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第七章 非线性控制系统分析
练习题及答案
7-1 设一阶非线性系统的微分方程为
试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。
解 令 得
系统平衡状态
其中： ：稳定的平衡状态；
：不稳定平衡状态。
计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。
-2
-1
0
1
2
-6
0
0.385
0
-0.385
0
6
11
2
0
1
0
2
11
图解7-1 系统相轨迹
可见：当时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当时，系统发散；时，; 时，。
注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个平面上任意分布。
7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
(1)
(2)
解 （1） 系统方程为
令，得平衡点：。
系统特征方程及特征根：
计算列表
-∞
-3
-1
-1/3
0
1/3
1
3
∞
-1
-2/3
0
2
-∞
-4
-2
-4/3
-1
-1
-4/3
-2
-4
∞
2
0
-2/3
-1
用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（）所示。
图解7-2（）系统相平面图
（2） ①
②
由式①： ③
式③代入②：
即 ④
令
得平衡点：
由式④得特征方程及特征根为
（鞍点）
画相轨迹，由④式
计算列表
2
2.5
3
∞
1
1.5
2
=1/(-2)
∞
2
1
0
-1
-2
∞
用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（）所示。
7-3 已知系统运动方程为 ，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
解 求平衡点，令 得
平衡点 )。
将原方程在平衡点附近展开为台劳级数，取线性项。
设
特征方程及特征根：
k为偶数时 （中心点）
k为奇数时 （鞍点）
用等倾斜线法作相平面
-2
-1
-1/2
-1/4
0
1/4
1/2
1
2
-1/
1/2
1
2
4
∞
-4
-2
-1
-1/2
作出系统相平面图如图解7-3所示。
7-4 若非线性系统的微分方程为
(1)
(2)
试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。
解（1） 由原方程得
令
得
解出奇点
在奇点处线性化处理。
在处：
即
特征方程及特征根
（不稳定的焦点）
在处
即
特征根 （鞍点）
概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4（1）所示：
（2） 由原方程
令 得奇点 ,在奇点处线性化
得
即
特征根 。奇点（中心点）处的相轨迹如图解7-4(2)所示。
7-5 非线性系统的结构图如图7-36所示。
系统开始是静止的，输入信号，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。
解 由结构图，线性部分传递函数为
得 ①
由非线性环节有
②
由综合点得
③
将③、②代入①得
开关线方程为
令 得奇点
特征方程及特征根
（中心点）
III：
令 得奇点
特征方程及特征根
（中心点）
绘出系统相轨迹如图解7-5所示，可看出系统运动呈现周期振荡状态。
7-6 图7-37所示为一带有库仑摩擦的二阶系统，试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单位阶跃响应的影响。
解 由系统结构图有
①
因为 ②
②代入①式有
特征方程与特征根
依题意
可得
以为起点概略作出系统相轨迹。可见系统阶跃响应过程是振荡收敛的。
7-7 已知具有理想继电器的非线性系统如图7-38所示。
图7-38 具有理想继电器的非线性系统
试用相平面法分析：
（1）时系统的运动；
（2）时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用；
（3）时系统的运动特点。
解 依结构图，线性部分微分方程为
①
非线性部分方程为 ②
开关线方程：
由综合口： ③
③、②代入①并整理得
在 I 区：
解出： （抛物线）
同理在 II 区可得：
（抛物线）
开关线方程分别为
时， ;
时，;
时，.
