第4章多自由度系统振动c.pptx

2024年4月22日振动力学1教学内容教学内容多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动多自由度系统振动2024年4月22日振动力学2小结：小结：作用力方程、位移方程和矩阵作用力方程、位移方程和矩阵多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程位移方程位移方程柔度矩阵：柔度矩阵：F中的元素中的元素fij是使是使系统仅在第系统仅在第 j 个坐标受到单位力个坐标受到单位力 作用时相应于第作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移个坐标上产生的位移.柔度矩阵与刚度矩阵的关系：柔度矩阵与刚度矩阵的关系：位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。作用力方程作用力方程刚刚度度矩矩阵阵：K 中中的的元元素素 kij 是是使使系系统统仅仅在在第第 j 个个坐坐标标上上产产生生单单位位位移而相应于第位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。质质量量矩矩阵阵：M 中中的的元元素素 mij 是是使使系系统统仅仅在在第第 j 个个坐坐标标上上产产生生单单位加速度而相应于第位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。2024年4月22日振动力学3小结：小结：耦合与坐标变换耦合与坐标变换多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程质量矩阵中出现耦合项称为质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。惯性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。弹性耦合。不不出出现现惯惯性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标标上上产产生生的的加加速速度度只只在在该该坐坐标标上上引引起起惯性力惯性力.耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择 同一个系统选择两种不同的坐标同一个系统选择两种不同的坐标X 和和Y 有变换关系：有变换关系：坐标坐标坐标坐标X X下系统：下系统：下系统：下系统：坐标坐标坐标坐标Y Y 下系统：下系统：下系统：下系统：其中其中其中其中T T 是非奇异矩阵是非奇异矩阵是非奇异矩阵是非奇异矩阵如果恰巧如果恰巧Y 是主坐标：是主坐标：对角阵对角阵这样的这样的T 是否存在？如何寻找？是否存在？如何寻找？不不出出现现弹弹性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标标上上产产生生的的位位移移只只在在该该坐坐标标上上引引起起弹弹性恢复力性恢复力.2024年4月22日振动力学4当当T 矩阵非奇异时，称矩阵矩阵非奇异时，称矩阵A 与矩阵（与矩阵（TTAT）合同。合同。对于质量矩阵也如此。对于质量矩阵也如此。线性代数知线性代数知:合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。对称性质：对称性质：若矩阵若矩阵A 对称，则（对称，则（TTAT）对称。）对称。证明：证明：矩阵矩阵A 对称，对称，AAT则有：则有：(TTAT)TTTAT(TT)TTTAT正定性质：正定性质：若原来的刚度矩阵若原来的刚度矩阵K 正定，则（正定，则（TTKT）仍正定。）仍正定。因此坐标变换因此坐标变换X TY 不改变系统的正定性质。不改变系统的正定性质。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2024年4月22日振动力学5小结：小结：回顾：单自由度系统自由振动无阻尼自由振动回顾：单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动分析的一般过程：单自由度系统自由振动分析的一般过程：1、由工程装置建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程；、由工程装置建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程；2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值；、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值；3、根据本征值，写出标准方程的通解；、根据本征值，写出标准方程的通解；4、根据初始条件，计算标准方程的特解。、根据初始条件，计算标准方程的特解。单自由度系统自由振动分析的一般目标：单自由度系统自由振动分析的一般目标：1、求系统的固有角频率，即固有频率；、求系统的固有角频率，即固有频率；2、求解标准方程。、求解标准方程。2024年4月22日振动力学6多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 固有频率固有频率固有频率固有频率 模态模态模态模态 模态的正交性模态的正交性模态的正交性模态的正交性 主质量和主刚度主质量和主刚度主质量和主刚度主质量和主刚度 模态叠加法模态叠加法模态叠加法模态叠加法 模态截断法模态截断法模态截断法模态截断法多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动2024年4月22日振动力学7多自由度系统的固有频率多自由度系统的固有频率作用力方程：作用力方程：自由振动方程：自由振动方程：在在考考虑虑系系统统的的固固有有振振动动时时，最最感感兴兴趣趣的的是是系系统统的的同同步步振振动动，即即系系统统在在各各个个坐坐标标上上除除了了运运动动幅幅值值不不相相同同外外，随时间变化的规律都相同的运动随时间变化的规律都相同的运动。