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目录 11 绪论 绪论 11 日常生活中的振动实例 12 振动的物理特性 13 振动的激励源 14 结构的动力分析 15 振动的后果 16 结构设计中的振动控制 2单自由度系统的振动2单自由度系统的振动 21 引言 22 运动方程 23 自由振动 24 阻尼 25 周期激励下的结构响应 26 任意激励下的结构响应 27 Duhamel 积分 28 支座运动 29 运动方程的直接积分法 3多自由度系统的振动3多自由度系统的振动 31 引言 32 二自由度系统 33 分布参数系统 34 离散参数多自由度系统 35 无限介质中波的传播 36 基础和结构的相互作用 4振动问题的有限元分析4振动问题的有限元分析 41 引言 42 二维梁单元的有限元模型 43 其它单元类型 44 运动方程的求解 45 阻尼 46 有限元建模 5地震作用及分析5地震作用及分析 51 引言 52 地震的特性 53 地震危险性 54 反应谱 55 地震作用的计算分析 6风作用下的结构动力效应6风作用下的结构动力效应 61 引言 62 风的动力特性 63 紊流下的响应 64 细长结构横风向响应 7机器设备的动力基础7机器设备的动力基础 71 引言 72 机器设备的动荷载 73 地基系统的振动特性 74 自振频率 75 激振力的幅值 76 振动设备基础的设计准则 8移动荷载8移动荷载 81 引言 82 移动荷载下梁的动力分析 83 移动荷载下桥的振动 84 人的活动引起的振动 符号及术语 A动力矩阵 DLCC,升力系数、阻力系数 sC地震系数 RcRayleigh 波速);,(nrrC风速的相关函数 CCCCxz,土壤的均匀和非均匀压力系数、均匀和非均匀剪力系数 C,c结构阻尼系数，结构阻尼矩阵 D薄板的弯曲刚度 EI梁的弯曲刚度 f频率 DBgg,非共振峰因子，共振峰值因子 G地震风险分析中的几何系数；Lame 常数 h震源深度)(nH接受率 i1 I修正的 Mercalli 烈度；冲量dttP)(；重要度系数（地震设计）mKk,K刚度，刚度矩阵，广义坐标下的刚度 k波动方程中的波数 K人行桥的形状系数 musMmmm,M质量，单位长度质量，弹簧或非弹簧支撑的质量，质量矩阵，广义质量)(xM弯矩 MMM,0地震的里氏（Richter）震级，多遇震级和平均震级 n频率（风工程）N等参元的插值函数 P),(),(tPtxp分布荷载，荷载函数，荷载向量 mQxq,),(q分布力，力向量，广义力 Q子空间特征向量矩阵 Rr,径向距离，震源距离 R延性系数)(rR 互相关系数 S地震响应系数);,(nrrS互谱密度 SStrouhal 数 YmQmxSSnS,),(水平向阵风谱密度，广义力和模态振幅 vdaSSS,加速度谱，位移谱，速度谱 Tt,振动的时间，振动周期 uuu&,水平位移、速度和加速度 rguu,地面位移，地面相对位移 u u位移向量 U应变能 vvv&,竖向位移、速度和加速度 zyxvvv,风速分量*,),(vVtv风速，平均风速，剪切风速 VxV),(剪力，基底剪力 V车速 VLanczos 向量矩阵 zyxVVV,V质点的峰值速度和分量 www&,竖向位移、速度和加速度 ieWW,外力和内力虚功 Y,mmmYYY&位移、速度和加速度的模态幅值或向量 0z地面粗糙度高度 频率常数，阻尼系数阵，速度参数LV/（移动荷载），应力集中几何系数，纵波波速 Newmark 算法中的常数，剪切波速，影响系数，跳桥系数（移动的弹簧质量系统）xy剪切应变 n振型参与系数),(nrrr2相关系数 Newmark 算法中的常数 c跨中位移 ,zyx应变分量，应变向量,表面波速 涡流粘度 zyx,转动惯量 波长，Lame 常数 子空间特征向量矩阵 粘性系数，质量比 Poisson 比 as,阻尼比，结构阻尼比，气动阻尼 密度，频率比,zyx应力分量，应力向量)(),(,EEDBx222水平阵风的方差，非共振荷载效应，共振荷载效应 时间 xy剪应力 相位滞后,),(nx模态，模态向量，特征值矩阵)(na气动接受率 动力响应系数（人行桥）特征值变换阵,自由振动圆频率，有阻尼振动圆频率，界限频率 激励频率 11绪论 1绪论 1.1 日常生活中的振动实例 在日常生活中经常可以看到细长的街灯柱在平稳风作用下的震荡现象，这种现象经常发生在强风环境下，而且仔细地观察会发现灯柱的运动方向与风速方向垂直。