数学符号表.doc

精品文档
数学符号表
数学上，有一组常在数学表达式中出现的符号。数学工作者熟悉这些符号，不是每次使用都加以说明。所以，对于数学初学者，下面的列表给出了很多常见的符号包括名称、读法和应用领域。另外，第三栏有一个非正式的定义，第四栏有个简单的例子。
注意，有时候不同符号有相同含义，而有些符号在不同的上下文中有不同的含义。
注意：本条目含有特殊字符。
符号
名称
定义
举例
读法
数学领域
=
等号
x = y 表示 x 和 y 是相同的东西或其值相等。
1 + 1 = 2
等于
所有领域
≠
不等号
x ≠ y 表示 x 和 y 不是相同的的东西或数值。
1 ≠ 2
不等于
所有领域
<

>
严格不等号
x < y 表示 x 小于y。

x > y 表示 x 大于y。
3 < 4
5 > 4
小于，大于
序理论
≤

≥
不等号
x ≤ y 表示 x 小于等于y。

x  ≥ y 表示 x 大于等于y。
3 ≤ 4；5 ≤ 5
5 ≥ 4；5 ≥ 5
小于等于，大于等于
序理论
+
加号
4 + 6 表示 4 加 6。
2 + 7 = 9
加
算术
−
减号
9 − 4 表示 9 减 4。
8 − 3 = 5
减
算术
负号
−3 表示 3 的负数。
−(−5) = 5
负
算术
补集
A − B 表示包含所有属于 A 但不属于 B 的元素的集合。
{1,2,4} − {1,3,4}  =  {2}
减
集合论
×
乘号
3 × 4 表示 3 乘以 4。
7 × 8 = 56
乘以
算术
直积
X × Y 表示所有第一个元素属于 X，第二个元素属于 Y 的有序对的集合。
{1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
… 和…的直积
集合论
叉乘
u × v 表示向量 u 和 v 的叉乘。
(1,2,5) × (3,4,−1) = (−22, 16, − 2)
叉乘
向量代数
÷

/
除号
6 ÷ 3 或 6 / 3 表示 6 除以 3。
2 ÷ 4 = 0.5

12/4 = 3
除以
算术
√
根号
√x 表示其平方为 x 的正数。
√4 = 2
…的平方根
实数
复根号
若用极坐标表示复数 z = r exp(iφ)（满足 -π < φ ≤ π），则 √z = √r exp(iφ/2)。
√(-1) = i
…的平方根
复数
| |
绝对值
|x| 表示实数轴（或复平面）上 x 和 0 的距离。
|3| = 3, |-5| = |5|
|i| = 1, |3+4i| = 5
…的绝对值
数
!
阶乘
n! 表示连乘积 1×2×…×n。
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
…的阶乘
组合论
~
概率分布
X ~ D 表示随机变量 X 概率分布为 D。
X ~ N(0,1)：标准正态分布
满足分布
统计学
⇒

→

⊃
实质蕴涵
A ⇒ B 表示 A 真则 B 也真；A 假则 B 不定。

→ 可能和 ⇒ 一样, 或者有下面将提到的函数的意思。

⊃ 可能和 ⇒ 一样，或者有下面将提到的父集的意思。
x = 2  ⇒  x2 = 4 为真，但 x2 = 4   ⇒  x = 2 一般情况下为假（因为 x 可以是 −2）。
推出，若…则 …
命题逻辑
⇔

↔
实质等价
A ⇔ B 表示 A 真则 B 真，A 假则 B 假。
x + 5 = y +2  ⇔  x + 3 = y
当且仅当
命题逻辑
¬

˜
逻辑非
命题 ¬A 为真当且仅当 A 为假。

将一条斜线穿过一个符号相当于将 "¬" 放在该符号前面。
¬(¬A) ⇔ A
x ≠ y  ⇔  ¬(x =  y)
非，不
命题逻辑
∧
逻辑与或交运算
若 A 为真且 B 为真，则命题 A ∧ B 为真；否则为假。
n < 4  ∧  n >2  ⇔  n = 3，当 n 是自然数
与
命题逻辑，格理论
∨
逻辑或或并运算
若 A 或 B（或都）为真，则命题 A ∨ B 为真；若两者都假则命题为假。
n ≥ 4  ∨  n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3，当 n 是自然数
或
命题逻辑，格理论

⊕

⊻
异或
若 A 和 B 刚好有一个为真，则命题 A ⊕ B 为真。

A ⊻ B 的意义相同。
(¬A) ⊕ A 恒为真，A ⊕ A 恒为假。

（一）大学生的消费购买能力分析异或

而手工艺制品是一种价格适中，不仅能锻炼同学们的动手能力，同时在制作过程中也能体会一下我国传统工艺的文化。无论是送给朋友还是亲人都能让人体会到一份浓厚的情谊。它的价值是不用金钱去估价而是用你一颗真诚而又温暖的心去体会的。更能让学生家长所接受。命题逻辑，布尔代数

