再利用，再利用 等式的性等式的性质质可把求可把求线线段段FB的的长长转转化化成求成求线线 段段AD的的长长知知3 3讲讲 例例6 如如图图，RtABC RtCDE，BD90，且，且B，C，D 三点在一条直三点在一条直线线上，求上，求ACE的的 度数度数导导引：引：要求要求ACE，求，求ACB、ECD或或ACB ECD即可由于即可由于ACB和和ECD无法求出，无法求出，因此必因此必须须求求ACBECD.由由RtABC RtCDE，可知，可知BACDCE，结结合直角合直角 三角形两三角形两锐锐角互余的性角互余的性质质，可求，可求ACB与与 ECD的度数和，再根据平角的定的度数和，再根据平角的定义义可求可求 ACE的度数的度数知知3 3讲讲解：解：RtABC RtCDE，BACDCE.又又在在RtABC中，中，B90，ACBBAC90.ACBECD90.ACE180(ACBECD)1809090.（来自（来自点拨点拨）总 结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)利用全等三角形的性利用全等三角形的性质质求角的度数的方法：求角的度数的方法：利用全等三角形的性利用全等三角形的性质质先确定两个三角形中角先确定两个三角形中角 的的对应对应关系，由关系，由这这种关系种关系实现实现已知角和未知角已知角和未知角 之之间间的的转换转换，从而求出所要求的角的度数，从而求出所要求的角的度数(2)本本题题主要利用了全等三角形主要利用了全等三角形对应对应角相等的性角相等的性 质质，通，通过过全等三角形把属于两个三角形的全等三角形把属于两个三角形的 ACB、ECD联联系在一起，并将它系在一起，并将它们们作作为为 一个整体求出其度数的和一个整体求出其度数的和知知3 3讲讲 例例7 如如图图，将，将长长方形方形ABCD沿沿AE折叠，使点折叠，使点D落落 在在BC边边上的点上的点F处处，若，若BAF56，则则 DAE_.导导引：引：因因为为AEF是由是由AED沿直沿直线线AE折叠而成的，折叠而成的，所以所以ADEAFE，所以，所以DAEFAE.因因为为BAF56，BAD90，所以，所以 DAF90BAF905634，所以所以DAE DAF 3417.（来自（来自点拨点拨）17总 结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）解决折叠问题的关键是弄清在折叠解决折叠问题的关键是弄清在折叠过程中发生的是全等变换，即折叠前后过程中发生的是全等变换，即折叠前后的两个图形的两个图形(本例是三角形本例是三角形)全等，其折全等，其折叠前后的对应边相等，对应角相等类叠前后的对应边相等，对应角相等类似地，还有平移和旋转问题在此过程似地，还有平移和旋转问题在此过程中，往往产生了全等三角形，然后根据中，往往产生了全等三角形，然后根据全等三角形的性质解题全等三角形的性质解题知知3 3讲讲解：解：方法一：相等方法一：相等 ADCECD，SADCSECD.又又ABD与与ADC同底等高，同底等高，SABDSADC.SABDSECD.例例8 如如图图，四，四边边形形ABCD是梯形，是梯形，AD BC，若，若DEAC交交BC的延的延长线长线 于点于点E，且，且ADCECD.试问试问：梯形梯形ABCD的面的面积积和和BDE的面的面积积相等相等吗吗？谈谈谈谈 你的看法你的看法知知3 3讲讲SABDSBCDSECDSBCD，即即S梯形梯形ABCDSBED.方法二：相等方法二：相等ADCECD，ADEC.又又ADBE，SECDSABD(等底等高的两个三角形等底等高的两个三角形 面面积积相等相等)SABDSBCDSECDSBCD，即即S梯形梯形ABCDSBDE.（来自（来自点拨点拨）总 结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）两种解法的入手点分两种解法的入手点分别别是是“同底等高、等底同底等高、等底等高的三角形面等高的三角形面积积相等相等”，这这一一结论结论要要结结合具体合具体图图形理解如形理解如图图，l1l2，点，点A，B，F在在l1上，上，ABBF，点，点C，D，E是是l2上任取的点，上任取的点，则则根据上述根据上述结论结论，知，知SABCSABDSBFE.知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）1 若若ABC与与DEF全等，点全等，点A和点和点E，点，点B和点和点D 分分别别是是对应对应点，点，则则下列下列结论错误结论错误的是的是()ABCEF BBD CCF DACEF2 如如图图，ABCCDA，AC7 cm，AB5 cm，BC8 cm，则则AD的的长长是是()A7 cm B5 cm C8 cm D无法确定无法确定知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）3 如如图图，ABCAEF，ABAE，B E，则对则对于于结论结论：AC AF；FABEAB；BC EF；EABFAC.其中正确其中正确结论结论的个数是的个数是()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个4 如如图图，将，将长长方形方形纸纸片片ABCD折叠，使点折叠，使点D 与点与点B重合，点重合，点C落在落在C处处，折痕，折痕为为EF.若若AB1，BC2，则则ABE和和BCF 的周的周长长之和之和为为()A3 B4 C6 D8全等三角形的性全等三角形的性质质的作用：的作用：(1)求角的度数；求角的度数；(2)说说明两个角相等；明两个角相等；(3)求求线线段的段的长长度；度；(4)说说明两条明两条线线段相等；段相等；(5)判断两条直判断两条直线线的位置关系等的位置关系等（来自（来自典中点典中点）1.必做必做:完成教材完成教材P95 习题习题T1-T22.补补充充:请请完成完成典中点典中点剩余部分剩余部分习题习题