这是风绕过柱体流动时产生小涡流而导致的涡旋脱落效应造成的，灯柱结构的自振周期与涡旋出现的周期刚好一致时，将产生显著的振动现象。1940 年美国 Tacoma 大桥倒塌，其部分原因是涡旋脱落效应，现在所有的大跨度桥设计时都需要考虑风载引起的动力效应。在旅行和假日中，乘客脚下的渡船甲板的轻微颤动可能是令人愉快的，这种颤动是引擎产生的不平衡力传播给相对较柔的船体时产生的。然而，重工车间的可能导致令人非常不愉快的振动，甚至能导致结构本身的破坏。因此，需要对机器的基础进行专门设计，以使振动量保持在可接受的范围之内。嘈杂的交通往往是导致临街建筑物开裂或产生微小的破坏的原因，这些损坏以及与之并发的噪声也经常是业主抱怨的主要因素。在修路时，重型卡车快速通过坑坑洼洼的路面会产生冲击作用，这些作用会通过大地传播到结构的基础，类似的问题在打桩和爆破时也经常遇到。除此之外，全世界的地震非常频繁，严重地影响了人类的生命和财产安全。本世纪美国，墨西哥、智利、中国和日本发生过很多次严重的甚至是灾难性的地震，在这些国家，地震作用往往是建筑设计中考虑的主要因素，即使是通常认为不需要抗震设防的国家，例如英国，也存在一些小规模的，具有一定危险性的地震。对于核电站和一些大型工业设施，由于破坏可能导致的后果非常严重，因此也需要对地震可能导致的风险加以分析。1.2 振动的物理特性 1.2 振动的物理特性 振动问题在两方面有别于静力问题。首先，施加的荷载是随时间是变化的。例如脉动风压和爆炸作用，往复机械产生脉动荷载，运动的车辆和火车头的作用（机车一边在自身的悬挂系统上振动，一边在不断变化其作用的位置），在地震的情况下原来静止的建筑物随地面一起运动等等。其次，结构的运动产生惯性力，固定结构的振动意味着前后振荡，在运动过程中结构的每一个部分都拥有动能，这使得结构总是在制动或者趋于静止状态那一瞬间偏离于静止平衡位置。外荷载、惯性力和弹性抵抗力在动平衡方程中是不断变化的。一个比较经典的例子是士兵过人行桥的问题，一系列作用力和作用位置随时间变化的脉冲荷载导致了结构的运动，按照牛顿第二定律，结构的每一个单元上都作用有与加速度成正比的惯性力，这些惯性力沿桥长度分布，使得结构在接近其最大变形时发生偏离，结构的弹性起到储备力的作用，它使得结构反弹，从而导致振荡。如果行走频率刚好与结构频率相一致，这种振荡将进一步放大。1.3 激励源 在工程设计实践中首先要识别出振动的激励源，并评价它们的幅度，以及评价这种动力作用与静力作用相比的显著性。静力作用下的结构计算一般要比动力作用下的计算容易得多，这就是工程师喜欢尽可能的使用等效静力作用的原因。然而很多形式的荷载有显著的动力成分，并且一些建筑物，如比较柔的建筑物，动力作用效应非常显著。另外，还有一些结构，例如有精密仪器的实验室，必须考虑振动因素。因此，需要把动力激励源、结构形式和结构用途放在一起综合考虑。本课程介绍以下几种动力作用：地震、风、机器设备、人的作用、运动车辆、爆炸和打桩作用。在进行抗风和抗震设计中使用等效水平静力是设计实践中经常使用的办法，这是获得结构构件尺寸的最简单的方式，地震分析中动力计算往往用于校核，因此可能会修改原来的设计方案。人的作用力，对于人群情况，通常处理为静止的分布荷载，但是有关研究表明流行音乐会或球场的地面往往产生显著的动力作用，尽管最糟糕的情况仅仅 2发生在特定的频率范围。运动的车辆可以按照在其静止的重量上增加一个冲压作用，实践表明这种做法对于一般高速公路和铁路桥设计是可行的，但是在超高速移动的荷载作用下不一定行得通。机器设备的振动、爆炸和打桩引起的振动必须借助于动力分析和实验解决。图 1.1 给出了一些动力荷载作用的例子，第一个是脉动风速记录，这会导致作用在结构上的脉动风压，这种作用具有显著的随机性，因此需要使用统计方法获得合适的设计荷载。第二个图是一个活塞发动机在基础上产生的动力作用，实践中这种作用力不一定是理想简谐的，但是具有特定的频率和幅度。第三个图给出了由声爆或爆炸引起的空气压力作用的特征，气爆曲线的形态也是比较相似的：首先是一个比较高的作用力峰值，然后作用力以接近线性的方式衰减，而且在以后的时间里往往会出现负压段，脉冲的持续时间、幅度和很多因素有关，例如离起爆点的距离，被爆破岩石的特性，形状和尺寸，以及喷气机所处的高度等等。一些形式的荷载很容易根据观察和实验确定，一些形式的荷载比较难确定，需要结合工程师的判断，某些动力荷载的数据例如地震和风作用可以在很多设计规范中找到，其他类型的荷载不那么常见，有关数据需要查阅相关的研究文献。