ｂｅａｄｏｒｋｓ公司成功地创造了这样一种气氛：商店和顾客不再是单纯的买卖关系，营业员只是起着参谋的作用，顾客成为商品或者说是作品的作参与者，营业员和顾客互相交流切磋，成为一个共同的创作体∀

市场环境所提供的创业机会是客观的，但还必须具备自身的创业优势，才能使我们的创业项目成为可行。作为大学生的我们所具有的优势在于：全称量词
∀ x: P(x) 表示 P(x) 对于所有 x 为真。

（二）对“碧芝”自制饰品店的分析∀ n ∈ N: n2 ≥ n

据了解，百分之八十的饰品店都推出“DIY饰品”来吸引顾客，一方面顺应了年轻一代喜欢与众不同、标新立异的心理；另一方面，自制饰品价格相对较低，可以随时更新换代，也满足了年轻人“喜新厌旧”的需要，因而很受欢迎。对所有；对任意；对任一

图1-4大学生购买手工艺制品目的谓词逻辑
∃
存在量词
∃ x: P(x) 表示存在至少一个 x 使得 P(x) 为真。
∃ n ∈ N: n 为偶数
存在
谓词逻辑
∃!
唯一量词
∃! x: P(x) 表示有且仅有一个 x 使得 P(x) 为真。
∃! n ∈ N: n + 5 = 2n
存在唯一
谓词逻辑
:=

≡

:⇔
定义
x := y 或 x ≡ y 表示 x 定义为 y的一个名字（注意：≡ 也可表示其它意思, 例如全等）。

P :⇔ Q 表示 P 定义为 Q 的逻辑等价。
cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x))

A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)
定义为
所有领域
{ , }
集合括号
{a,b,c} 表示 a, b,c 组成的集合。
N = {0,1,2,…}
…的集合
集合论
{ : }

{ | }
集合构造记号
{x : P(x)} 表示所有满足 P(x) 的 x 的集合。

{x | P(x)} 和 {x : P(x)} 的意义相同。
{n ∈ N : n2 < 20} = {0,1,2,3,4}
满足…的集合
集合论
∅

{}
空集
∅ 表示没有元素的集合。

{} 的意义相同。
{n ∈ N : 1 < n2 < 4} = ∅
空集
集合论
∈

∉
集合属于
a ∈ S 表示 a 属于集合 S；a ∉ S 表示 a 不属于 S。
(1/2)−1 ∈ N

2−1 ∉ N
属于；不属于
所有领域
⊆

⊂
子集
A ⊆ B 表示 A 的所有元素属于 B。

A ⊂ B 表示 A ⊆ B 但 A ≠ B。
A ∩ B ⊆ A；Q ⊂ R
…的子集
集合论
⊇

⊃
父集
A ⊇ B 表示 B 的所有元素属于 A。

A ⊃ B 表示 A ⊇ B 但 A ≠ B。
A ∪ B ⊇ B；R ⊃ Q
…的父集
集合论
∪
并集
A ∪ B 表示包含所有 A 和 B 的元素但不包含任何其他元素的集合。
A ⊆ B  ⇔&nbsp；A ∪ B = B
…和…的并集
集合论
∩
交集
A ∩ B 表示包含所有同时属于 A 和 B 的元素的集合。
{x ∈ R : x2 = 1} ∩ N = {1}
…和…的交集
集合论
\
补集
A \ B 表示所有属于 A 但不属于 B 的元素的集合。
{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}
减；除去
集合论
( )
函数应用
f(x) 表示 f 在 x 的值。
f(x) := x2，则 f(3) = 32 = 9。
f(x)
集合论
优先组合
先执行括号内的运算。
(8/4)/2 = 2/2 = 1；8/(4/2) = 8/2 = 4

所有领域
ƒ :X
→Y
函数箭头
ƒ: X → Y 表示 ƒ 从集合 X 映射到集合 Y。
设ƒ: Z → N 定义为 ƒ(x) = x2。
从…到…
集合论
⃘
复合函数
f⃘g 是一个函数，使得 (f⃘g)(x) = f(g(x))。
若 f(x) = 2x，且 g(x) = x + 3，则 (fog)(x) = 2(x + 3)。
复合
集合论

N

ℕ
自然数
N 表示 {0,1,2,3,…}，另一定义参见自然数条目。
{|a| : a ∈ Z} = N
N
数

Z

ℤ
整数
Z 表示 {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}。
{a : |a| ∈ N} = Z
Z
数