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动和单自由度系统一样，自和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频由振动时系统将以固有频率为振动频率。率为振动频率。2024年4月22日振动力学8多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动同同步步振振动动：系系统统在在各各个个坐坐标标上上除除了了运运动动幅幅值值不不相相同外，随时间变化的规律都相同的运动同外，随时间变化的规律都相同的运动。振动形式振动形式1振动形式振动形式2振动形式振动形式3三自由度系统三自由度系统思考：同步振动是不是解耦振动？思考：同步振动是不是解耦振动？2024年4月22日振动力学9多自由度系统的固有频率多自由度系统的固有频率作用力方程：作用力方程：自由振动方程：自由振动方程：代表着振动的形状代表着振动的形状常数列向量常数列向量 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动和单自由度系统一样，自和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频由振动时系统将以固有频率为振动频率。率为振动频率。同同步步振振动动：系系统统在在各各个个坐坐标标上上除除了了运运动动幅幅值值不不相相同同外外，随随时时间间变化的规律都相同的运动。变化的规律都相同的运动。运动规律的时间函数运动规律的时间函数 2024年4月22日振动力学10代入，并左乘代入，并左乘 ：常数：常数M 正定，正定，K 正定或半正定正定或半正定 对于非零列向量对于非零列向量 ：令：令：对于半正定系统，有对于半正定系统，有 对于正定系统必有对于正定系统必有 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率2024年4月22日振动力学11a、b、为常数为常数（1）正定系统）正定系统 只可能出现形如只可能出现形如 的同步运动。的同步运动。系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。（2）半正定系统）半正定系统 可能出现形如可能出现形如 的同步运动。的同步运动。也可能出现形如也可能出现形如 的同步运动的同步运动（不发生弹性变形（不发生弹性变形）。）。主振动主振动多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率2024年4月22日振动力学12首先讨论正定系统的主振动：首先讨论正定系统的主振动：M 正定，正定，K 正定正定主振动：主振动：正定系统：正定系统：将常数将常数 a 并入并入 中中代入振动方程：代入振动方程：有非零解的充分必要条件：有非零解的充分必要条件：特征方程特征方程 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率2024年4月22日振动力学13解出解出 n 个值，按升序排列为：个值，按升序排列为：第第 i 阶固有频率阶固有频率频率方程频率方程或特征多项式或特征多项式仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。：基频。：基频。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率2024年4月22日振动力学14采用位移方程求解固有频率：采用位移方程求解固有频率：位移方程：位移方程：柔度矩阵柔度矩阵自由振动的位移方程：自由振动的位移方程：主振动：主振动：代入，得：代入，得：特征值特征值多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率2024年4月22日振动力学15采用位移方程求解固有频率：采用位移方程求解固有频率：位移方程：位移方程：柔度矩阵柔度矩阵自由振动的位移方程：自由振动的位移方程：主振动：主振动：代入，得：代入，得：特征值特征值特征方程：特征方程：特征根按降序排列：特征根按降序排列：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率2024年4月22日振动力学16例：三自由度系统例：三自由度系统m2kmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率2024年4月22日振动力学17小结：小结：固有频率固有频率多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率主振动：主振动：正定系统：正定系统：代入振动方程：代入振动方程：有非零解的充分必要条件：有非零解的充分必要条件：特征方程特征方程 频率方程或特征多项式频率方程或特征多项式固有频率仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。固有频率仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。自由振动的位移方程：自由振动的位移方程：主振动：主振动：代入，得：代入，得：特征方程：特征方程：2024年4月22日振动力学18多自由度系统的模态（主振型）多自由度系统的模态（主振型）正定系统：正定系统：主振动：主振动：特征值问题：特征值问题：特征值特征值特征向量特征向量 n 自由度系统：自由度系统：（固有频率）（固有频率）（模态）（模态）一一对应一一对应代入，有：代入，有：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态第第i 阶模态特征阶模态特征值问题。值问题。振动的形状振动的形状2024年4月22日振动力学19多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动n 个方程个方程奇次方程组奇次方程组当当 不是特征多项式重根时，上式不是特征多项式重根时，上式 n 个方程只有一个不独立个方程只有一个不独立.