本课程的其中一个目标是讨论最重要的几种荷载的动力特性，为进行相关的动力学分析和研究打下基础。1.4 结构的动力分析 动力分析与静力分析是相似的，两者最大的区别是后者需要考虑时间因素。静力分析时需要考虑结构的平衡条件以及结构不同单元之间的变形协调条件，利用这些条件可以导出一系列刚度方程，这是位移法，力矩分配法和刚度矩阵方法的理论基础。动力分析基本上也要做同样的考虑，只不过要考虑随时间变化的因素，因此需要在刚度方程的基础上增加一个与速度和加速度成正的项，从而形成一个二阶微分方程。当然，动力问题在求解计算时就要比静力问题复杂一些。幸好，很多设计问题并不需要知道每一瞬时具体的应力分布。而且动力作用下结构的变形形态要比静力作用下结构变形形态光滑，应力分布也相对均匀，这些因素使得在结构动力分析中考虑到的细节因素一般要比静力分析中的少。对于很多结构，将其缩减为一个单自由度系统时可以获得很多实用的信图 1.2 动力分析中的结构模型 图 1.1 常见的动力作用：(a)脉动风（速）；(b)活塞式引擎作用力；(c)由于爆炸或者声爆引起的空气压力 3息。图 1.2a 给出了一个简单例子，一个受到气爆作用的单层房屋，该结构可以理想化为 1.2b 的形式，其中坡屋顶简化为一根刚性的梁，墙简化为固定在基础上的悬臂梁。这个结构可以进一步简化为图 1.2(c)所示的弹簧质量系统，质量只能发生水平位移，因此只有一个自由度，分布力与作用面积相乘可以得到一个随时间变化单点荷载。这种简化模型常用于分析爆炸冲击波作用下的建筑振动(Dowding,Fulthorpe 和 Langan,1982)。比较大的更重要的结构需要更详细的建模。但是即使如此，一个有经验的工程师往往是在考虑一个更真实的模型之前使用比较简单的模型对振动进行近似估计。图 1.3 给出了一个近海采油平台结构，变直径的管单元简化为相互连接的梁，柔软的地基被简化为一个弹簧系统，单元和弹簧刚度特征需要认真考虑，但是就这样一个结构来说，现在大部分计算机都有能力对其进行分析。计算机分析一般采用有限元方法，有限元方法最有用的方面就是它使得工程师从复杂的数学计算中解放出来，使他们把注意力集中在如何利用现有的图形界面选择合适的和更真实的结构模型等问题上。1.5 振动的后果 结构振动带来很多不利因素：（1）使结构超载或倒塌；（2）使结构产生裂缝和其它需要修补的破坏；（3）导致防护设施的破坏；（4）设备或精密仪器不能正常使用；（5）给人带来不舒适感；（6）断裂和疲劳。现代的设计施工技术使得建筑物可以抵抗大地震产生的作用力，最基本的要求是避免结构整体倒塌和人员伤亡。然而，出于经济原因考虑，借助延性变形吸收地震能量是一种实践中可接受的做法，做必要的修补是可以接受的。爆炸、打桩和声爆可以导致抹灰开裂和窗户玻璃破坏，由于这些激励源导致的微小的结构破坏也是可能出现的，因此需要有一种预测这些问题的方法。振动最严重的后果主要来自地震导致的核反应堆防护结构破坏，地震问题需要工程师花很多时间去考虑。工业厂房设备的破坏一般不会象核反应堆那样产生严重的次生灾害，但是会由于停工而导致较大的经济损失，而且，对于一些特别精细的制造流水线，例如微机芯片制造设备，需要对振动环境进行严格限制。一般认为人对振动并不敏感，事实上建筑物出现让人无法忍受的振动的情况是很少的。对于高层建筑，即使是在非抗震区，需要对风引起的振动加以限制，以避免振动达到人们不可接受的程度。验算机器设备振动的一个主要原因，是使得这些振动不能超过人能容忍的水平。图 1.3 简化的三维结构模型 4疲劳是结构受到成千上万次往复加载作用时出现的现象，这种现象在焊接钢结构中比较常见，结构自身的一些初始不可见的微小裂纹，会随应力循环不断增大其尺寸，直至变为可见裂缝或引起结构倒塌，即使很小的应力，在经过足够多次的反复作用以后，也能导致疲劳失效。钢质格构式长桅杆在脉动风作用下往往经历几百万次的应力循环，钢质近海导管架平台结构的焊接接点会出现疲劳裂纹，桥梁在设计时要考虑到车轮力的反复作用（尽管这种作用不一定与振动有关）。1.6 结构设计中的振动控制 前面几节指出，对振动敏感结构的振动设计需要经历三个步骤：（1）确定动力作用的频率、幅度或者测量动力荷载随时间的变化规律；（2）对结构进行动力分析获得结构变形、应力、频率和加速度；（3）将获得的结果和指定的标准进行比较以确保振动不产生不良的后果。