概率论与数理统计习题集及答案.doc

概率论与数理统计作业集及答案第1章 概率论的基本概念1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ；B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= .1 .2 随机事件的运算1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： .(3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： .(5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： .2. 设：则 （1） ，（2） ，（3） ， （4）= ，（5）= 。1 .3 概率的定义和性质1. 已知，则 (1) , (2)()= , (3)= .2. 已知 则= .1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.1 .5 条件概率与乘法公式1丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。2. 已知 则 。1 .6 全概率公式1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中的概率相同。2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。1 .7 贝叶斯公式1 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。2 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。 A B L R C D 3. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。第1章作业答案1 .1 1：（1）； （2）2：（1）； （2）正正，正反正正，反反正正，正反，反正。1 .2 1： (1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) ；(6) 或 ；2： (1)；(2)；(3)；（4）或 ；（5）。1 .3 1： (1) =0.3, (2)= 0.2, (3) = 0.7. 2：)=0.4.1 .4 1：(1),(2)(,(3)1-(.2： .1 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。1 .6 1： 设A表示第一人“中”，则 P(A) = 2/10设B表示第二人“中”，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P()P(B|) =两人抽“中的概率相同, 与先后次序无关。2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：p = 0.5 0.4 + 0.5 0.5 = 0.451 .7 1：（1）94% （2）70/94； 2： 0.993；1 .8. 1： 用A,B,C,D表示开关闭合，于是 T = ABCD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章 随机变量及其分布2.1 随机变量的概念，离散型随机变量1 一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球中的最大号码., 试写出X的分布律.2 某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数, 试写出X的分布律。2.2 分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2 设随机变量X有分布律： X 2 3 , Y(X), 试求： p 0.4 0.6（1）P(X=2,Y2)； (2)P(Y2)； (3) 已知 Y2, 求X=2 的概率。2.3 贝努里分布1 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？(2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？(3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？(4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？2.4 随机变量的分布函数1设随机变量X的分布函数是： F(x) = （1） 求 P(X0 )； P；P(X1)，(2) 写出X的分布律。2 设随机变量X的分布函数是：F(x) = , 求（1）常数A, (2) P.2.5 连续型随机变量1 设连续型随机变量的密度函数为：（1）求常数的值；（2）求X的分布函数F(x)，画出F(x) 的图形，（3）用二种方法计算 P(- 0.5X0.5).2.6 均匀分布和指数分布1设随机变量K在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4+ 4Kx + K + 2 = 0有实根的概率。2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。2.7 正态分布1 随机变量XN (3, 4), (1) 求 P(2X5) , P(- 42), P(X3)；(2) 确定c，使得 P(Xc) = P(Xc)。2 某产品的质量指标X服从正态分布，=160，若要求P(120X200)0.80，试问最多取多大？2.8 随机变量函数的分布1设随机变量的分布律为； X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3Y = 2X 1, 求随机变量的分布律。2设随机变量的密度函数为：，；求随机变量Y的密度函数。3. 设随机变量服从（0， 1）上的均匀分布， ，求随机变量Y的密度函数。第2章作业答案2.1 1： X 3 4 5 p 0.1 0.3 0.62： X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.60.4 0.60.60.4 0.60.60.60.4 0.60.60.60.612.2 1： (1) P(X = 1) = P(X1) P(X2) = 0.981684 0.908422 = 0.073262, (2) P(X1) = 0.981684, (3) P(X1) = 1 - P(X2) = 1 0.908422 = 0.091578。 2：(1) 由乘法公式：P(X=2,Y2) = P(X=2) P(Y2 | X=2)= 0.4 ()= 2（2）由全概率公式：P(Y2) = P(X=2) P(Y2 | X=2) + P(X=3) P(Y2 | X=3)= 0.45 + 0.6= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 （3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y2)=2.3 1： 设X表示在同一时刻被使用的台数，则 X B(5, 0.6),(1) P( X = 2 ) = (2) P(X 3 ) = (3) P(X 3 ) = 1 - (4)P(X 1 ) = 1 - 2： 至少必须进行11次独立射击.2.4 1：（1）P(X0 )=0.5； P = 0.5；P(X1) = 0.5，(2) X的分布律为： X -1 1 P 0.5 0.52： (1) A = 1, (2) P =1/62.5 1：（1），（2）；（3）P(- 0.5X0.5) = ； 或= F(0,5) F(-0.5) = 。 2： （1） （2）2.6 1： 3/5 2： 2.7 1：(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5；(2) c = 3， 2：31.25。2.8 1： Y - 1 1 3 p 0.3 0.4 0.32： ， 3： ；第3章 多维随机变量3.1 二维离散型随机变量1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。