不定积分的换元法.pptx_咨信网zixin.com.cn

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1、2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系1第第3 3节节两种基本积分法两种基本积分法3.1 3.1 换元积分法换元积分法3.2 3.2 分部积分法分部积分法3.3 3.3 初等函数的积分法初等函数的积分法2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系2换元法则换元法则(II）换元法则换元法则(I)基本思路基本思路设设可导可导,则有则有3.1 3.1 换元积分法换元积分法2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系31.换元法则换元法则(I)-第一类换元法第一类换元法定理定理3.1 则有换元则有换元公式公式(也称也称配元法配元法即即,凑微分法凑微分法)说明说明

2、使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系4例例1 求求解解:令则故原式原式=注注当当时2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系5解解原式原式=2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系6例例2 求解解:令则想到公式想到公式2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系7解解2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系8例例3 3 求求想到想到解解:2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系10例例4 4 求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）观察重点不同，

3、所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系11例例5 求求解解类似类似2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系12常用的几种配元形式常用的几种配元形式:万万能能凑凑幂幂法法2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系132009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系14例例6.求解解:原式=2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系15例例6.求解解:原式=例例7.求解解:原式=2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系16例例8.8.求解法解法1解法解法2 两法结果一样两法结果一样20

4、09年12月11日南京航空航天大学理学院数学系17例例9 9 求求解法解法1 1 解法解法 2 2 同样可证同样可证(P196 例例3.4)2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系18原式原式提示提示:2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系192.换元法则换元法则(II)-第二类换元法第二类换元法第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求难求易求易求若所求积分若所求积分易求易求,则得第二类换元积分法则得第二类换元积分法.难求，难求，2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系20定理定理3.2 设设是单调可导函数是单调可导函数,且且具有原函数

5、具有原函数,证证:令令则则则有换元公式则有换元公式2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系21例例1010 求求解解:令令则则原式原式2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系22例例1111 求求解解:令令则则原式原式2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系23例例12.求求解解:令令则则原式原式2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系24令令于是于是2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系25说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式

6、.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系26说明说明(2)被积函数含有被积函数含有时时,除采用除采用采用双曲代换采用双曲代换消去根式消去根式,所得结果一致所得结果一致.或或或或三角代换外三角代换外,还可利用公式还可利用公式2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系27说明说明(3)(3)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换例例1313 求求令令解解2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系28说明说明(4)(4)令令令令当被积函数含有根式当被积函数含

7、有根式时，可直接令根时，可直接令根式为式为 t,去根号去根号2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系29解解令令则则原式原式例例1414 求求2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系30说明说明(5)(5)当被积函数含有两种或两种以上的根当被积函数含有两种或两种以上的根式式时，可采用令时，可采用令（其（其中中为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）例例1616 求求解解令令2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系31说明说明(6)(6)万能代换万能代换令令（万能代换公式万能代换公式）使用范围使用范围：由三角函数和常数经过有限由三角函数和

8、常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为次四则运算构成的函数一般记为如，如，2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系32例例17 求积分求积分解解由万能代换公式由万能代换公式2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系332009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系34练习练习解解原式原式=前式令前式令;后式配元后式配元2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系35两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换小结小结:2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系

9、36 说明说明：1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令令令令或或令令或或令令或或(7)分母中因子次数较高时分母中因子次数较高时,可试用可试用倒代换倒代换 2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系37（8 8）万能代换）万能代换令令（万能代换公式万能代换公式）使用范围使用范围：由三角函数和常数经过有限由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为次四则运算构成的函数一般记为2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系382.常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系392009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系40思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同下列各题求积方法有何不同?2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系412.下列各题求积方法有何不同下列各题求积方法有何不同?2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系42例例1414 求求解解令令（分母的阶较高）（分母的阶较高）2009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系432009年12月11日南京航空航天大学理学院数学系44原式原式例例15.求求解解:令令则则原式原式当当 x 0 时时,类似可得同样结果类似可得同样结果.

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