然而，振动分析工作并不能就此了结，一个比较明智的做法是回过头去从早期概念设计阶段重新考虑，对整个问题做近似计算，从而使得振动可以达到最小。有时振动设计可以与减小动力荷载一并考虑，一个常见的例子是叉车引起的结构振动，其原因往往是车轮太硬或者地面不平整，花点钱用于改善路面，对建筑物的伸缩缝加以仔细利用，这个问题可以得到彻底解决。一些结构，例如舞厅的楼板，往往受特定频率范围的振动影响。比较有远见和经济的做法是增加结构的厚度使得结构的自振频率高于舞蹈产生的卓越频率。支撑体系结构的自振频率一般比刚架结构的自振频率大，因此在避免出现低频率振动时是比较经济的。地震区域的建筑的延性应尽可能的大，以吸收振动能量。脆性结构，例如无筋砌体结构在大地震作用下的性能并不理想，因此比较容易出现震害。通过增加刚度和减少质量来提高结构的自振频率是可行的，但是一般很难获得经济的或者优化的设计方案，因此更有效的办法是设计专门的振动吸收装置。调谐减振器在一些重大工程中得到成功应用(Wargon 1983)，其原理将在第三章中进行介绍，一些结构，例如钢结构很容易发生振动，是因为它们的阻尼比较小，因此，有时选择阻尼比较大的材料或者安装专门的阻尼装置（Brown 1977）。最后，在许多工程中还需要考虑隔振。精密设备，例如芯片制造设备，必须安装在比较灵敏的悬挂系统上。临近铁路建筑的基础可以安装橡胶支座以减少传递来的振动(Waller 1966,1969)，机器有时需要用弹簧将其与支座隔离。基础隔振对于减少地震作用是一种非常经济有效的办法。52单自由度系统的振动 2单自由度系统的振动 2.1 引言 一想到海洋平台结构在波浪作用下的扭转和颤动时，我们就会意识到上百人的生命安全系于结构工程师动力计算的能力上，因此很容易被这个问题吓倒。结构有成百上千根构件，基础条件非常不确定，有脉动风和波浪作用，结构有摆动、倾斜、扭转和颠簸等多种运动方式。然而，善于做动力分析的专家们往往会从一些非常简单的、运动方式容易估计的系统着手来考虑这些问题，这就是我们要研究这一章的目的。最简单的振动系统由一个集中质量块和弹簧组成，通常说的单自由度系统，是指质量块只有一种可能的运动方向的系统。这与前面提到的海洋平台结构的摆动、倾斜、扭转和颠簸是大不一样的，因为这种体系是一个多自由度系统。然而，如果我们认为水平的摆动是卓越运动的话，我们就可以看出问题的简化方式。在图 2.1a 中，相对比较重的上部甲板结构用一个集中质量代替，而钢导管架支撑结构提供了抵抗风和波浪作用的水平刚度，它可以看成一个弹簧。类似的，图 2.1(b)中的桥梁可以理想化为质量集中在跨中的片状弹簧，跨中质量块受到移动货车的动力作用。对于每一种情况，我们都用弹簧质量块来近似，集中质量记为 m，弹簧刚度记为 k，随时间变化的外力记为 P(t)，可能的运动记为 u。你们会认为这样粗糙的近似不会产生什么实际有用的信息，然而，出于两方面的原因，它们还是非常有用的，首先训练有素的工程师能对这种近似模型的参数进行精心选择来获得真实问题的非常精确的预测结果；第二，我们在后面将会发现，一个真实结构的复杂运动可以分解为一系列弹簧质量块运动的叠加。2.2 运动方程 考虑图 2.3(a)所示的系统，这个系统与 2.1(a)的系统非常相似，唯一的区别是多了一个代表阻尼作用、系数为 C 的粘壶。阻尼是实际工程中的一个特性，它使得振动很快衰减，以后将对其进行详细地讨论。运动方程可以通过考虑作用在集中质量上的力的平衡条件得到，如果力P(t)导致了质量块产生向右的加速度，那么根据牛顿第二定律，在相反方向会有一个惯性力。与此同时，质量块还受到粘性阻尼力和弹簧力来抵抗质量块的运动。这些力分别与加速度，速度和位移成正比，如下图所示：图 2.1 理想化的单自由度系统 6 其中 u 上的点分别代表了 u 关于时间的一阶和二阶导数，作用在质量上的力见图 2.3(b)所示，因此系统的动平衡方程可以表达为，)(tPkuucum=+&(2.1)这就是系统的运动方程。2.3 自由振动 在没有外力函数 P(t)的作用下发生自由振动，运动方程可以写为，022=+uuu&(2.2)其中，mc/2=，mk/2=这是一个二阶齐次微分方程，在有关的教材中可以找到求解方法，显然，解 u 必须是一种在求导之后保持原来形式不变的函数，指数函数刚好满足这个条件，因此做如下尝试，ntAeu=(2.3)将(2.3)代入到运动方程中，我们发现有两个可能的解，因为我们得到了这样一个方程，0222=+n (2.4)因此有，12=n (2.5)解的结果依赖于阻尼的大小。