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第七章 抗震设计规范中对功率谱规定的建议
如第一章所述，随机振动方法正在逐渐被抗震设计规范接受为一种结构抗震验算方法，地震作用借助功率谱描述，严格地称为功率谱密度函数(Power Spectra Density Function，简称PSDF)。从上世纪四十年代开始，对PSDF提出了各种建议（例如，Housner，1947；Kanai，1957；屈铁军，1995；薛素铎，2003），本节在此基础上，探讨直接依据强地震动观测数据建立基岩地表PSDF参数的衰减关系，提出一套可供实用的关系式。
§7.1 功率谱密度函数的形式
地震工程研究中，最先采用的PSDF是白噪声谱密度函数（Housner, 1947）。目前，地震动加速度的PSDF通常用金井清谱（金井清，1957）或改进金井清谱描述。金井清（Kanai）谱（Kanai, 1957）表达式为

（7.1）

式中，S0称为谱强度，表示基岩上白噪声的强度；wg和βg为谱参数，分别称为特征频率和特征阻尼比。Housner（1964）建议硬场地wg取15.6rad/s、βg取0.64。
金井清谱在结构随机地震动反应分析中被广泛的应用，缺点是过分夸大了地震动的低频含量，导致w＝0处地震动速度和位移的功率谱会出现奇异点，使速度和位移的方差无界。为此，有许多对金井清谱的改进，称为改进Kanai谱（Clough和Penzien，1983；王君杰，1992；杜修力，1994）。例如，胡聿贤（1962）提出
洪峰（1994）证实这种功率谱与实际地震记录计算得到的功率谱符合得较好。本文采用的PSDF按式（7.2）规定的形状。
§7.2 强地震动记录的PSDF
屈铁军（1995）将强震记录分为三段，每一段均视为一近似平稳过程，采用金井清谱分别拟合式（7.1）中的三个谱参数βg，ωg和S0，借此考虑地震动的非平稳性，是一个可以借鉴的思路，但三段就要有9个参数，应用中会很不方便。
根据随机振动理论（D.E. Newland，1980），可以据下式计算一个平稳随机过程样本的功率谱密度函数
（7.3）
式中，R(t) 为自相关函数，由下式定义
（7.4）
式中，a(t)为各态历经随机过程的样本，τ为时间延迟。
强地震动具有明显的非平稳特征，在开始时幅值总是逐渐增大的，随后有一个大体平稳的强烈震动持续时段，然后逐渐减弱，直至振动停止。为了表达上述地震动幅值的非平稳变化，一个地震动时程可以用时程包络函数f(t) 和平稳随机过程X(t)的乘积来表示

（7.5）

当f(t)是随时间缓慢变化的函数时，a(t) 的功率谱密度函数可以表示为（欧进萍，1991；牛狄涛，1994）:
（7.6）
显然，将一个强地震动时程除以f（t），可得到一个相应的近似平稳随机过程X(t)，进而根据式（7.4）和（7.3）计算PSDFX。
本章选用第2.2节整理的强地震动观测数据中基岩地表水平记录82条（峰值加速度20.6-417.8gal），拟合得到一组PSDF的参数（含时程包络函数的参数），建立相应的衰减关系，为抗震设计规范中随机振动分析方法规定地震动输入的功率谱提供依据。

§7.3 用基岩地表强震动观测数据拟合PSDF参数的衰减关系

§7.3.1 时程包络函数f(t) 的参数
时间包络函数一般可以取如下的形式（M. Amin，1967）

（7.7）

式中，t1、t2和c为包络参数，t1、t2分别为强震动平稳段的起、止时刻，c 控制下降段的速率。需要注意的是，如果拟合包络线的过程中，采用多次“光滑”技术，可以使包络更接近时程的外包线（霍俊荣，1989），却有可能带来使用中对相当一部分时程的放大。
为了避免不必要的夸大、将所有峰值都涵盖在包络线以下，本文取以下三段式时间包络函数