概略作出相平面图如图解7-7所示。
图习题集P178 T8-10
由相平面图可见：加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡性减小，响应加快。
7-8 具有饱和非线性特性的控制系统如图7-39所示，试用相平面法分析系统的阶跃响应。
解 非线性特性的数学表达式为
图7-39 非线性系统结构图
线性部分的微分方程式为
考虑到，上式又可以写成
输入信号为阶跃函数，在时有，，因此有
根据已知的非线性特性，系统可分为三个线性区域。
Ⅰ区：系统的微分方程为
按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点（0，0），奇点的类型为稳定焦点。图解7-8（）为Ⅰ区的相轨迹，它们是一簇趋向于原点的螺旋线。
Ⅱ区：系统的微分方程为
设一般情况下，初始条件为。则上式的解为
对上式求一次导数，得
故当初始条件时，相轨迹方程为。
当时，相轨迹方程为
由此可作出该区的相轨迹，如图解7-8()所示，相轨迹渐进于直线。
Ⅲ区：此时系统的微分方程为
将Ⅱ区相轨迹方程中的改变符号，即得Ⅲ区的相轨迹方程
该区的相轨迹如图解7-8（）所示。
将以上各区的相轨迹连接起来，便是系统的整个相平面图，如图解7-8（）所示。
假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入作用时，相轨迹的起始点应为。此时的系统的相平面图如图解7-8（）所示。由图可知，系统在阶跃输入作用时，系统是稳定的，其稳态误差为零。动态过程具有衰减振荡性质，最大超调量可从图中量得。
图解7-8 非线性系统的相平面图
7-9 试推导非线性特性 的描述函数。
解
7-10 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为
(1)
(2)
(3)
试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？
解 线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图解7-10所示。
由对数幅频特性曲线可见，L2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统（2）的描述函数法分析结果的准确程度较高。
7-11 将图7-40所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。
图7-40 非线性系统结构图
解 (a) 将系统结构图等效变换为图解7-11（a）的形式。
(b) 将系统结构图等效变换为图解7-11(b)的形式。
7-12 判断题7-41图中各系统是否稳定；与两曲线交点是否为自振点。
题7-41图 自振分析
解 （a） 不是
（b） 是
（c） 是
（d） 点是，点不是
（e） 是
（f） 点不是，点是
（g） 点不是，点是
（h） 系统不稳定
（i） 系统不稳定
（j） 系统稳定
7-13 已知非线性系统的结构图如图7－42所示
图7-42 7-13题图
图中非线性环节的描述函数为
试用描述函数法确定：
（1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的Ｋ值范围；
（2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。
解 （1）
N(A)单调降，也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线和曲线如图解7-13所示，可看出，当K从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。
求使 的值：
令
得
令
可得出K值与系统特性之间的关系：
（2）由图解7-13可见，当和相交时，系统一定会自振。由自振条件
解出
7-14 具有滞环继电特性的非线性控制系统如图7-43（）所示，其中。
（1） 当时，分析系统的稳定性，若存在自振，确定自振参数；
（2） 讨论对自振的影响。
图7-43 非线性系统结构图及自振分析
解 具有滞环继电特性的描述函数为
代入，有
其负倒描述函数曲线如题7-43（）所示，曲线位于第三象限，两曲线必然有交点，且该点为自振点。
根据虚部相等，有
自振角频率随增大而增大，当时，。
根据实部相等，有
解出非线性输入端振幅为
当时，。自振振幅随增大而减小。
7-15 非线性系统如图7-44所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定系统输出信号振荡的振幅和频率。
解 将系统结构图等效变换为图解7-15。
令与的实部、虚部分别相等得
两式联立求解得 。
由图7-44，时，有，所以的振幅为。
7-16 用描述函数法分析图7-45所示系统的稳定性，并判断系统是否存在自振。若存在自振，求出自振振幅和自振频率（）。
图7-45 非线性系统结构图
解 因为，所以当时环节输出为，环节输出也为。同样输出也是；当时情况类似。所以实际上和不起作用，系统可等效为如图解7-16（）的形式。
画出和曲线如图解7-16（）所示。可见系统一定自振。由自振条件
即
比较实部、虚部有
图解7-16
解出
7-17 试用描述函数法说明图7-46所示系统必然存在自振，并确定输出信号的自振振幅和频率，分别画出信号的稳态波形。
解
图7-46 非线性系统结构图
绘出和曲线如图解7-17()所示，可见点是自振点，系统一定会自振。由自振条件可得
即
令虚部为零解出=2，代入实部得A=0.796。则输出信号的自振幅值为：。
画出点的信号波形如图解7-17()所示。
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