奥数专题——裂项法(一)(含答案)上课讲义.doc

奥数专题——裂项法(一)(含答案)-

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奥数专题——裂项法（一）
同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。

（一）阅读思考
例如，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：

即
或
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】
例1. 计算：

分析与解答：

上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。

像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

例2. 计算：
公式的变式

当分别取1，2，3，……，100时，就有

例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式中这两个符号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算，就变成，与前面提到的等式相联系，便可找到一组解，即
另外一种方法
设都是自然数，且，当时，利用上面的变加为减的想法，得算式。
这里是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即。
又因为是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，，是的约数时，一定有，即

上面指出当，，是的约数时，一定有，这里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。

【模拟试题】（答题时间：20分钟）
二.尝试体验：
1. 计算：

2. 计算：
3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。
【试题答案】
1. 计算：

2. 计算：

3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。
的值为：75，81，96，121，147，200，361。
因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有

还有别的解法。

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