（7.8）

式中，t1 和 t2 仍是强震动平稳段的起、止时刻，分别由从前向后和从后向前两个方向累积能量开始降低为准则确定，单位为秒；f0为包络函数起始的高度，它是专为早期模拟记录可能丢头设计的，据其可以推算相应完整记录的t1，C描述下降段的速率。f0和C 由保证时程的所有峰值都在包络线之下、同时保持包络线最低为准则确定。图7.1展示了一个强地震动时程及其包络函数关系的一例。每一条记录除以相应的包络函数，可以得出一个相对的平稳时程，进一步统计平稳时程的功率谱特征。

图7.1 强地震动时程和包络函数关系一例

上述统计也可以给式（7.6）中f(t)的参数取值提供依据。图7.2展示了从82个记录中拟合的时程包络函数的t1和C值随震级、距离的分布，图中横坐标是距离（对数），纵坐标是t1或C的值，符号“+”表示震级小于5.5的数值，“o”表示震级在5.5-6.5之间的数值，“◆”表示震级大于6.5的数值。从图中可以看出，t1随震级的变化关系不明显，可以确认的是震级小于6.5的范围内，t1均小于6.0，绝大多数小于4.0；随距离增大而增大似有两个跳跃，震中距小于20 km的范围内t1的值均小于2秒，平均值为1.2秒；震中距20-100 km的范围内，平均值为3.0秒；最大值可达10秒或10秒以上。C值与震级无关，它随距离的增加缓慢的增加, 平均值约为1.5。
图7.2 从82个基岩场地记录中提取到的t1和C值的分布

显然，t1并不是一个重要的参数，完全可以简单化处理，本文根据图中显示的规律和以上的归纳，确定了一个取值的方案，如表7.1。地震动平稳段的持时t2 - t1的值十分重要，本文的结果表明当震级小于5.5时，一般小于2.0秒，随震中距的增加略有增加，但不超过3.0秒；震级在5.5-6.5之间时，不超过4.0秒；当震级大于6.5秒时，t2 - t1值显著增加，平均值达到了3.1秒，最大值约为11.0秒。出于确保安全、简单的考虑，本文建议的t2取值列于表7.2。
表7.1 t1的建议取值

R<20
20≤R<80
R≥80且M≤6.5
R≥80且M>6.5
t1（秒）
2.0
4.0
6.0
8.0

表7.2 t2的建议取值
震级
震中距
M≤5.5
5.5≤M<6.5
M>6.5
R<20
5.0
6.0
8.0
20≤R<100
7.0
8.0
10.0
R>100
19.0

从上述对式（7.6）的解释中可以看出，这种偏于保守的处理可能会带来非平稳时程某些部分放大不够，却可以保证没有过分的放大，确保原来的强地震动平稳段起主要作用。

§7.3.2 标准化的功率谱密度函数SX(ω) 的参数
将强震记录除以它本身的包络线后，可得到一近似平稳随机过程，计算得出功率谱密度函数，图7.3示出一例，按（7.2）式拟合其中4个参数，ωc 是数值很小的预设参数，图5中 (a)、(b)、(c)、(d)分别顺序给出了从82个记录中拟合的S0,ωg,βg和ωc值的分布，水平轴是震中距(km)，S0 的单位是cm2/sec3,ωg和ωc的单位是rad/sec，βg无量刚。从中可以看出，S0随震级的增加而增加，随震中距的增加而减小；ωg随震中距、震级的增加均有所减少；βg值多在0.4和1.0之间，少数大于1.0，最大5.7，平均值等于1.0；ωc与ωg有相同的变化规律，所有数值都小于6.0，平均值在1.0左右。

频率w（Hz ）
图7.3 记录的功率谱密度函数

图7.4 从82个基岩场地记录中拟合的S0,ωg,βg和ωc值

§7.3.3 衰减关系的形式和拟合方法
众所周知，地震动是一个极其复杂的过程，两次地震即使同一震级，引起的地震动的衰减都是不同的。本文中，地震动参数取如下衰减关系（王国新，2000）：
(7.9)
式中，Y为PSDF的参数，M为震级，R为震中距，R0为距离饱和的常数，C, α,β均是待拟合的系数。对不同的震级，上式可以恰当地描述给定震中距时Y之间的差别、Y的衰减率的差别。
用两步法拟合上式中的系数，首先，将Y由下式表达：

