17.1.1--认识一元二次方程.ppt

第第1717章章 一元二次方程一元二次方程17.1 17.1 一元二次方程一元二次方程第第1 1课时课时 认识一元二认识一元二次方程次方程1课堂讲解课堂讲解一元二次方程的定义一元二次方程的定义 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解（根）一元二次方程的解（根）利用一元二次方程建立实际问题模型利用一元二次方程建立实际问题模型2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升某蔬菜某蔬菜队队2009年全年无公害蔬菜年全年无公害蔬菜产产量量为为100 t，计计划划2011年无公害蔬菜的年无公害蔬菜的产产量比量比2009年翻一番（即年翻一番（即为为200 t）.要要实现这实现这一目一目标标，2010年和年和2011年无公害蔬菜年无公害蔬菜产产 量的年平均增量的年平均增长长率率应应是多少？是多少？设这设这个个队队20102011年无公害蔬菜年无公害蔬菜产产量的年平均量的年平均增增长长率是率是x，问题问题可以可以归结为归结为求解方程求解方程 x22x10.上述方程不是一次的，如何求解呢？上述方程不是一次的，如何求解呢？本章将学本章将学习习一元二次方程的有关知一元二次方程的有关知识识，它可以用，它可以用来解决像上面来解决像上面这样这样的一些的一些实际问题实际问题.1知识点知识点一元二次方程的定义一元二次方程的定义 1.如如图图，已知一矩形的，已知一矩形的长为长为200 cm，宽为宽为150 cm，现现在矩形中挖去一个在矩形中挖去一个圆圆，使剩余部分的面，使剩余部分的面积为积为原矩形原矩形面面积积的的 .求挖去的求挖去的圆圆的半径的半径x cm应满应满足的方程（其足的方程（其中中 取取3）知知1 1导导设设 _ 找等量关系找等量关系：_ 列出方程列出方程：_2.据某市交通部据某市交通部门统计门统计，前年，前年该该市汽市汽车拥车拥有量有量为为75万万辆辆，两，两年后增加到年后增加到108万万辆辆.求求该该市两年来汽市两年来汽车拥车拥有量的年平均增有量的年平均增长长率率x应满应满足的方程足的方程.等量关系等量关系：_ 列出方程：列出方程：_ 知知1 1导导定定义义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的的整整式式方程，叫做一元二次方程方程，叫做一元二次方程要点要点精精析：析：(1)理解定理解定义义，要掌握三个关，要掌握三个关键键点：整式、点：整式、未知数未知数个数及个数及最最高高次数；次数；“一元一元”是指整个方程中只含有是指整个方程中只含有一个一个未知数未知数；“二次二次”是指是指该该未知数的最高次数是未知数的最高次数是2.(2)一元二次方程的一元二次方程的识别识别方法：方法：整理整理前：前：整式方程，整式方程，只含一个未知数只含一个未知数；整理整理后：未知数的最高次数是后：未知数的最高次数是2.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程及整理后的方程两方面及整理后的方程两方面进进行判断，看其是否符合一行判断，看其是否符合一元二次方程的条件元二次方程的条件中有两个未知数；中有两个未知数；不是整不是整式方程；式方程；未知数的最高次数是未知数的最高次数是3；整理后二次整理后二次项项系数系数为为零零导导引：引：下列方程下列方程：x2y60；x2 2；x2x20；x225x36x0；2x23x2(x22)，其中其中是一元二次方程的有是一元二次方程的有()A1个个B.2个个C3个个D4个个例例1 A总总 结结知知1 1讲讲判断一个方程是否是一元二次方程判断一个方程是否是一元二次方程，有两个关，有两个关键键点：点：(1)整理前是整式方程且只含一个未知数；整理前是整式方程且只含一个未知数；(2)整理后未知数的最高次数是整理后未知数的最高次数是2.本例本例2x23x2(x22)中易出中易出现现不整理就下不整理就下结结论论，误认为误认为是一元二次方程的是一元二次方程的错误错误（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）因因为为已知的方程是一元二次方程，所以未知数已知的方程是一元二次方程，所以未知数x的的最高次数是最高次数是2，即，即a32，所以，所以a5.导导引：引：已知关于已知关于x的方程的方程xa32x 10是一元二次方是一元二次方程，程，则则a_例例2 5总总 结结知知1 1讲讲 已知某方程已知某方程为为一元二次方程，一元二次方程，则则此方程必此方程必须须符符合一元二次方程的两个基本特征：只含一个未知数；合一元二次方程的两个基本特征：只含一个未知数；未知数的最高次数是未知数的最高次数是2.当二次当二次项项系数是待定系数系数是待定系数时时，还还要考要考虑虑二次二次项项系数不等于系数不等于0.（来自（来自点拨点拨）知知1 1练练1 判断下列方程中，哪些是判断下列方程中，哪些是关于关于x的的一元二次方程？