Q

ℚ
有理数
Q 表示 {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}。
3.14 ∈ Q

π ∉ Q
Q
数

R

ℝ
实数
R 表示 {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, 极限存在}。
π ∈ R

√(−1) ∉ R
R
数

C

ℂ
复数
C 表示 {a + bi : a,b ∈ R}。
i = √(−1) ∈ C
C
数
∞
无穷
∞ 是扩展的实数轴上大于任何实数的数；通常出现在极限中。
limx→0 1/|x| = ∞
无穷
数
π
圆周率
π 表示圆周长和直径之比。
A = πr² 是半径为 r 的圆的面积
pi
几何
|| ||
范数
||x|| 是赋范线性空间元素 x 的范数。
||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||
…的范数；…的长度
线性代数
∑
求和
∑k=1n ak 表示 a1 + a2 + … + an.
∑k=14 k2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
从…到…的和
算术
∏
求积
∏k=1n ak 表示 a1a2···an.
∏k=14 (k + 2) = (1  + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360
从…到…的积
算术
直积
∏i=0nYi 表示所有 (n+1)-元组 (y0,…,yn)。
∏n=13R = Rn
…的直积
集合论
'
导数
f '(x)函数f在x点的倒数, 也就是, 那里的切线斜率。
若 f(x) = x2, 则 f '(x) = 2x
… 撇; …的导数
微积分
∫
不定积分 或 反导数
∫ f(x) dx 表示导数为f的函数.
∫x2 dx = x3/3
…的不定积分; …的反导数
微积分
定积分
∫ab f(x) dx 表示 x-轴和 f 在 x = a和x = b之间的函数图像所夹成的带符号面积。
∫0b x2  dx = b3/3;
从…到…以…为变量的积分
微积分
∇
梯度
∇f (x1, …, xn) 偏导数组成的向量 (df / dx1, …, df / dxn).
若 f (x,y,z) = 3xy + z² 则 ∇f = (3y, 3x, 2z)
…的(del或nabla或梯度)
微积分
∂
偏导数
设有f (x1, …, xn), ∂f/∂xi是f的对于xi的当其他变量保持不变时的导数.
若 f(x,y) = x2y, 则 ∂f/∂x = 2xy
…的偏导数
微积分
边界
∂M 表示M的边界
∂{x : ||x|| ≤ 2} =
{x : || x || = 2}
…的边界
拓扑
⊥
垂直
x ⊥ y 表示 x 垂直于y; 更一般的 x正交于y.
若 l⊥m和m⊥n 则 l || n.
垂直于
几何
底元素
x = ⊥ 表示 x是最小的元素.
∀x : x ∧ ⊥ = ⊥
底元素
格理论
⊧
蕴含
A ⊧ B 表示A蕴含B, 在A成立的每个 模型中， B也成立.
A ⊧ A ∨ ¬A
蕴含；
模型论
⊢
推导
x ⊢ y 表示 y 由 x导出.
A → B ⊢ ¬B → ¬A
从…导出
命题逻辑, 谓词逻辑
◅
正则子群
N ◅ G 表示 N是G的正则子群.
Z(G) ◅ G
是…的正则子群
群论
/
商群
G/H 表示G 模其子群H的商群.
{0, a, 2a, b, b+a, b+2a} / {0, b} = {{0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}}
模
群论
≈
同构
G ≈ H 表示 G 同构于 H
Q / {1, −1} ≈ V,
其中 Q 是四元数群 V 是 克莱因四群.

此表洋洋六十餘個符號，涉及領域繁多，令人眼花繚亂，有不少符號不進理工大學甚至不進數學專業者可以説是聞所未聞，頗有權威性!

作爲一般常人所需知道的應該只是初等數學的符號，充其量也就是理工大學學生應知應會的高等基礎數學的符號。

然而原表中雖然有六十餘個符號，卻對初等數學的符號尚未羅列完整，隨便點出幾處：
原表
有階乘符號而無排列組合符號；
有函數符號而無反函數符號；
有代數符號而基本無幾何、三角、反三角符號（僅有一個垂直符號）；
有平方根符號而無立方根、n次方根符號；
有導數符號而無極限符號；
有等於符號而無恆等於、同餘符號；
有向量叉乘符號而無有向綫段、向量、向量數量乘積(點乘積)符號；
有複數絕對值（應為模）符號而無複數、共軛複數、複數實虛部符號；
無對數符號、指數符號

對於高等數學，表中所列符號僅佔全部符號的1/3。

另外表中所列符號還有錯誤和贅疣：
符號 | |  ：對實數是絕對值，對複數是模（尤其對虛數）；
符號 Φ  ：表示空集，空集不是用 { }  表示；
符號 ≌ ：幾何中表示全等，近世代數（群論）中表示同構，同構不是用≈號；
符號 － ：集合論中的補集，這在過去是對的，但現在集合論中的補集已不是這個符號，
復合函數符號沒有省去或簡化任何一個字符，反而多出一個贅疣，有悖定義符號的原則，不知是哪位教授獨創？