2. 设二维随机变量的联合分布律为： X Y 0 1 2 试根椐下列条件分别求a和b的值； 0 0.1 0.2 a (1)； 1 0.1 b 0.2(2)； (3)设是的分布函数，。3.2 二维连续型随机变量1. 的联合密度函数为：求（1）常数k；（2）P(X1/2,Y1/2)；(3) P(X+Y1)；(4) P(X1/2)。2的联合密度函数为：求（1）常数k；（2）P(X+Y1)；(3) P(X1/2)。3.3 边缘密度函数1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求与的边缘密度函数。2. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求与的边缘密度函数。 3.4 随机变量的独立性1. (X, Y) 的联合分布律如下， X Y 1 2 3 试根椐下列条件分别求a和b的值； 1 1/6 1/9 1/18(1) ； 2 a b 1/9(2) ； （3）已知与相互独立。2. (X,Y) 的联合密度函数如下，求常数c，并讨论与是否相互独立？ 第3章作业答案3.1 1： X Y 1 2 2： (1) a=0.1 b=0.3 1 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.2 b=0.2 2 0.3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=0.1 0.7 0.3 1 3.2 1：(1) k = 1；(2) P(X1/2, Y1/2) = 1/8；(3) P(X+Y1) = 1/3；(4) P(X1/2) = 3/8。 2：(1) k = 8；(2) P(X+Y1) = 1/6；(3) P(X1/2) = 1/16。3.3 1： ； 2： ； ；3.4 1： （1）a=1/6 b=7/18； (2) a=4/9 b=1/9；（3）a = 1/3, b = 2/9。 2： c = 6, X与Y相互独立。第4章 随机变量的数字特征4.1 数学期望1盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则EX是： （A）1； （B）1.2； （C）1.5； （D）2.2. 设有密度函数： , 求,并求大于数学期望的概率。3. 设二维随机变量的联合分布律为： X Y 0 1 2 已知， 0 0.1 0.2 a 则a和b的值是： 1 0.1 b 0.2 （A）a=0.1, b=0.3； （B）a=0.3, b=0.1； （C）a=0.2, b=0.2； （D）a=0.15, b=0.25。4设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求。 4.2 数学期望的性质1设X有分布律： X 0 1 2 3 则是： p 0.1 0.2 0.3 0.4（A）1； （B）2； （C）3； （D）4.2. 设有，试验证 ，但与不相互独立。4.3 方差1 丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求.2 有密度函数： ，求 D(X).4.4 常见的几种随机变量的期望与方差1 设,相互独立，则的值分别是：（A） -1.6和4.88； （B）-1和4； （C）1.6和4.88； （D）1.6和-4.88.2. 设，与有相同的期望和方差，求的值。 （A） 0和8； （B） 1和7； （C） 2和6； （D） 3和5.4.6 独立性与不相关性 矩1下列结论不正确的是（ ）（A）与相互独立，则与不相关；（B）与相关，则与不相互独立；（C），则与相互独立；（D），则与不相关；2若 ，则不正确的是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）；3（）有联合分布律如下，试分析与的相关性和独立性。 X Y 1 0 1 . 1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/84是与不相关的（ ） （A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。5. 是与相互独立的（ ）（A） 必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证与不相关，但不独立。 第4章作业答案4.1 1： B； 2：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3： D； 4： 2/3，4/3，17/9；4.2 1： D； 4.3 1：7/2, 35/12； 2：11/36；4.4 1：A； 2： B；4.5 1：0.2， 0.355； 2：1/144, 1/11；4.6 1：C； 2：C； 3：与不相关，但与不相互独立；4：C；5：A；第5章 极限定理*5.1 大数定理5.2 中心极限定理1 一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。2 某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。第5章作业答案5.2 2：0.1788； 3：0.889， 0.841；第6章 数理统计基础6.1 数理统计中的几个概念1 有n=10的样本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，则样本均值= ，样本均方差 ，样本方差 。2设总体方差为有样本，样本均值为，则 。6.2 数理统计中常用的三个分布1. 查有关的附表，下列分位点的值：= ，= ，= 。2设是总体的样本，求。6.3 一个正态总体的三个统计量的分布1设总体，样本，样本均值，样本方差，则 ， ， ， ，第6章作业答案6.1 1； 2. ；6.2 1-1.29， 9.236， -1.3722； 2；6.3 1.；第7章 参数估计7.1 矩估计法和顺序统计量法1. 设总体的密度函数为：，有样本，求未知参数 的矩估计。2.每分钟通过某桥量的汽车辆数，为估计的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下：次数： 2 3 4 5 6 量数： 9 5 3 7 4 试求的一阶矩估计和二阶矩估计。 7.2 极大似然估计1. 设总体的密度函数为：，有样本，求未知参数 的极大似然估计。7.3 估计量的评价标准1. 设总体服从区间上的均匀分布，有样本，证明是 的无偏估计。2. 设总体，有样本，证明是参数的无偏估计（）。7.4 参数的区间估计1. 纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度,抽取9根纤维，测量其纤度为：1.36，1.49，1.43，1.41，1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，试求的置信度为的置信区间，（1）若,（2）若未知2. 2. 为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查16个另件，测量其长度，得，s = 0.0494, 设另件长度,取置信度为，（1）求的置信区间，（2）求的置信区间。第7章作业答案7.1 1：； 2： 5， 4.97；7.2 1：；7.37.4 1：（1.377，1.439），（1.346，1.454）； 2：（0.0013，0.0058）；(0.036, 0.076)第8章 假设检验8.1 假设检验的基本概念1. 某种电子元件的阻值（欧姆）,随机抽取25个元件，测得平均电阻值，试在下检验电阻值的期望是否符合要求？2. 在上题中若未知，而25个元件的均方差，则需如何检验，结论是什么？8.2 假设检验的说明1. 设第一道工序后，半成品的某一质量指标,品质管理部规定在进入下一工序前必需对该质量指标作假设检验，；，当与的绝对偏差不超过3.29时，许进入下一工序，试推算该检验的显著性水平。8.3 一个正态总体下参数的假设检验1. 成年男子肺活量为毫升的正态分布，选取20名成年男子参加某项体育锻练一定时期后，测定他们的肺活量，得平均值为毫升，设方差为，试检验肺活量均值的提高是否显著（取）？第8章作业答案8.1 1：拒绝； 2： 接受；8.2 1：0.1；8.3 1：拒绝；- 14 -