一元二次方程？(1)x2 30；(2)4x2 3x2(2x1)2；(3)x3 x40；(4)x22y30；(5)(m1)x23x10;(6)2x20.（来自（来自教材教材）2 下列下列关于关于x的方程一定是一元二次方程的是的方程一定是一元二次方程的是()Aax2bxc0 Bx21x20Cx2 2 Dx2x20（来自（来自典中点典中点）知知1 1练练3若若关于关于x的方程的方程(a2)x22axa20是一元二是一元二次方程，次方程，则则()Aa2 Ba2 Ca0 Da24若若方程方程(m1)x|m|12x3是关于是关于x的一元二次方的一元二次方程，程，则则有有()Am1 Bm1 Cm1 Dm1（来自（来自典中点典中点）2知识点知识点一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式知知2 2讲讲1一般地，任何一个关于一般地，任何一个关于x的一元二次方程，的一元二次方程，经过经过整整理，都能化成如下形式：理，都能化成如下形式：ax2bxc0(a0)这这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2叫叫做二次做二次项项，a是二次是二次项项的系数；的系数；bx叫做一次叫做一次项项，b是一次是一次项项的系数；的系数；c叫做常数叫做常数项项 （来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲要点精析要点精析：(1)ax2bxc0，当，当a0时时，方程才是，方程才是一元二次方一元二次方 程程，但，但b，c可以是可以是0.(2)可以通可以通过过去去分母、去括号、移分母、去括号、移项项、合并同、合并同类项类项等等步步骤骤将一个一元二次方程化成一般形式将一个一元二次方程化成一般形式(3)指出一元二次方程的某指出一元二次方程的某项时项时，含未知数的，含未知数的项应项应连连同同系数一起；指出某系数一起；指出某项项的系数的系数时时，应连应连同它同它前面前面的的符号一起符号一起(4)二次二次项项系数不等于零既是一元二次方程的必要系数不等于零既是一元二次方程的必要条条件件，也是一个，也是一个隐隐含条件含条件（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲去括号，得去括号，得 3x23x2x44.移移项项，合并同，合并同类项类项，得方程的一般形式：，得方程的一般形式：3x25x80.它的二次它的二次项项系数是系数是3，一次，一次项项系数是系数是5，常数常数项项是是8.例例3 解：解：把方程把方程3x(x1)2(x2)4化成一般形式，化成一般形式，并写并写出它的二次出它的二次项项系数、一次系数、一次项项系数及常数系数及常数项项.（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲1化一般形式一般要化一般形式一般要经历经历一去一去(去分母、去括号去分母、去括号)、二移二移、三并三并这这三步；三步；2当整理当整理为为一般形式后，如果二次一般形式后，如果二次项项系数是系数是负负数，数，一般要把它一般要把它转转化化为为正数，若有关系数是分数，一正数，若有关系数是分数，一般要把它般要把它转转化化为为整数整数（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知2 2讲讲例例4 已知关于已知关于x的方程的方程(a21)x2(1a)xa20.(1)当当a为为何何值时值时，该该方程方程为为一元二次方程？一元二次方程？(2)当当a为为何何值时值时，该该方程方程为为一元一次方程？并求一元一次方程？并求一元一次方程的解一元一次方程的解导导引：引：已知条件中已知条件中说说明是关于明是关于x的方程，的方程，则则方程中只含方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，但，但由于二次由于二次项项系数待定，故分析二次系数待定，故分析二次项项系数系数为为不不为为零是确定零是确定该该方程是否方程是否为为一元二次方程的关一元二次方程的关键键点点（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲(1)由由题题意得意得a210，即即a1时时，该该方程方程为为一元二次方程一元二次方程(2)由由题题意得意得a210且且1a0，解得解得a1，即当即当a1时时，该该方程方程为为一元一次方程一元一次方程此此时时方程方程为为2x30，解得解得x解：解：（来自（来自教材教材）知知2 2讲讲 在一元二次方程的一般形式在一元二次方程的一般形式ax2bxc0中，中，a0是确定是确定该该方程方程为为一元二次方程的唯一一元二次方程的唯一标标准，在准，在应应用一元二次方程的定用一元二次方程的定义义求待定字母的求待定字母的值时值时，既要考，既要考虑虑未知数的最高次数是未知数的最高次数是2，又要考，又要考虑虑二次二次项项系数不系数不为为零零（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知2 2讲讲关于关于x的一元二次方程的一元二次方程(a2)x23xa240的常数的常数项为项为0，a240，a2.