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《概率论与数理统计》作业集及答案
第1章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件
1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；
(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；
2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则B= .
(2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ；
B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：
(1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： .
(3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： .
(5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： .
2. 设：则
（1） ，（2） ，（3） ，
（4）= ，（5）= 。
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知，则
(1) , (2)()= , (3)= .
2. 已知 则= .
§1 .4 古典概型
1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,
(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.
2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
2. 已知 则 。
§1 .6 全概率公式
1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。
2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。

§1 .7 贝叶斯公式
1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。

2． 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，
B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？

§1 .8 随机事件的独立性
1. 电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。

A B
L R
C D

3. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。

第1章作业答案
§1 .1 1：（1）；
（2）
2：（1）；
（2）正正，正反正正，反反正正，正反，反正}。
§1 .2 1： (1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) ；
(6) 或 ；
2： (1)；(2)；(3)；
（4）或 ；（5）。
§1 .3 1： (1) =0.3, (2)= 0.2, (3) = 0.7. 2：)=0.4.
§1 .4 1：(1),(2)(,(3)1-(.
2： .
§1 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。
§1 .6 1： 设A表示第一人“中”，则 P(A) = 2/10
设B表示第二人“中”，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P()P(B|)
=
两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。
2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：
p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45
§1 .7 1：（1）94% （2）70/94； 2： 0.993；
§1 .8. 1： 用A,B,C,D表示开关闭合，于是 T = AB∪CD,
从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性
P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)
= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)

2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；
(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.
第2章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量的概念，离散型随机变量
1 一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球
中的最大号码., 试写出X的分布律.
2 某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数, 试写出X的分布律。
§2.2 分布和泊松分布
1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求
(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；
(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；
2 设随机变量X有分布律： X 2 3 , Y～π(X), 试求：
p 0.4 0.6
（1）P(X=2,Y≤2)； (2)P(Y≤2)； (3) 已知 Y≤2, 求X=2 的概率。
§2.3 贝努里分布
1 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻
(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？
(2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？
(3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？
(4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？

2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？

§2.4 随机变量的分布函数
1设随机变量X的分布函数是： F(x) =
（1） 求 P(X≤0 )； P；P(X≥1)，(2) 写出X的分布律。

2 设随机变量X的分布函数是：F(x) = , 求（1）常数A, (2) P.

§2.5 连续型随机变量
1 设连续型随机变量的密度函数为：
（1）求常数的值；（2）求X的分布函数F(x)，画出F(x) 的图形，
（3）用二种方法计算 P(- 0.5<X<0.5).

2 设连续型随机变量的分布函数为：F(x) =
(1) 求X的密度函数，画出的图形，(2)并用二种方法计算 P(X>0.5).

§2.6 均匀分布和指数分布
1设随机变量K在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4+ 4Kx + K + 2 = 0
有实根的概率。

2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。

§2.7 正态分布
1 随机变量X～N (3, 4), (1) 求 P(2<X≤5) , P(- 4<X≤10), P(|X|>2), P(X>3)；
(2) 确定c，使得 P(X>c) = P(X<c)。

2 某产品的质量指标X服从正态分布，μ=160，若要求P(120<X<200)≥0.80，试问σ最多取多大？

§2.8 随机变量函数的分布
1设随机变量的分布律为； X 0 1 2
p 0.3 0.4 0.3
Y = 2X – 1, 求随机变量的分布律。

2设随机变量的密度函数为：，
；求随机变量Y的密度函数。

3. 设随机变量服从（0， 1）上的均匀分布， ，求随机变量Y的密度函数。

第2章作业答案
§2.1 1： X 3 4 5
p 0.1 0.3 0.6
2： X 1 2 3 4 5
p 0.4 0.6×0.4 0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.6×1
§2.2 1： (1) P(X = 1) = P(X≥1) – P(X≥2) = 0.981684 – 0.908422 = 0.073262,
(2) P(X≥1) = 0.981684,
(3) P(X≤1) = 1 - P(X≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。
2：(1) 由乘法公式：
P(X=2,Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2)= 0.4× ()= 2
（2）由全概率公式：P(Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y≤2 | X=3)
= 0.4×5 + 0.6×= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458
（3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y≤2)=
§2.3 1： 设X表示在同一时刻被使用的台数，则 X ～B(5, 0.6),
(1) P( X = 2 ) = (2) P(X ≥3 ) =
(3) P(X ≤3 ) = 1 - (4)P(X ≥1 ) = 1 -
2： 至少必须进行11次独立射击.
§2.4 1：（1）P(X≤0 )=0.5； P = 0.5；P(X≥1) = 0.5，
(2) X的分布律为： X -1 1
P 0.5 0.5
2： (1) A = 1, (2) P =1/6
§2.5 1：（1），（2）；
（3）P(- 0.5<X<0.5) = ；
或= F(0,5) – F(-0.5) = 。
2： （1） （2）
§2.6 1： 3/5 2：
§2.7 1：(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5；(2) c = 3， 2：σ≤31.25。
§2.8 1： Y - 1 1 3
p 0.3 0.4 0.3
2： ， 3： ；

第3章 多维随机变量
§3.1 二维离散型随机变量
1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。

