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第一章 集合与充要条件
一、集合的概念
（一）概念
1. 集合的概念：将某些 的对象看成一个 就构成一个集合，简称为 。
一般用 表示集合。
组成集合的对象叫做这个集合的 。
一般用 表示集合中的元素。
2. 集合与元素之间关系：
如果a是集合A的元素，就说a A，记作 ；
如果a不是集合A的元素，就说a A，记作 。
3. 集合的分类：
含有 的集合叫做有限集；
含有 的集合叫做无限集；
的集合叫做空集，记作 。
（二） 常用的数集：数集就是由 组成的集合。
1. 自然数集：所有 组成的集合叫做自然数集，记作 ；
2. 正整数集：所有 组成的集合叫做正整数集，记作 ；
3. 整数集：所有 组成的集合叫做整数集，记作 ；
4. 有理数集：所有 组成的集合叫做有理数集，记作 ；
5. 实数集：所有 组成的集合叫做实数集，记作 。
（三） 应知应会：
1. 自然数：由 和 构成的实数。
2. 整数：由 和 构成的实数。
偶数： 被2整除的数叫做偶数；
奇数： 被2整除的数叫做奇数。
3. 分数：把 平均分成若干份，表示这样的 或
的数叫做分数。分数中间的 叫做分数线。分数线 的数叫做分母，表示把一个物体 ；分数线 的数叫做分子，表示
。
4. 有理数： 和 统称有理数。
5. 无理数： 的小数叫做无理数。
6. 实数： 和 统称实数。
二、集合的表示法
表 示 法
列 举 法
描 述 法
定 义
将集合中的元素
表示集合的方法。
利用元素的 来表示集合的方法。
具体方法
1. 将集合中的元素 ；
2. 用 分隔；
3. 用 括为一个整体。
1. 在 中画一条 ；
2. 左侧写上集合的 ，
并标出元素的 ；（如果上下文中能够明显看出集合中的元素为实数，可以不标出元素的取值范围。）
3. 右侧写出元素所具有的
。
【注】在使用描述法表示某些集合时，可以用 来叙述集合的 ，再用 括起来。
优 点
明确、直接看到集合中的元素。
清晰地反映出元素的特征性质。
不 足
能表示的集合有限。
抽象，不能直接看出元素。
适用类型
一般用来表示有限集。
一般用来表示无限集。
【几个常用集合的表示方法】
（一） 数集：
集 合
列举法
描述法
偶数集合
正偶数集合
负偶数集合
奇数集合
正奇数集合
负奇数集合
（二） 点集：在平面直角坐标系中，
由x轴上所有点组成的集合
由y轴上所有点组成的集合
由第一象限所有点组成的集合
由第二象限所有点组成的集合
由第三象限所有点组成的集合
由第四象限所有点组成的集合
三、集合之间的关系
集合间的关系
子 集
真子集
相 等
定 义
一般地，如果集合B的元素 集合A的元素，那么把集合B叫做集合A的子集。
如果集合B是集合A的 ，并且A中
有 元素 属于B，那么把B叫做A的真子集。
一般地，如果两个集合的元素 ，那么就说这两个集合相等。
符号表示
B A（或A B）
B A（或A B）
B A（或A B）
读 作
B A
（或A B）
B A
（或A B）
————————
图 示
明 确
1. 任何一个集合都是它自身的 。
2. 空集是任何集合的 ；是任何 集合的 。
3. 一个集合中有n个元素，则它的子集的数目为 ；
真子集的数目为 。
四、集合的运算
（一） 交集
1. 定义：一般地，对于两个给定的集合A、B，由 的
所有元素组成的集合叫做A与B的交集。
2. 记作：A B；读作：A B。
3. 集合表示：。
4. 图示：用阴影表示出集合A与B的交集。
A
A
A
B
B
B
5. 性质：由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B，有
（1） ； （2） ；
（3）。
（二）并集
1. 定义：一般地，对于两个给定的集合A、B，由 的
所有元素组成的集合叫做A与B的并集。
2. 记作：A B；读作：A B。
3. 集合表示：。
4. 图示：用阴影表示出集合A与B的并集。
A
A
A
B
B
B
5. 性质：由并集的定义可知，对任意的两个集合A、B，有
（1）； （2）；
（3）。