值得注意的是，结构中的阻尼一般很小，1，不会发生振动现象，见图 2.4(b)，在任何初始位移下都将逐步爬到 0，这种现象在结构工程中是很少见的。2.4 阻尼 1=时，称为临界阻尼，如果把这个值代入到(2.10)中，可以得到0=，第二项将变为卓越项等于 0/0，然而如果考虑非常接近于临界阻尼的情况=，那么(2.10)第二项将有如下结果 ttt=sin 因此，临界阻尼情况下的位移将由如下方程给出)(000tuuueut+=&(2.13)结果见图 2.4(b)，可以看出它是一个刚好防止振动的极限状态，这样根据方程(2.2)就可以给出的临界阻尼的概念，kmmcc22=(2.14)而 ccc/=(2.15)为阻尼比。阻尼比是非常有用的无量纲阻尼量，通常以百分比的形式给出，绝大多数结构的阻尼比一般在百分之几左右。另一种阻尼的度量，就是所谓的对数衰减律，定义为+=个循环的幅值第个循环的幅值第1lnnn (2.16)因此，参考图 2.4(a)，前后两个循环的最大幅度比可以表示为，TTttnneeueuuu=+)(001 (2.17)由对数衰减关系得到的阻尼比为，2/2=T (2.18)真实结构中的阻尼不仅仅限于前面讨论的粘性阻尼，更多的是来自于界面间的摩擦，例如螺栓连接的界面、夹层接点的界面和混凝土的裂缝的摩擦作用等等。图 2.5(a)给出了一个最简单的库仑摩擦模型的例子，在这个例子中运动 u 方向受到一个与正压力成比例的摩擦力，结合这个图，将方程(2.1)中的阻尼力项用摩擦力 F 代替，就可以得到下面的方程，图 2.4 有阻尼的自由振动：(a)弱阻尼;(b)临界阻尼 8)(tPkuFum=+&u&为正 )(tPkuFum=+&u&为负 (2.19)这个方程的求解并不难，具体的求解过程可以参考(Biggs,1964)，这里仅仅讨论结果。计算结果表明，这种情况下振幅是线性衰减的，见图 2.5(b)所示。实验表明真实的阻尼作用往往界于粘性阻尼和摩擦阻尼之间，尽管如此，粘性阻尼的假定在分析中一般比较方便，而且对于大多数情况是足够准确的。例 2.1 例 2.1 图 2.6(a)所示的刚架体系，接点刚性连接，结构的质量是 5000kg，集中于假定为刚性的梁上，假定柱没有重量，结构平面内每根柱的弯曲刚度 EI为 4.5106Nm2，结构的粘性阻尼比为 4%。计算(a)有阻尼和无阻尼的自振频率；(b)假定将刚性梁水平推移 25mm，然后突然放开，计算头 5 个循环的峰值位移。解 解 等效的单自由度系统质量为 m=5000kg 注意到当刚架被推移以后，每根柱的变形如图 2.6(b)所示，柱的顶部和底部转角为 0，柱在单位水平位移下的力可以根据结构力学得到。体系的弹簧刚度是每根柱抗侧刚度的两倍，因此，mNhEIk/100.43/105.4122/1226363=(a)可以通过(2.7)得到无阻尼的自振频率为 Hzf502.45000104216=通过式(2.7)计算有阻尼的自振频率 Hzff498.404.01502.4122=两者基本一样。(b)使用式(2.10)计算振动峰值。不考虑有阻尼频率和无阻尼频率之间的差别，由于初始速度为 0，我们得到)sin(cos0tteuut+=振幅峰值出现在速度为 0 处，速度可以根据上面的式子求导得到，图 2.5 摩擦阻尼作用 图 2.6 框架结构的振动 9ttteutttteuu=+=sin)1()sincoscossin(2020&因此，在速度等于 0，而位移达到最大的时候有，0sin=t，即/nt=每个循环的最大位移必须在.,/4,/2,0=t处得到，即)2513.0exp(0.25)204.0exp(0.25nnu=；5,4,3,2,1,0=n 因此，最大位移为 12.7,15.9,12.15,44.19,0.25=u mm 2.5 周期力函数 现在考虑方程(2.1)中的力函数)(tP，了解振动最重要的一个环节是知道周期力作用下的系统振动，tPkuucum=+sin0&(2.20)其中是动荷载的圆频率，在第七章设备基础设计问题中还会再次用到这个方程。