错错解中只解中只应应用了用了题题中常数中常数项为项为0这这一直一直观观条条件，件，题题目的前提条件目的前提条件说说明明该该方程是一元二次方方程是一元二次方程，忽略了一元二次方程的二次程，忽略了一元二次方程的二次项项系数不系数不为为零零这这一一隐隐含条件含条件例例5 错错解：解：易易错题错题关于关于x的一元二次方程的一元二次方程(a2)x23xa240的常数的常数项为项为0，求，求a的的值值（来自（来自点拨点拨）错错解分析：解分析：知知2 2讲讲关于关于x的一元二次方程的一元二次方程(a2)x23xa240的常数的常数项为项为0，解得解得a2.正解：正解：（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲 在解由一元二次方程的定在解由一元二次方程的定义义求有关待定字母的求有关待定字母的值时值时，先要把方程整理成一元二次方程的一般形式，先要把方程整理成一元二次方程的一般形式，再由再由题题中中给给出的条件及二次出的条件及二次项项系数不系数不为为零列式求解零列式求解（来自（来自点拨点拨）总总 结结1将将下下列列一一元元二二次次方方程程化化成成一一般般形形式式，并并指指出出它它们们的二次的二次项项系数、一次系数、一次项项系数及常数系数及常数项项：(1)5x26x8;(2)(3)x(x1)0；(4)知知2 2练练（来自（来自教材教材）知知2 2练练2 把把方方程程x(x2)5(x2)化化成成一一般般形形式式，则则a，b，c的的值值分分别别是是()A1，3，10 B1，7，10C1，5，12 D1，3，23一元二次方程一元二次方程2(x1)2x3化成一般化成一般形式形式ax2 bx c 0后后，若若 a 2，则则 b c的的 值值 是是_4若若一一元元二二次次方方程程(2a4)x2(3a6)xa80没没有一次有一次项项，则则a的的值为值为_（来自（来自典中点典中点）知知3 3讲讲3知识点知识点一元二次方程的解一元二次方程的解(根根)1定定义义：能使一元二次方程左右两能使一元二次方程左右两边边相等的相等的未知数未知数的的值值叫做一元二次方程的解叫做一元二次方程的解(根根)要点要点精精析：析：(1)判定某个数是方程的根的必要条件：使方程判定某个数是方程的根的必要条件：使方程左右左右两两边边相等相等(2)根据方程的根的定根据方程的根的定义义可以判断解出的方程的根可以判断解出的方程的根是是否否正确正确(3)一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的都都是是方程的根方程的根（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）根据一元二次方程的根的定根据一元二次方程的根的定义义，将，将这这些数作些数作为为未知数的未知数的值值分分别别代入方程，能代入方程，能够够使方程左右两使方程左右两边边相等的数就是方程的根相等的数就是方程的根1，3是方程是方程 x22x30的根的根例例6 导导引：引：下面哪些数是方程下面哪些数是方程 x22x30的根？的根？3，2，1，0，1，2，3解：解：知知3 3讲讲 检验检验一个数是否一个数是否为为方程的解或根，只要把方程的解或根，只要把这这个个数分数分别别代入方程的左右两代入方程的左右两边边算出数算出数值值，看它，看它们们是否是否相等在找解相等在找解时时注意使一元二次方程左右两注意使一元二次方程左右两边边相等相等的未知数的的未知数的值值不一定只有一个不一定只有一个（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知3 3讲讲根据方程的根的意根据方程的根的意义义，将，将x2直接代入方程的左直接代入方程的左右两右两边边，就可得到以，就可得到以b为为未知数的一元一次方程，未知数的一元一次方程，求解即可求解即可例例7 导导引：引：如果如果2是一元二次方程是一元二次方程x2bx20的一个根，的一个根，那么字母那么字母b的的值为值为()A.3B.3C.4D4（来自（来自点拨点拨）B知知3 3讲讲 方程的根就是方程的根就是满满足方程左右两足方程左右两边边相等的未知数相等的未知数的的值值，因此求含有字母系数的一元二次方程中的字，因此求含有字母系数的一元二次方程中的字母的母的值时值时，只需把已知方程的根代入原方程就可求，只需把已知方程的根代入原方程就可求岀岀相关的待定字母的相关的待定字母的值值（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知3 3练练1下面哪些数是方程下面哪些数是方程x2x20的根？的根？