（二） 补集
1. 全集：
（1）定义：在研究某些集合时，这些集合常常是一个给定集合的 ，
这个给定的集合叫做全集。
（2）表示：一般用 来表示全集。
（3） 在研究数集时，经常把 作为全集。
2. 补集的定义：如果集合A是全集U的 ，那么，由U中
A的所有元素组成的集合叫做A 的补集。
3.记作： ；读作： 。
4. 集合表示：
U
A
5. 图示：用阴影表示出集合A在全集U中的补集。
6. 性质：由补集的定义可知，对任意的集合A，都有
（1） ； （2） ；
（3） ；
（4） ； （5） 。
五、充要条件
（一）相关概念：
1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题。
2. 命题的表示方法：使用小写英语字母p、q、r、s等表示命题。
3. 真命题：成立（正确）的命题是真命题。
4. 假命题：不成立（错误）的命题是假命题。
5. “如果......，那么......”命题：一般形式为“如果p，那么q”。
6. 题设（条件）：“如果”后接的p。
7. 结论：“那么”后接的q。
（二）充要条件：
1. 充分条件：
“如果p，那么q”是 命题，而“如果q，那么p”是 命题，则称p是q的充分条件。
记作：p q；读作：由条件p 结论q。
2. 必要条件：
“如果p，那么q”是 命题，而“如果q，那么p”是 命题，则称p是q的必要条件。
记作：p q；读作：由结论q 条件p。
3. 充要条件：
如果 ，并且 ，那么称p是q的 且 条件，简称充要条件。
记作：p q；读作：p与q 。
4. 既不充分又不必要条件：
如果 ，并且 ，那么称p是q的既不充分又不必要条件。
第二章 不等式
一、比较实数大小的方法
（一）实数的大小与正负
1. 正数 零，负数 零，正数 负数。
2. 两个正数，绝对值大的数 ；两个负数，绝对值大的数 。
3. 正数的和为 数，负数的和为 数。
4. 同号相乘（除）得 数；毅号相乘（除）得 数。
5. 互为相反数的两个数之和为 ；互为倒数的两个数之积为 。
（二）数轴
1. 定义：数轴是一条规定了 、 、 的直线。
2. 意义：数轴上的点与实数是 的关系。
3. 在数轴上，原点所代表的实数是 ，原点右边的点所代表的实数是 数，原点左边的点所代表的实数是 数。
4. 在数轴上，右边的点代表的数总比左边的点代表的数 ，
即，越往右的点代表的数越 ，越往左的点代表的数越 。
5. 在数轴上，表示下列数的范围：
（1）x ≥ 3；
（2）x < 2；
（3） ≤ x < 3。
（三）比较两个实数大小的方法： 比较法。
一般地，对于两个任意的实数a和b，有
二、不等式的基本性质
1. 对称性： 。
2. 传递性：。
3. 加法性质：；
。
4. 乘法性质：；
；
；
；
。
三、区间
（一）区间表示的对象： 。
由 上两点间的一切 所组成的集合叫做区间。
这两个点叫做区间 。
（二）区间的分类及定义：
1. 有限区间
（1）开区间： 端点的区间。
（2）闭区间： 端点的区间。
（3）右半开区间： 端点的区间。
（4）左半开区间： 端点的区间。
2. 无限区间：至少有一个端点 的区间。
（1）不存在右端点时，可以用符号 表示，读作 ；
（2）不存在左端点时，可以用符号 表示，读作 。
（三）区间、集合与图像的关系
设a、b为任意实数，且 a < b ，则各种区间表示的集合如下表：
区 间
集 合
图 像
[ a, b ]
( a, b ]
[ a, b )
四、一元一次不等式
1. 定义：含有 个未知数且未知数的最高次数是 的不等式。
2. 一般形式：(≥0)或(≤0)，其中。
3. 一元一次不等式在各种情况下的解集：
方程或
不等式
解集
的图像
≥
描述法:
描述法:
区间表示:
区间表示:
≤
描述法:
描述法:
区间表示:
区间表示:
五、一元二次不等式
1. 定义：含有 个未知数且未知数的最高次数是 的不等式。
2. 一般形式： 或 ，其中 。
3. 一元二次不等式在各种情况下的解集：
方程或不等式
解集
的图像
≥
≤
4.解一元二次不等式的基本步骤：
（1）将不等式化为一元二次不等式的 形式，并 ；