假定系统振动频率与激励频率相同，因此尝试使用如下形式的解，tAtAu+=cossin21 (2.21)代入到(2.20)中得到，tPtkAtkAtcAtcAtmAtmA=+sincossinsincoscossin021212221，即()()0cossin112201221=+tkAcAmAtPkAcAmA (2.22)要使得(2.22)成立，必须同时满足如下两个方程，01221PkAcAmA=+(2.23a)02122=+kAcAmA (2.23b)从而得到，2222021)()(+=cmkPmkA (2.24a)222202)(+=cmkPcA (2.24b)这样，很容易就可以看出方程(2.21)可以写成如下形式，)()sin(22220+=cmktPu (2.25)其中，)/(tan2=mkc (2.26)显然，振动与力函数是同频率是合理的，然而，应该注意到在振动过程中同时也伴随着自由振动，因此完整的解还包括方程(2.9)给出的形式。即使系统一开始是静止的，在激励作用一开始就会产生自由振动。自由振动很快会因阻尼效应在几个循环后衰减完毕，最终只剩下由(2.25)式给出的稳态响应。头几个循环出现的瞬态响应对于移动荷载作用下桥梁的振动是很重要的（第 7 章）。结构的稳态振动特性可以用动力系数或放大系数 DLF 来描述。用静 10挠度kp/0去除(2.25)式，并令1)sin(=t，可以得到，)2(11222+=）（最大静挠度最大动挠度DLF (2.27)其中，频率比=/。图 2.7 给出了不同阻尼下频率比和动力系数 DLF 之间的关系。共振是一种发生在频率比1=时的现象，这时作用力的频率与结构自振频率相同。振幅在这个区域达到最大值，最大振幅出现的位置与阻尼有关，可以由2221=确定，因此，在阻尼比较大时，共振出现的频率比位置将略微向左偏。而且大家都可以看出，当1时，共振峰将消失。然而由于结构中的阻尼比一般比较小，因此在1=处的阻尼对 DLF 的影响就显得比较重要，例如，如果02.0=（大部分结构属于这种情况），在共振时，动挠度和静挠度的比值将达到 25。这个特征可以用于共振测试，用一个偏心转子产生一个已知周期的力函数，并作用在结构上，然后获得结构在共振时的动力响应，根据方程(2.27)就可以计算得到阻尼。方程(2.25)和(2.26)表明振动响应滞后于作用力，见图 2.8 所示，当作用力的频率比系统的自振频率低很多时，位移动力响应与力函数几乎同相位，而且位移并不会放大。事实上，这时的结构是准静态的，随着作用力频率图 2.9 相位滞后随频率比的变化 图 2.8 稳态响应的相位滞后 图 2.7 周期作用的稳态响应 11的增大，动力响应也放大，而且逐步出现滞后现象，在共振点，不管阻尼是多大，相位滞后总为 90o，而振幅接近于最大值。相位滞后角度随频率比的变化见图 2.9，显然，相位滞后在共振点附近变化非常快，这就给出了一个非常精确的确定结构共振频率的方法。例 2.2 图 2.6 所示的框架结构上面放了一个往复式机械，在框架平面内施加一个频率为 1.75Hz，幅度为 8.5kN 的水平力。机器质量 4000kg，加在结构质量上。(a)如果阻尼比为 4%，稳态的振幅响应是多大？(b)如果作用力的频率落在结构的共振点上，稳态响应的振幅是多大。解 作用力为：tPtP=sin)(0 其中NP85000=，75.12=因此，静挠度为 125.2)100.4/(8500/60=kPust mm 单自由度系统的质量为，kgm900040005000=+=因此，可以得到自振频率为 Hzf355.39000104216=注意，在计算频率时要使用一致的单位。频率的单位为 skgskgmf1/2质量位移力质量刚度 用国际单位制计算可以避免很多错误(a)频率比为 522.0355.3/75.1/=因此，根据(2.27)得到动力系数为，372.1)522.004.02()522.01(/122=+=DLF 从而得到动位移 92.2=DLFuust mm(b)在共振点1=，动力系数为，512080121./)/(=DLF 得到动位移为，56.265.12125.2=u mm 2.6 任意荷载 在绝大部分实际应用中，动荷载)(tP是不规则的，而且是非简谐的，地震和风引起的荷载就是非常典型的例子。分析这种问题的思路是假定不规则的力函数由一系列如图 2.10 所示的瞬时脉冲构成，把所有脉冲引起的振动相加后得到总的动力响应。因此，首先，需要知道单个脉冲产生的响应。