集合、函数与导数知识点.pdf

第一篇 集合与简易逻辑第 1 讲集合及其运算1元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同AB子集A 中任意一个元素均为 B 中的元素AB集合间的基本关系真子集A 中任意一个元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一个元素不是 A 中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言ABx|xA，或xBABx|xA，且xBUAx|xU，且xA第 2 讲命题及其关系、充分条件与必要条件1四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系2充分条件、必要条件与充要条件的概念若 pq，则 p 是 q 的充分 条件，q 是 p 的必要条件p 是 q 的充分不必要条件pq 且 qpp 是 q 的必要不充分条件pq 且 qpp 是 q 的充要条件pqp 是 q 的既不充分也不必要条件p q 且 qp第 3 讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1简单的逻辑联结词(1)逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词(2)命题 pq，pq，綈 p 的真假判断pqpqpq綈 p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等(3)全称量词用符号“”表示；存在量词用符号“”表示3全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题(2)含有存在量词的命题叫特称命题4命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题(2)p 或 q 的否定为：非 p 且非 q；p 且 q 的否定为：非 p 或非 q.第二篇 函数与导数第 1 讲函数的概念及其表示1函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设 A，B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应；那么就称：f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作 yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数2函数定义域的求法类型x 满足的条件，nN*2nfxf(x)0与f(x)01fxf(x)0logaf(x)f(x)0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3函数值域的求法方法示例示例答案配方法yx2x2y94，)性质法yexy(0，)单调性法yxx2y2，)换元法ysin2 xsin x1y34，3分离常数法yxx1y(，1)(1，)第 2 讲函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1，x2定义当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是减函数续表图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足条件(1)对于任意 xI，都有 f(x)M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M.(3)对于任意xI，都有 f(x)M；(4)存在 x0I，使得 f(x0)M.结论M 为最大值M 为最小值 第 3 讲函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f(x)f(x)，那么函数 f(x)是偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f(x)f(x)，那么函数 f(x)是奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)(2)在公共定义域内两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数两个偶函数的和函数、积函数是偶函数一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数(3)若函数 f(x)是奇函数且在 x0 处有定义，则 f(0)0.3周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期第 4 讲幂函数与二次函数1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数(2)常见的 5 种幂函数的图象(3)常见的 5 种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yx12yx1定义域RRR0，)x|xR，且x0值域R 0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减，0，)增增增(，0)减，(0，)减定点(0,0)，(1,1)(1,1)2.二次函数(1)二次函数的定义形如 f(x)ax2bxc(a0)的函数叫做二次函数(2)二次函数的三种常见解析式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，(m，n)为顶点坐标；两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)其中 x1，x2分别是 f(x)0 的两实根(3)二次函数的图象和性质函数二次函数 yax2bxc(a，b，c 是常数，a0)a0a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的性质几个恒等式(M，N，a，b 都是正数，且 a，b1)N；logaaNN；logbN；logaNlogablogab；logab，推广 logablogbclogcdlogad.nm1logba(2)对数的运算法则(a0，且 a1，M0，N0)loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；MNloga logaM.nM1n3对数函数的图象与性质a10a1图象(1)定义域：(0，)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即 x1 时，y0(4)当 x1 时，y0当 0 x1 时，y0(5)当 x1 时，y0当 0 x1 时，y0性质(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数 第 7 讲函数的图象1函数的图象及作法2图象变换(1)平移变换(2)对称变换yf(x)yf(x)；关于x轴对称 yf(x)yf(x)；关于y轴对称 yf(x)yf(x)；关于原点对称 yax(a0 且 a1)ylogax(a0 且 a1)关于yx对称(3)翻折变换yf(x)y|f(x)|.保留x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去yf(x)yf(|x|)保留y轴右边图象，并作其 关于y轴对称的图象(4)伸缩变换yf(x)y纵坐标伸长a1或缩短0a1为原来 的a倍，横坐标不变af(x)(a0)yf(x)yf(ax)(a0)横坐标伸长0a1或缩短a1为原来 的1a倍，纵坐标不变第 8 讲函数与方程1函数的零点(1)函数的零点的概念对于函数 yf(x)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点(2)函数的零点与方程的根的关系方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点(3)零点存在性定理如果函数 yf(x)满足：在闭区间a，b上连续；f(a)f(b)0；则函数 yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根2二分法对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法第 9 讲函数模型及其应用1函数模型及其性质比较(1)几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b 为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0)与指数函数相关模f(x)baxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0)型与对数函数相关模型f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0)与幂函数相关模型f(x)axnb(a，b，n 为常数，a0，n0)(2)三种函数模型性质比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性单调增函数单调增函数单调增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳2.“f(x)x”型函数模型ax形如 f(x)x(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型，在现实生活中有着广ax泛的应用，常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值.第 10 讲变化率与导数、导数的计算1导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx0处的导数定义：称函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率 yx为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)或.fx0 xfx0 x几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)(2)称函数 f(x)为 f(x)的导函数fxxfxx2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)1xln af(x)ln xf(x)1x3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)fxgxfxgxfxgxgx24复合函数的导数设 uv(x)在点 x 处可导，yf(u)在点 u 处可导，则复合函数 fv(x)在点 x 处可导，且 f(x)f(u)v(x)第 11 讲导数在研究函数中的应用1函数的导数与单调性的关系函数 yf(x)在某个区间内可导，则(1)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内单调递增(2)若 f(x)0，右侧 f(x)0，则 x0为函数的极大值点，f(x0)叫函数的极大值极小值函数 yf(x)在点 x0处连续且 f(x0)0，若在点 x0附近左侧 f(x)0，则 x0为函数的极小值点，f(x0)叫函数的极小值3.函数的最值与导数(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数 yf(x)在(a，b)内的极值将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值第 12 讲导数的综合应用1生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究第 13 讲定积分与微积分基本定理1定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间上任取一点 i(i1,2，n)，作和式,当 n时，上述和式无限接近于某个常数，这11()()nnniiiibaSfxfn 个常数叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作，即()baSf x dx 1()limnbianibaf x dxfn(2)定积分的几何意义当 f(x)0 时，定积分表示由直线 xa，xb(ab)，y0 和曲线()baf x dxyf(x)所围成的曲边梯形的面积(图 1)当 f(x)在区间a，b上有正有负时，如图 2 所示，则定积分表示介于()baf x dxx 轴曲线 yf(x)以及直线 xa，xb(ab)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即A1A3A2.()baf x dx2定积分的性质(1)babadxxfkdxxkf)()(2)1212()()()()bbbaaaf xfx dxf x dxfx dx(3)()()()()bcbaacf x dxf x dxf x dxacb其中3微积分基本定理一般地，如果 f(x)是在区间a，b上的连续函数，且 F(x)f(x)那么()baf x dxF(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式