（2）设，并解方程；
（3）根据上表，写出一元二次不等式的解集。
六、含绝对值的不等式
（一）绝对值的概念
1. 绝对值的含义：在 上，任意一个数所对应的点到 的 叫做该数的绝对值。
2. 正数的绝对值是 ，负数的绝对值是它的 数，0的绝对值是 。
3. 任意实数的绝对值是 数，任意两个相反数的绝对值 。
4. 绝对值的符号表示：
5. 将方程的解表示在数轴上：
将不等式的解表示在数轴上：
将不等式的解表示在数轴上：
（二）含绝对值的不等式
1. 解题步骤：
（1）将不等式化为含有绝对值的不等式的一般形式，即
①或；②或；③或。
一般形式为：不等号左侧是 ，右侧是 。
（2）去掉绝对值符号，解出不等式：
含绝对值
的不等式
<
>
解 集
描述法：
描述法：
区间表示：
区间表示：
数轴表示
含绝对值
的不等式
<
>
去符号
含绝对值
的不等式
<
>
去符号
第三章 函 数
一、函数的概念
（一）函数的概念
1. 概念：在某一个变化过程中有 个变量 和 ，设变量 的取值范围为 ，如果对于 内的每一个 值，按照某个 ， 都有
的值与它对应，那么把 叫做 ，把 叫做 的 。
记作： 。
2. 明确：
（1） x叫做 ，它的取值范围是 叫做函数的 ；
（2） y = f ( x ) 叫做 ；
时，函数对应的值叫做函数在点处的 ；
记作： 。
的集合 叫做函数的 。
（3） 函数定义中的两个要素是 和 。
3. 函数定义域的求法：
如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得这个代数式
的 的取值范围。
（1） 当为整式时，函数的定义域是 ；
（2） 当为分式时，函数的定义域是 ；
（3） 当为偶次根式时，函数的定义域是 ；
（4） 分段函数的定义域是各段自变量取值集合的 ；
（5） 当函数是实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使解析式有意义，还要考虑自变量的 。
4. 函数值及值域的求法：
（1） 求函数值：只要将x的各个值 函数解析式中进行 即可；
（2） 求函数的值域：所有函数值组成的集合。
（二） 函数的表示法
1. 解析法：利用 表示函数的方法叫做解析法。
这个 叫做函数的 。
【明确】求函数解析式的常用方法：待定系数法：已知函数的类型，可根据函数类型设其解析式，再由其他已知条件确定其系数。
正比例函数的一般形式： ；
反比例函数的一般形式： ；
一次函数的一般形式： ；
二次函数的一般形式： 。
2. 列表法：利用 表示函数的方法叫做列表法。
3. 图像法：利用 表示函数的方法叫做图像法。
（1） 函数的图像：在 中，以函数的自变量x为 坐标，函数值y为 坐标的点 的集合。
【明确】①图像上每一点的坐标都 函数解析式；
②以的每一组对应值x，y为坐标的点都 。
（2）作函数图像常用的方法： 。
其步骤是：① ；② ；③ 。
二、函数的性质
A．函数的单调性
（一）函数的单调性的概念：
随着 的 而 （或 ）的性质叫做函数的单调性。
设函数在 内有意义。
如果对任意的，，当 时，
（1） 都有 成立，那么函数叫做 内的增函数，
叫做函数的 ；
（2）都有 成立，那么函数叫做 内的减函数，
叫做函数的 ；
如果函数在区间内是增函数或减函数，那么称函数在区间内具有 ，区间叫做函数的 。
（二） 函数的单调性的理解：
1. 函数的单调性是与 紧密相关的，即函数的 。一个函数在定义域内的不同区间内可以有 的单调性。
2. 注意关键词：
（1）对“任意”的“，”，即 取特殊值，且必须 ；
（2）“都有”即只要 就一定有 或 。
3. 不是所有函数都有单调性： 函数是没有单调性的；
有些函数在整个定义域内是单调性 的；
有些函数在整个定义域的不同区间上的单调性 ；
有些函数在整个定义域的不同区间上的单调性 。
（三） 函数的单调性的图像特点：
对于给定区间上的函数，
1. 函数图像从 到 ， 则称函数在该区间上单调递增是增函数；
2. 函数图像从 到 ， 则称函数在该区间上单调递减是减函数。
（四） 判断函数的单调性：