符號規定應有部頒標準，當然也符合絕大多數數學工作者的習慣，少數獨創的應不在此列。

本人數學專業本科。

手上一份一九六六年國家標準數學符號（試行草案），另有一部日著中譯本一九八四年第一版數學百科辭典（有蘇步青題詞）。一九六六年國家標準，時間是較早，但也可用夠用。除非數學專業。就此錄於下面：
一．算術與代數
符　號

意　義

備　註

＋

加，正號

－

減，負號

×或·

乘

字母和括號前乘號可略

÷或－或／

除

＝

等於

≠

不等於

≡

恆等於

＜

小於

＞

大於

≤

小於或等於

≥

大於或等於

<<

遠小於

>>

遠大於

≈

約等於

∝

成正比

:

比

ac

a的c次方

C為上標，不限正整數

√

平方根

n√

n次方根

n標在√上方缺口中

±

正或負

±

負或正

將“±”倒寫

| |

絕對值

複數為模

!

階乘

(mn)

m個元素中取出n個元素的

不同取法的總數

m在括號中間上部

n在括號中間下部

∑

總和

∏

總積

．

小數點

. .

循環小數循環節號

標在小數點後數字上方

i

虛數單位

i2＝－1(2為上標)

Re

複數實部

Im

複數虛部

arg

複數幅角

－

共軛複數

標在複數上方

％

百分比

∞

無窮大

(
)

圓括號

[ ]

方括號

{ }

花括號

~

數字範圍

二．幾何
符　號

意　義

備　註

AB

自A至B的綫段

也表示綫段長度

∠

平面角

°

度

′

分

″

秒

⌒

弧

π

圓周率

△

三角形

平行四邊形

一个上方向右倾斜的小平行四边形

⊙

圓

⊥

垂直

∥

平行

∽

相似

≌

全等

∵

因爲

∴

所以

三．函數
符　號

意　義

備　註

sin

正弦

cos

餘弦

tg

正切

ctg

餘切

sec

正割

csc

餘割

sinmx

正弦的n次冪

m為上標,其他類同

arcsin

反正弦

arccos

反餘弦

arctg

反正切

arcctg

反餘切

arcsec

反正割

arccsc

反餘割

sh

雙曲正弦

ch

雙曲餘弦

th

雙曲正切

cth

雙曲餘切

loga

以a為底的對數

a為下標

ln

以e為底的對數

lg

以10為底的對數

e

自然對數的底

ex或exp(x)

以e為底的x 的指數函數

ex中x為上標

f(x)

x 的函數

Γ

Γ函數

四．微積分
符　號

意　義

備　註

lim

極限

→

收斂於,趨於

lim

下極限

lim下加一橫

lim

上極限

Lim上加一橫

sup

上確界

inf

下確界

max

最大

min

最小

△x

x的有限增量

df(x)/dx

f對x的微商

也可f′(x)

dnf(x)/dx

f對x的n階微商

也可f(n)(x)

((n)為上標)

∂f/∂x

f對x的偏微商

也可f′x(x為下標)

∂m+nf/∂xn∂ym

m、+、n為上標

先對y作m次偏微商

再對x作n次偏微商　

也可f(m+n) xnym

((m+n)為上標

xnym為下標)

df

f的全微分

∂(u,v,w)/∂(x,y,z)

u,v,w對x,y,z

的函數行列式

略

∫f(x)dx

f(x)對x的不定積

∫baf(x)dx

f(x)由x=a至x=b的定積分

b標於“∫”的右上方

a標於“∫”的右下方

F(x)|ba

F(b)- F(a)

b標於“|”的右上方

a標於“|”的右下方

∫∫f(x,y)dxdy

f(x,y)在集合S上的二重積分

∫∫下方標註集合S

δx

x的變差

五．向量與矩陣
符　號

意　義

備　註

a和→a

向量

印刷用黑體a

手寫a上方加右箭頭

|a|

向量的模或長度

注意黑體a

a·b

標量積

注意黑體a、b

a×b

向量積

注意黑體a、b

Gred φ

φ的梯度

∇φ

Div a

a的散度

∇·a(黑體a)

Rot a

a的旋度

∇×a(黑體a)

□u

達朗貝爾算子

△φ

拉普拉斯算子

也可△2φ(2為上標)

|A|

方陣A的行列式

A-1

非異方陣的逆方陣

-1為上標

幾處雙行合一版式的符號沒處理好，請版主代爲處理。

精品文档