式中，Yij是第i次地震中第j个记录的地震动参数，Rij 是第i次地震中第j个记录的震中距，ai是第i次的系数，C是回归系数，对第i次地震Ei=1，否则，Ei=0，R0可由最小二乘法得到。
在得到ai以后，a与震级的关系可由下式通过最小二乘法得到：
将式（7.11）代入（7.10），就可得到PSDF参数的衰减关系。

§7.3.4 S0 和ωg的衰减关系

通过上述拟合步骤，本文得出如下S0 和ωg 的衰减关系

式中，S0 的单位为cm2/sec3, ωg 和ωc 的单位是 Hz/2π, R 的单位是千米。βg和ωc的衰减关系没有进一步拟合，主要是由于PSDF对这两个参数不敏感，且变异的范围也不大。βg可以直接取平均值1.0，ωc 可以取ωg的0.04倍。

§7.3.5 PSDF参数衰减关系的验证
为了验证上述衰减关系的可用性，对选定的8个震级和震中距数据对，分别依上述衰减关系得到的参数构造PSDF函数，按式（7.14）换算反应谱的最大值Sr’和卓越周期ωg，同时，根据王国新（2000）用同样数据集得到的衰减关系直接估计EPA、EPV，得到反应谱最大值Sr和特征周期ω，结果的比较见表7.3。

表7.3 两种方法得到的反应谱参数值的比较
震级
5.0
6.0
7.0
8.0
震中距 (km)
10
20
10
50
10
100
10
100
Sr’ (cm/sec2)
249
116
425
80
727
89
1267
267
Sr (cm/sec2)
297
144
597
126
1200
184
2411
595
ωg (rad/s)
38.9
37.8
22.1
19.7
12.5
9.7
7.1
5.4
ω (rad/s)
32.8
35.0
21.1
20.3
13.5
9.4
8.6
4.5

表中，反应谱最大值Sr’是根据下式（Kaul，1978；其中ζ取0.05，p 取 0.85），从式（7.2）得到的，按下式换算得来的
（7.14）
式中，T为持续时间，按前述t2 -t1估计，为PSDF，其中参数S0和ωg的值是据衰减关系(7.12)、(7.13)直接算得的，βg和ωc的值按上节的简化方法确定。
反应谱的最大值Sr按2.5EPA取值，ω=EPA/EPV。考虑到ω相当于反应谱开始下降的拐角频率,ωg比ω略大是合理的。
从上表中，可以看出，两种方法得到的特征频率ωg和ω很接近，对5、6级地震时，两种方法得到的反应谱最大值大体相当，对7、8级大震，换算得到的反应谱值要小些。两种结果的比较涉及非平稳激励下单自由度体系随机振动反应最大值估计的问题，很复杂，本文不讨论。

§7.4 小结
本章应抗震设计规范中抗震验算的功率谱方法的需求，讨论了功率谱密度函数的形式、考虑幅值非平稳性的思路；用82条基岩场地实际强震记录拟合包络曲线，提取时程包络函数的参数；逐条记录计算相应平稳随机过程的PSDF，拟合标准化谱密度函数，提取PSDF的参数。在归纳时程包络函数参数、PSDF参数值随震级、距离变化的总体规律的基础上，对时程包络参数和PSDF参数βg、ωc建议了简化的取值方法，对S0 和ωg借助两步法统计拟合了一套衰减关系。为了验证本文得出的衰减关系和简化取值方法，对选定的8个震级和震中距数据对，比较了按本文建议构造的功率谱密度函数换算的反应谱参数与直接从衰减关系估计的反应谱参数，结果显示两种方法得到的特征频率很接近，反应谱最大值大体相当，对于7、8级大地震换算得到的反应谱值要小些。
本章的结果说明，虽然根据设计反应谱换算功率谱的方法有些理论上不严密之处，与直接从强地震动观测数据中提取PSDF参数、统计拟合衰减关系得到的结果大体上相当，目前在抗震设计规范中可以规定根据设计反应谱转换功率谱。