1. 图像法：作出函数的 ，根据图像的 判断函数的单调性。
2. 定义法：根据函数的单调性的定义判断函数的单调性。其步骤为：
（1） 设定自变量：设 ；
（2） 作差变形：作 ，并通过 、 等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
（3） 确定大小：确定 与 的大小；
（4） 得出结论：根据 得出结论。
（五） 函数的单调性的应用：
1. 根据 比较 的大小；
2. 根据 比较 的大小；
3. 在给定区间内求函数的 值或 值。
B．函数的奇偶性
（一） 函数的奇偶性的概念：
设函数的定义域为D，如果对于任意的，都有 ，则
（1） ，那么函数叫做偶函数；
（2） ，那么函数叫做奇函数。
（二） 函数的奇偶性的理解：
1. 函数按奇偶性可分为： 、 、 和
。
2. 讨论函数的奇偶性的一个前提条件：函数的 。
（1） 若函数的 ，再讨论 ；
（2） 若函数的 ，则这个函数 。
（3） 函数 是既奇又偶函数。
（三） 函数的奇偶性的图像特点：
1. 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像 ；
如果一个函数的图像 ，则这个函数是偶函数。
2. 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像 ；
如果一个函数的图像 ，则这个函数是奇函数。
3. 一般地，设点为平面内的任意一点，则
（1） 点关于x轴的对称点的坐标为 ；
（2） 点关于y轴的对称点的坐标为 ；
（3） 点关于原点O的对称点的坐标为 。
（四） 判断函数的奇偶性：
1. 图像法：作出函数的 ，根据图像的 判断函数的奇偶性。
2. 定义法：根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性。其步骤为：
（1）求出函数的 ；
（2）判断定义域的对称性：
① 若定义域 ，则函数为 ；
② 若定义域 ，则进行 ；
（3） 比较与：确定 ，则函数为 ；
或 ，则函数为 ；
或 ，则函数为 。
3. 在公共定义域内：
（1） 若函数解析式中只含有x的偶次方，则函数为 函数；
（2） 若函数解析式中只含有x的奇次方，且 ，则函数为 函数；
若函数解析式中只含有x的奇次方，且 ，则函数为 函数。
（五） 函数的奇偶性的应用：
1. 利用函数图像的对称性解决问题；
2. 求函数关于原点对称的区间上的函数值或解析式；
3. 函数的奇偶性与单调性的综合问题：主要体现在两个重要的性质；
（1） 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ；
（2） 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 。
三、函数的实际应用举例
（一）分段函数
1. 定义：函数在自变量的 取值范围内，需要用 的 来表示，这种函数叫做分段函数。
2. 分段函数的定义域：就是自变量的各个不同取值范围的 。
3. 分段函数的图像：在同一个坐标系中，分别在自变量的各个不同的取值范围内，根据相应的式子作出相应部分的图像。
（二）函数的实际应用
1. 关键问题：
（1）根据已知条件建立 ；
（2）进行最值计算。
（3） 函数的定义域要受到 的制约。
2. 主要类型：
（1）图形的面积：
矩形的面积： ；
圆的面积： 。
（2）营销问题：成本 = ；
收入 = ；
利润 = 。
第四章 指数函数与对数函数
一、实数指数幂
（一）n次方根：一般地，如果 （且），那么x叫做a的n次方根。
1. 当n为偶数时：
正数a的偶次方根有 个，分别用 和 表示，其中
叫做a的n次算术根；
负数的n次方根 。
2. 当n为奇数时：
实数a的奇次方根只有 个，记作 。
3. 无论n为奇数还是偶数，零的n次方根是 。
（二） n次根式：形如 （且）的式子叫做a的n次根式，
其中，n叫做 ，a叫做 。
（三）整数指数幂：当且时，
；；
；；。
（四）分数指数幂：利用分数指数幂来表示 。
1. 规定：；当有意义，且时，。
其中：，且.
