函数的最大(小)值与导数.ppt

13.3函数的最大(小)值与导数【课标要求】1能够区分极值与最值两个不同的概念2会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)【核心扫描】1利用导数求给定区间上函数的最大值与最小值(重点)2常与函数的单调性、参数的讨论等知识结合命题自学导引1函数f(x)在闭区间a，b上的最值如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得想一想：在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在a，b上一定存在最值和极值吗？提示一定有最值，但不一定有极值如果函数f(x)在a，b上是单调的，此时f(x)在a，b上无极值；如果f(x)在a，b上不是单调函数，则f(x)在a，b上有极值2求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的 ；(2)将 函 数 y f(x)的 与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值极值各极值端点处的函数值想一想：极值和最值的区别与联系？提示(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值至多只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值(3)若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值(4)开区间(a，b)上连续函数yf(x)的最值的几种情况图(1)中的函数yf(x)在开区间(a，b)上有最大值无最小值；图(2)中的函数yf(x)在开区间(a，b)上有最小值无最大值；图(3)中的函数yf(x)在开区间(a，b)上既无最大值也无最小值；图(4)中的函数yf(x)在开区间(a，b)上既有最大值又有最小值题型一求函数在闭区间上的最值【例1】求下列各函数的最值：(1)f(x)x42x23，x3,2；(2)f(x)x33x26x2，x1,1思路探索 先求f(x)，再令f(x)0得到相应的x的值，通过列表，确定出极值点，求极值与端点值，从而比较大小确定最值解(1)f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0，得x1，x0，x1.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60极大值4极小值3极大值45当x3时，f(x)取最小值60；当x1或x1时，f(x)取最大值4.(2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1内恒大于0，f(x)在1,1上为增函数故x1时，f(x)最小值12；x1时，f(x)最大值2.即f(x)的最小值为12，最大值为2 求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论x2(2,0)0(0,2)2(2,4)4f(x)00f(x)37极大值3极小值535题型二含参数的最值问题【例2】已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程(2)求f(x)在区间0,2上的最大值思路探索 先对函数求导，由f(1)3得a的值及切线方程；根据a的不同取值范围，讨论确定f(x)在0,2上的最大值 由于参数的取值范围不同，会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化所以解决这类问题常需要分类讨论，分类时一般从导函数值为零时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定题型三函数最值的综合应用【例3】已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)(1)若函数f(x)在x1和x3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2,6时，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范围x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值c5极小值c27【题后反思】不等式恒成立时求参数的取值范围是一种常见的题型，这种题型的解法有多种，其中最常用的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解【变式3】设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230得t1，t1(不合题意，舍去)当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表：对t(0,2)，当t1时，gmax(t)1m，h(t)2tm对t(0,2)恒成立，也就是g(t)0，对t(0,2)恒成立，只需g(t)max1m1.t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)递增 1m 递减方法技巧数形结合思想在最值中的应用 学习了利用导数研究函数的极值与最值后，结合以前所研究函数的奇偶性与单调性的方法，给定一个函数，其图象的大致轮廓就能清晰地呈现在我们面前能够大致地描绘函数图象，一些数学问题便能顺利解决 方程根的个数或者说函数零点个数问题即是本节知识数形结合的一个具体的应用【示例】求方程x36x29x40的根的个数思路分析 可以转化成求f(x)x36x29x4的零点个数，也可以转化成求两个函数图象交点个数问题解法一转化为求f(x)x36x29x4的零点的个数问题f(x)3x212x9，令f(x)0得x3或x1.当x变化时，f(x)，f(x)随x变化情况如下表：又当x时，f(x)，x时，f(x).故f(x)的图象大致如图所示：方程x36x29x40的根的个数为2个x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值0极小值4法二转化为求f1(x)x36x29x与f2(x)4图象交点的个数问题由f1(x)x36x29x，f1(x)3x212x9.令f1(x)0得x3或x1.当x变化时，f1(x)，f1(x)随x变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f1(x)00f1(x)极大值4极小值0又当x时，f1(x)，当x时，f1(x).故f1(x)与f2(x)的图象大致如图所示由此知yf1(x)，yf2(x)有两个交点，故方程x36x29x40的根的个数有2个单击此处进入单击此处进入 活页规范训练活页规范训练