不定积分习题课带解答.docx

第四章 不定积分 习题课

1．原函数 若，则称为的一个原函数．
若是的一个原函数，则的所有原函数都可表示为．
2．不定积分 的带有任意常数项的原函数叫做的不定积分，记作．
若是的一个原函数，则，
3．基本性质
1），或；
2），或；
3）；
4），（，常数）．

4．基本积分公式（20个）
原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。
不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一．
5. 例题
例1　已知的一个原函数是，求．
解　 ， ．
例2　设，求．
解　积分运算与微分运算互为逆运算，所以
．

例3　若的一个原函数是，求．
解　因为是的原函数，故，所以
．
例4　求不定积分．
解　被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即
．

例5　求不定积分．
解　利用求导运算与积分运算的互逆性，得
．

例6　求不定积分．
解　先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分．
．
例7　求不定积分．
解　分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即

．

例8　求不定积分．
解　用三角恒等式将被积函数变形，然后积分．
．

例9　求不定积分．
解　用三角恒等式将被积函数统一化为的函数，再积分．

．

例10　求不定积分．
解　．
例11　求不定积分．
解　类似于例10，拆项后再积分

．

例12　一连续曲线过点，且在任一点处的切线斜率等于，求该曲线的方程．
解　设曲线方程为，则，积分得
． （曲线连续，过点，故）
将代入，得，解出．所以，曲线方程为．

例13　判断下列计算结果是否正确
1）； 2）．
解　1），所以计算结果正确．
2）， 计算结果不正确，即
．

以下积分都要用到“凑微分”．请仿照示例完成其余等式
1）时，．
2）．
3）
4）
5），时，
6）时，
7）
8）
9）
10）
11）
例14　求．
解　
．
注 由于被积函数中含有，表明，故．
例15　求下列不定积分
1）； 　　2）．
解　1）　(请注意加1、减1的技巧)

　．
2）

．
例16　设，不求出，试计算不定积分．
解 （将看作变量）
．

例17　设，求．
解　先凑微分，然后利用写出计算结果．即
．
例18　计算不定积分．
【提示】 分母中有时，考虑用“倒代换”．
解　设，则，

．
例19　求不定积分．
解　

．
分部积分
．
目的，使公式右边的积分要比左边的积分容易计算，关键在于正确地选取和凑出．
例 20　求不定积分．
解一　这是一道综合题，先作变量代换，再分部积分．令，则，，

　 　．
解二　先凑微分，再代换，最后分部积分，即

　　 　　 ．

例 21　已知的一个原函数是，求．
【提 示】 不必求出，直接运用分部积分公式．
解　由已知条件，，且，故

．

例 22　设，求．
解　先求出的表达式．设，则，
．

　　 ,
所以 ．
例23　求不定积分．
解　将分子凑成
，
把分式化为多项式与真分式的和
；
再将真分式化为最简分式的和，
，
于是
．

例24 求不定积分．
解
（换元，令）

．
例25　求不定积分．
解　
．
例26 求不定积分．
解　为同时去掉三个根式，设，则，，

　 　．