根据牛顿第二定律，冲量关于时间的变化率等于所施加的力，在单自由度系统情况下，这可以表示为，)(/)(tPdtumd=&(2.28)这样，由于瞬时力)(P所导致的冲量在微小时间间隔内的变化可以表达 12为，dPumd)()(=&(2.29)注意到在时间段d内速度和位移的微小变化引起的冲量变化可以忽略，d时间内速度的变化等于 mdPud/)(=&这等价于一个脉冲，在d时间内使系统具有初速度udu&=0，然后把力移走，在以后时间的振动可以由方程(2.10)得到，这个方程给出了单自由度系统在给定初始位移和初始速度以后的运动情况。对于现在考虑这种情况，由于脉冲作用时间是在时刻，因此(2.10)中的t等于这里的t，将，00=u，udu&=0代入(2.10)，就得到时刻的脉冲引起的在t时刻系统的位移，=)(sin)()()(tmdPetut (2.31)图 2.10 中每一个脉冲都将产生这种形式的振动，因为振动方程是线性的，每个脉冲产生的效果是相互独立的，可以按照叠加原理获得总的运动效果。对上述(2.31)中给出的在0,t区间上各个时刻的运动效果求和，在极限情况下，这种求和可以表达为积分形式，因此得到，=ttdetPmtu0)()(sin)(1)(2.32)这就是所谓的卷积或者 Duhamel 积分。一般在作用力函数)(P比较简单的情况下（例如矩形或者三角型）可以得到积分的解析结果，这些结果在分析碰撞或者冲击作用下的结构动力响应时非常有用。例 2.3 一个力在 t=0 时刻突然施加在结构上，而在以后的时间保持不变，见图 2.11(a)所示，这样的力函数可以表达为，0;)(0=tPtP (2.33)如果阻尼可以忽略)0(=，将(2.33)代入到(2.32)得到，)cos1()(sin)/()(00tudtmPtustt=(2.34)图 2.11 突加荷载下的响应 图 2.10 任意荷载 13其中stukPmP=)/()/(00，位移曲线见图 2.11(b)所示，显然 DLF=2.0。这是一个非常有用的上界，在实际冲击作用中，在达到最大荷载以前总存在一段有限的时间，这样在某种程度上就减少了 DLF，因此冲击作用的 DLF 最大为 2。例 2.4 作用在结构上的爆炸荷载可以近似为图 2.12(a)所示的三角型函数：力突然施加到结构上，而在以后的时间内线性地衰减到 0（注意和图 1.1(c)进行比较）。(a)不考虑阻尼，求单自由度系统位移的表达式;(b)然后进一步确定图 2.6 所示系统的动力响应，最大的荷载值考虑为 30kN，脉冲的持续时间为 0.16s。解：(a)力函数必须表示为两个部分，即荷载施加部分和衰减为 0 以后的部分，因此有，=dddTtTtTtPtP;00);/1()(0 (2.35a,b)从(2.32)可以知道，在不考虑阻尼的情况下，荷载施加段的位移由下式给出，=tddtTmPtu00)(sin)/1()/()(dddstTtttTTtu+=0;cossin)/1()/(1 (2.36)在计算荷载衰减到 0 以后的振动时，可以首先确定dT时刻的位移和速度，这两个参数可以从(2.36)得到，cossin)/1()(dddstdTTTuTu=(2.37a)1)(cos/1(sin)(+=dddstdTTTuTu&(2.37b)在式(2.10)中，用上面两个式子给出的结果作为初始条件，忽略阻尼效应，并用dTt 代替t，就可以得到，dddddddddstTtTtTTTTtTTTuu+=);(coscossin)/1()(sin)1)(cos/1(sin (2.38)(b)stuu/的最大值，即从(2.36)得到的 DLF，根据方程(2.36)(2.38)绘制爆炸持续时间和结构自振周期比与 DLF 的关系曲线（见图 2.12b），在爆炸持续时间很长时，DLF 接近于例 2.3 中突加荷载情况，即接近于 2.0，另一方面，当爆炸持续时间非常短，即时间比很小时，结构质量的惯性几乎完全抵抗了荷载变化引起的结构响应，这时的 DLF 非常的小。对于给定结构的周期为 sfT2221.0502.4/1/1=爆炸持续时间为 sTd16.0=因此时间比为 图 2.12 三角形力函数的作用效果 1472.0/=TTd 因此，从图 2.12(b)可以得到，4.1=DLF 最大响应为 5.10)104/()1030(4.163=muDLFustmm 2.7 Duhamel积分的数值计算 必须非常清楚的是 Duhamel 