3，2，1，0，1，2，3（来自（来自教材教材）2(中考中考重重庆庆)一元二次方程一元二次方程x22x0的根是的根是()Ax10，x22 Bx11，x22Cx11，x22 Dx10，x22（来自（来自典中点典中点）知知3 3练练3(中考中考攀枝花攀枝花)若若x2是关于是关于x的的一元二次方程一元二次方程x2 a20的一个根，的一个根，则则a的的值为值为()A1或或4 B1或或4 C1或或4 D1或或4（来自（来自典中点典中点）知知4 4讲讲4知识点知识点利用一元二次方程建立实际问题模型利用一元二次方程建立实际问题模型1一元二次方程模型：一元二次方程模型：一元二次方程是刻画一元二次方程是刻画现实现实世界世界的的一一个有效数学模型，它是把个有效数学模型，它是把实际问题实际问题中中语语言叙述的言叙述的数数量量关系通关系通过设过设未知数用一元二次方程来表达未知数用一元二次方程来表达建立一元二次方程模型的一般步建立一元二次方程模型的一般步骤骤：(1)审题审题，认认真真阅读题阅读题目，弄清未知量和已知量之目，弄清未知量和已知量之间间的的关系关系；(2)设设出合适的未知数，一般出合适的未知数，一般设为设为x；(3)确定确定等等量量关系；关系；(4)根据等量关系列出一元二次方程，有根据等量关系列出一元二次方程，有时时要要化化为为一般形式一般形式2常用一元二次方程来建模的常用一元二次方程来建模的问题问题有：有：图图形的面形的面积问题积问题、增增长长(利利润润)率率问题问题、行程、行程问题问题、工程、工程问题问题等等（来自（来自点拨点拨）知知4 4讲讲本本题题涉及两个基本量：油画的面涉及两个基本量：油画的面积积与整个挂与整个挂图图的的面面积积在油画四周外在油画四周外围镶围镶上上宽宽度度为为x cm的的边边框，框，则长则长与与宽宽都增加了都增加了2x cm，面，面积积就可表示就可表示为为(902x)(402x)cm2，再根据油画面，再根据油画面积积与整个挂与整个挂图图面面积积之之间间的关系可列出方程的关系可列出方程例例8 导导引：引：小雨在一幅小雨在一幅长长90 cm，宽宽40 cm的油画四周外的油画四周外围镶围镶上一条上一条宽宽度相同的度相同的边边框，制成一幅挂框，制成一幅挂图图并使油画并使油画的面的面积积是整个挂是整个挂图图面面积积的的54%，设边设边框的框的宽宽度度为为x cm，根据，根据题题意列出方程意列出方程（来自（来自点拨点拨）(902x)(402x)54%9040.解：解：知知4 4讲讲(1)建立一元二次方程模型解决建立一元二次方程模型解决实际问题时实际问题时，既要，既要根根据据题题目条件中目条件中给给出的等量关系，又要抓住出的等量关系，又要抓住题题目目中中隐隐含含的一些常用关系式的一些常用关系式(如面如面积积公式、体公式、体积积公式公式、利利润润公式等公式等)列出方程列出方程(2)列一元二次方程的一般步列一元二次方程的一般步骤骤：审题审题，找未知量与已知量；，找未知量与已知量；设设合适的未知数合适的未知数；确定等量关系；确定等量关系；列一元二次方程列一元二次方程（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知4 4练练1将将48张张桌子排成若干行，且每行的桌子数目相同，桌子排成若干行，且每行的桌子数目相同，已知每一行的桌子数比已知每一行的桌子数比总总行数多行数多 2,设这设这些桌子排些桌子排了了 x行行，写出排成的行数所，写出排成的行数所满满足的方程，并将其化足的方程，并将其化为标为标准形式准形式.（来自（来自教材教材）知知4 4练练2(中中考考台台州州)有有x支支球球队队参参加加篮篮球球比比赛赛，共共比比赛赛了了45场场，每每两两队队之之间间都都比比赛赛一一场场，则则下下列列方方程程中中符符合合题题意的是意的是()A.x(x1)45 B.x(x1)45Cx(x1)45 Dx(x1)45（来自（来自典中点典中点）知知4 4练练3(中中考考随随州州)随随州州市市尚尚市市“桃桃花花节节”观观赏赏人人数数逐逐年年增增加加，据据有有关关部部门门统统计计，2014年年约约为为20万万人人次次，2016年年约约为为28.8万万人人次次，设设观观赏赏人人数数年年均均增增长长率率为为x，则则下列方程中正确的是下列方程中正确的是()A20(12x)28.8B28.8(1x)220C20(1x)228.8D2020(1x)20(1x)228.8（来自（来自典中点典中点）1.一元二次方程一元二次方程的概念的概念.一元二次方程一元二次方程的定的定义义要求的三个条件。要灵活要求的三个条件。要灵活运用运用 定定义义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来来 确定确定一些字母的一些字母的值值及取及取值值范范围围2.一元二次方程一元二次方程的一般形式的一般形式ax2+bx+c=0(a0)和和二次二次项项、二二次次项项系数，一次系数，一次项项、一次、一次项项系数，常数系数，常数项项的的概念概念.3.一元二次方程根的概念以及一元二次方程根的概念以及作用作用.1.必做必做:完成教材完成教材P21-22习题习题17.1T1-32.补补充充:请请完成完成典中点典中点剩余部分剩余部分习题习题