设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元素（例如素（例如 ）的项全部移到等号右端）的项全部移到等号右端.2024年4月22日振动力学20当当 不是特征多项式的重根时，上式不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个方程中有且只有一个是不独立的个是不独立的。设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元素（例如素（例如 ）的项全部移到等号右端）的项全部移到等号右端。若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示表示的的 否则应把含否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态n-1个方程个方程非奇次方程组非奇次方程组2024年4月22日振动力学21为使计算简单，令：为使计算简单，令：则有：则有：当当 不是特征多项式的重根时，上式的不是特征多项式的重根时，上式的 n 个方程中有且只有个方程中有且只有一个不独立一个不独立。设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元素（例如素（例如 ）的项全部移到等号右端。）的项全部移到等号右端。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学22例：三自由度系统例：三自由度系统2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学23以以 为例进行说明：为例进行说明：将将 代入，有：代入，有：由第三个方程，得：由第三个方程，得：代入第二个方程：代入第二个方程：与第一个方程相同与第一个方程相同方程组中有一式不独立。方程组中有一式不独立。例如，将第三个方程去掉例如，将第三个方程去掉因此若令因此若令 可解出可解出整理整理多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学24令：令：解得：解得：的值也可以取任意非零常数的值也可以取任意非零常数将解得将解得 特征向量特征向量 在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为值的过程称为归一化归一化。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学25正定系统：正定系统：主振动：主振动：将将 ，代入主振动方程代入主振动方程,并将并将改为改为第第 i 阶主振动阶主振动：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态系统在各个坐标上都将系统在各个坐标上都将以第以第 i 阶固有频率阶固有频率wi 做做简谐振动，并且同时通简谐振动，并且同时通过静平衡位置。过静平衡位置。2024年4月22日振动力学26多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动第一阶主振动第一阶主振动第二阶主振动第二阶主振动第三阶主振动第三阶主振动三自由度系统三自由度系统系统在各个坐标上都将以第系统在各个坐标上都将以第 i 阶固有频率阶固有频率wi 做做简谐振动，简谐振动，并且同时通过静平衡位置并且同时通过静平衡位置 w1w2w32024年4月22日振动力学27第第 i 阶主振动阶主振动：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动2024年4月22日振动力学28第第 i 阶主振动阶主振动：比值：比值：虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动形态已确定振动形态已确定。描述了系统做第描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为阶主振动时具有的振动形态，称为第第 i 阶阶主振型主振型，或，或第第 i 阶模态。阶模态。主振型仅取决于系统的主振型仅取决于系统的 M 阵、阵、K 阵等物理参数。阵等物理参数。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态第第 i 阶特征向量阶特征向量 ，就是系统做第，就是系统做第 i 阶主振动时各个坐标上位阶主振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值移（或振幅）的相对比值。2024年4月22日振动力学29正定系统：正定系统：第第 i 阶主振动阶主振动：系统的自由振动：系统的自由振动：n个主振动的叠加个主振动的叠加 模态叠加法模态叠加法 由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动。振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动。初始条件决定初始条件决定多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学30例：两自由度弹簧质量系统例：两自由度弹簧质量系统m2m2kkkx1x2求：固有频率和主振型。求：固有频率和主振型。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学31解：解：动力学方程：动力学方程：令主振动：令主振动：或直接用或直接用 得：得：m2m2kkkx1x2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学32令令 特征方程：特征方程：为求主振型，先将为求主振型，先将 代入代入：一个独立一个独立 令令则则第一阶主振型：第一阶主振型：令令则则代入代入第二阶主振型：第二阶主振型：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态同理：同理：2024年4月22日振动力学33第一阶主振型：第一阶主振型：第二阶主振型：第二阶主振型：画图：画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。