积分的解析结果只有在非常简单的荷载情况下才能得到，对于一般的荷载函数，只能通过数值积分得到结果，式(2.32)必须首先表达为如下形式，cos)(sin)()(sin)(1)(0)(ttBttAmedetPmtuttt=(2.39)其中，dPetAtcos)()(0=(2.40a)dPetBtsin)()(0=(2.40b)积分)(tA和)(tB用数值积分得到，一个简单而有效的方法是梯形法，考虑第一个积分)(tA，我们需要计算函数cos)(Pey=在等时间间隔点上的值（见图 2.13），然后就有，)2.22)(2/()(1210NNyyyyytA+=(2.41)这将得到)(tA在tN上的值，然而我们往往需要获得整个时间历程上的响应，这时，需要考虑使用如下一个递推公式，)(2/()()(1nnyytttAtA+=(2.42)其中)(ttA是前一个时间步的积分，积分)(tB也可以按照类似的办法进行。使用(2.39)可以得到每一个时间步的位移。例 2.5 Duhamel 积分的 Matlab 程序（针对突加荷载和三角形荷载）function Duhamel(T,N,m,freq,damp,id,Pmax,Pslope)%T计算时间%N时间间隔数%m质量%freq圆频率%damp阻尼比%id 荷载类型 id=1突加荷载；id=2三角型荷载%Pmax为最大荷载%Pslope 为荷载斜率，对于id=1时，可以输任何值 dt=T/N;t=0:dt:T;A=zeros(1,N+1);B=zeros(1,N+1);sinval=sin(freq*t);cosval=cos(freq*t);expval=exp(damp*freq*t);state=1;图 2.13 Duhamel 数值积分 15%Force function if id=1 P(1:N+1)=Pmax;else Td=Pmax/Pslope;if TdT disp(Warning:Longer T is required!)state=2;end Td=Td/dt;if fix(Td)=Td Nd=fix(Td);else Nd=fix(Td)+1;end nn=1:1:Nd;dp=Pmax/Nd;for i=1:Nd P(i)=Pmax-(i-1)*dp;end P(Nd+1:N+1)=0;end if state=1 YA=expval.*P.*cosval;YB=expval.*P.*sinval;for i=2:N+1 A(i)=A(i-1)+dt/2*(YA(i-1)+YA(i);A(i)=A(i-1)+dt/2*(YB(i-1)+YB(i);end u=expval.(-1)/(m*freq).*(A.*sinval-B.*cosval);plot(t,P)figure plot(t,u)end 使用该程序计算不同阻尼（00.05）下的结构反应，对于头 0.32s 的时间步长为 0.01s，计算结果见图 2.14，无阻尼情况下的最大位移接近于例2.4 给出的精确值 10.5mm。即时间步长在自振周期 1/20 的情况下，是可以满足精度要求的。必须注意到阻尼效应，由于阻尼的影响，振动幅度逐步降低，加载过程结束以后，振幅会逐步衰减到 0。2.8 支座运动 除了外界的动力荷载作用以外，地面运动或者支座运动也会产生振动，这种情况对于地震分析是非常重要的，这方面的研究还可以应用于其它一些情况，例如交通和打桩引起的振动，隔振系统设计和地震检测设备的设计等方面。考虑图 2.15 给出的简单系统，该系统受到地面运用的影响，地面运动图 2.14 爆炸作用的响应 图 2.15 支座运动 16用)(tug表示，运动方程为，0)()(=+gguukuucum&(2.43)在这个方程中必须注意到粘壶的速度和弹簧的伸长都受到了地面运动的影响，这个方程进一步可以写为，)()(tuctkukuucumgg&+=+(2.44)除了激励函数不一样以外，这个方程基本与(2.1)一样。如果支座运动是已知的，那么振动响应完全可以用前面提到的方法求出来。例如，施加了一个简谐的支座运动 tutug=sin)(0 (2.45)响应的运动方程变为，)sin()(cossin222000+=+=+tkcutuctkukuucum&(2.46)其中kc/tan=。这与方程(2.20)是相似的，两者唯一的差别是力函数的振幅不一样，而且多了一个相位差。因为可以选择一个时间原点开始计时，因此相位差是可以不用考虑的，这样质量块振动的振幅可以使用式(2.25)确定，即)()(22222220max+=cmkkcuu (2.47)如果定义传递率为，0maxuuTR）（支座振幅质量块振幅=(2.48)并代入2=mk/，=2mc/