；；；。
2. 当n为奇数时，a的取值范围是 ；
当n为偶数时，a的取值范围是 。
（五）实数指数幂的运算法则：，
；；；。
二、对数
（一）对数定义：如果（），那么b叫做 ，记作 ，其中a叫做 ，N叫做 。
（二）指数式与对数式：
形如 的式子叫做指数式；形如 的式子叫做对数式。
当且，时，在下式中标出相应字母与名称：
（三）常用对数与自然对数：
1. 常用对数：以 为底的对数叫做常用对数， 简记为 ；
2. 自然对数：以 为底的对数叫做自然对数， 简记为 。
（四）对数的性质：且
1. ，，；
2. ，，；
3. ，，；
4. ，即 和 没有对数.
（五）对数的运算法则：且，，
1. ，，
，；
2. ，，
，；
3. ，，
，，
。
三、幂函数、指数函数、对数函数
（一）幂函数
1. 概念：形如 （a ）的函数称为幂函数。
【明确】幂函数的自变量是 数， 数是常数。
2. 性质：
（1）定义域：看 。
① 当a是正整数时， ；② 当a是负整数时， ；
③ 当a是正分数，且分母为偶数，分子为奇数时， ；
当a是正分数，且分母为偶数，分子为偶数时， ；
当a是正分数，且分母为奇数时， ；
④ 当a是负分数时， 。
（2）值域：由 和 决定。
（3）单调性和奇偶性：看 ，具体问题，具体分析。
（二）指数函数
1. 概念：形如 （a ）的函数称为指数函数。
【明确】指数函数的自变量是 数， 数是常数。
2. 性质：
函 数
定义域
值 域
底 数
图 像
指数函数的图像一定经过点 。
单调性
在 上是 函数；
当时，y ；
当时， 。
在 上是 函数；
当时， ；
当时，y 。
奇偶性
指数函数是 函数。
（三）对数函数
1. 概念：形如 （a ）的函数称为对数函数。
【明确】对数函数的自变量是 数， 数是常数。
2. 性质：
函 数
定义域
值 域
底 数
图 像
对数函数的图像一定经过点 。
单调性
在 上是 函数；
当时，y ；
当时，y 。
在 上是 函数；
当时，y ；
当时，y 。
奇偶性
对数函数是 函数。
（四）指数函数与对数函数的应用
1. 指数模型： ，其中c为 ，
a为 。
一般情况下，已知起始数据，变化百分数和变化的时间求结果时，用指数模型。
2. 对数的应用：
一般情况下，已知起始数据，变化百分数和变化后的数据或数据变化的倍数，用对数求变化的时间。即。
第五章 三角函数
一、角的概念的推广
（一）任意角的概念
1. 角的概念：一条 绕着它的 旋转到另一位置形成的图形叫做角。
旋转开始的位置叫做角的 ，终止的位置叫做角的 ，端点叫做角的 。
正角：按 方向旋转所形成的角；
负角：按 方向旋转所形成的角；
零角： 旋转所形成的角。
2. 终边相同的角：
与角终边相同的角（包括角在内）都可以写成 。
与角终边相同的角有 个。
与角终边相同的角所组成的集合为 。
3. 象限角和界限角：将角的 与 重合， 与
重合。
（1）象限角：角的 在 的角就叫做第几象限的角；
第一象限的角的集合是： ；
第二象限的角的集合是： ；
第三象限的角的集合是： ；
第四象限的角的集合是： ；
锐角： ，钝角 ；
【明确】锐角 是第一象限的角，而第一象限的角 是锐角；
钝角 是第二象限的角，而第二象限的角 是钝角。
（2） 界限角：角的 在 的角就叫做界限角；
直角： 的角，平角： 的角，周角： 的角。
①终边在x轴正半轴上的角的集合是： ；
终边在x轴负半轴上的角的集合是： ；
终边在x轴上的角的集合是： ；
②终边在y轴正半轴上的角的集合是： ；
终边在y轴负半轴上的角的集合是： ；
终边在y轴上的角的集合是： 。
（二）弧度制
1. 弧度制：
（1）弧度：把等于 长的 所对的 叫做1弧度的角。
记作： 或 。
【规定】正角的弧度为 ，负角的弧度为 ，零角的弧度为 。
（2）弧度制：以 为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
（3）弧度的计算：
① 公式： ；
② 角度与弧度的转换： ， ；
。
2. 常用特殊角的弧度与角度之间的转换：
角度
弧度
角度
弧度
二、 三角函数
（一）三角函数的定义
1. 定义：一般地，设角是平面直角坐标系中的一个任意角，点 为角
上任意一点，点到 的距离为 且
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