第一阶主振动第一阶主振动:11多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动m2m2kkkx1x2两个质量以两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。同，而且每一时刻的位移量都相同。aa同向运动同向运动2024年4月22日振动力学34第一阶主振型：第一阶主振型：第二阶主振型：第二阶主振型：画图：画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值-21多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动m2m2kkkx1x2第二阶主振动第二阶主振动:两个质量以两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。异向运动异向运动 2aa2024年4月22日振动力学35第一阶主振型：第一阶主振型：第二阶主振型：第二阶主振型：第一阶主振动第一阶主振动:同向运动同向运动始终不振动点始终不振动点11-21多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动无节点无节点 一个节点一个节点 m2m2kkkx1x2第二阶主振动第二阶主振动:异向运动异向运动 节点节点 如如果果传传感感器器放放在在节节点点位位置置，则则测测量量的的信信号号中中将将不不包包含含有有第第二二阶阶模模态态的的信息信息。2024年4月22日振动力学36正定系统：正定系统：特征值问题：特征值问题：特征矩阵特征矩阵记为记为 B或或当当 不是重特征根时，可以通过不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵的伴随矩阵 求得相求得相应的主振型应的主振型 。根据逆矩阵定义根据逆矩阵定义：两边左乘两边左乘 ：当当 时时：或或的任一非零列都是第的任一非零列都是第 i 阶主振动阶主振动多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态主振动的伴随矩阵求法：主振动的伴随矩阵求法：伴随矩阵：矩阵伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式中的元素都用它们在行列式A中的代数中的代数余子式余子式替换后得到的矩阵再替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。的伴随矩阵。A与与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的行列式的的对角阵对角阵。2024年4月22日振动力学37例：三自由度弹簧质量系统例：三自由度弹簧质量系统2kmmmk2kkx1x2x3求：固有频率和主振型。求：固有频率和主振型。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学38解：解：动力学方程：动力学方程：主振动：主振动：或或 2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学39令令 行列式行列式0单根单根 可用伴随矩阵求振型可用伴随矩阵求振型 特征矩阵特征矩阵多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学40分别代入分别代入 第二阶模态有第二阶模态有 1 个节点，第三阶模态有个节点，第三阶模态有 2 个节点，这由主个节点，这由主振型内元素符号变号的次数可以判断出。振型内元素符号变号的次数可以判断出。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学41模态图形：模态图形：1121-11-11第一阶模态：第一阶模态：第二阶模态：第二阶模态：第三阶模态：第三阶模态：2kmmmk2kkx1x2x3无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学42单自由度系统单自由度系统多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学43两自由度系统两自由度系统第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态一个节点一个节点无节点无节点节点位置节点位置多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学44第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态三自由度系统三自由度系统节点位置节点位置无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学45第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态四自由度系统四自由度系统一个节点一个节点两个节点两个节点三个节点三个节点节点位置节点位置无节点无节点多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态2024年4月22日振动力学46小结：小结：模态模态多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态特征值问题：特征值问题：特征值特征值特征向量特征向量（固有频率）（固有频率）（模态）（模态）在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为程称为归一化归一化。描述了系统做第描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为阶主振动时具有的振动形态，称为第第 i 阶阶主振型主振型，或，或第第 i 阶模态。阶模态。主振动仅取决于系统的主振动仅取决于系统的 M 阵、阵、K 阵等物理参数。阵等物理参数。的任一非零列都是第的任一非零列都是第 i 阶主振动阶主振动比较：比较：因为有：因为有：当当wi不是重特征根时：不是重特征根时：2024年4月22日振动力学47