2. 设二维随机变量的联合分布律为： X Y 0 1 2
试根椐下列条件分别求a和b的值； 0 0.1 0.2 a
(1)； 1 0.1 b 0.2
(2)； (3)设是的分布函数，。

§3.2 二维连续型随机变量
1. 的联合密度函数为：
求（1）常数k；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。

2．的联合密度函数为：
求（1）常数k；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。

§3.3 边缘密度函数
1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求与的边缘密度函数。

2. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求与的边缘密度函数。

§3.4 随机变量的独立性
1. (X, Y) 的联合分布律如下， X Y 1 2 3
试根椐下列条件分别求a和b的值； 1 1/6 1/9 1/18
(1) ； 2 a b 1/9
(2) ； （3）已知与相互独立。

2. (X,Y) 的联合密度函数如下，求常数c，并讨论与是否相互独立？

第3章作业答案
§3.1 1： X Y 1 2 2： (1) a=0.1 b=0.3
1 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.2 b=0.2
2 0.3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=0.1
0.7 0.3 1
§3.2 1：(1) k = 1；(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8；(3) P(X+Y<1) = 1/3；(4) P(X<1/2) = 3/8。
2：(1) k = 8；(2) P(X+Y<1) = 1/6；(3) P(X<1/2) = 1/16。
§3.3 1： ；
；
2： ； ；
§3.4 1： （1）a=1/6 b=7/18； (2) a=4/9 b=1/9；（3）a = 1/3, b = 2/9。
2： c = 6, X与Y相互独立。
第4章 随机变量的数字特征
§4.1 数学期望
1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则EX是：
（A）1； （B）1.2； （C）1.5； （D）2.
2. 设有密度函数： , 求,并求大于数学期望的概率。

3. 设二维随机变量的联合分布律为： X Y 0 1 2
已知， 0 0.1 0.2 a
则a和b的值是： 1 0.1 b 0.2
（A）a=0.1, b=0.3； （B）a=0.3, b=0.1； （C）a=0.2, b=0.2； （D）a=0.15, b=0.25。

4．设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求。

§4.2 数学期望的性质
1．设X有分布律： X 0 1 2 3 则是：
p 0.1 0.2 0.3 0.4
（A）1； （B）2； （C）3； （D）4.

2. 设有，试验证 ，但与不
相互独立。

§4.3 方差
1． 丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求.

2． 有密度函数： ，求 D(X).

§4.4 常见的几种随机变量的期望与方差
1． 设,,相互独立，则的值分别是：
（A） -1.6和4.88； （B）-1和4； （C）1.6和4.88； （D）1.6和-4.88.

2. 设，与有相同的期望和方差，求的值。
（A） 0和8； （B） 1和7； （C） 2和6； （D） 3和5.

§4.6 独立性与不相关性 矩
1．下列结论不正确的是（ ）
（A）与相互独立，则与不相关；
（B）与相关，则与不相互独立；
（C），则与相互独立；
（D），则与不相关；
2．若 ，则不正确的是（ ）
（A）；（B）；
（C）；（D）；
3．（）有联合分布律如下，试分析与的相关性和独立性。
X Y －1 0 1 .
－1 1/8 1/8 1/8
0 1/8 0 1/8
1 1/8 1/8 1/8
4．是与不相关的（ ）
（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。
5. 是与相互独立的（ ）
（A） 必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。
6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证与不相关，但不独立。

第4章作业答案
§4.1 1： B； 2：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3： D； 4： 2/3，4/3，17/9；
§4.2 1： D；
§4.3 1：7/2, 35/12； 2：11/36；
§4.4 1：A； 2： B；
§4.5 1：0.2， 0.355； 2：－1/144, －1/11；
§4.6 1：C； 2：C； 3：与不相关，但与不相互独立；4：C；5：A；
第5章 极限定理
*§5.1 大数定理
§5.2 中心极限定理
1． 一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。

2． 某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。

第5章作业答案
§5.2 2：0.1788； 3：0.889， 0.841；
第6章 数理统计基础
§6.1 数理统计中的几个概念
1． 有n=10的样本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，则样本均值= ，样本均方差 ，样本方差 。
2．设总体方差为有样本，样本均值为，则 。
§6.2 数理统计中常用的三个分布
1. 查有关的附表，下列分位点的值：= ，= ，= 。
2．设是总体的样本，求。
§6.3 一个正态总体的三个统计量的分布
1．设总体，样本，样本均值，样本方差，则
， ，
～ ，～ ，
第6章作业答案
§6.1 1．； 2. ；
§6.2 1．-1.29， 9.236， -1.3722； 2．；
§6.3 1.；
第7章 参数估计
§7.1 矩估计法和顺序统计量法
1. 设总体的密度函数为：，有样本，求未知参数 的矩估计。
2.每分钟通过某桥量的汽车辆数，为估计的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下：次数： 2 3 4 5 6
量数： 9 5 3 7 4
试求的一阶矩估计和二阶矩估计。

§7.2 极大似然估计
1. 设总体的密度函数为：，有样本，求未知参数 的极大似然估计。

§7.3 估计量的评价标准
1. 设总体服从区间上的均匀分布，有样本，证明是 的无偏估计。
2. 设总体～，有样本，证明是参数的无偏估计（）。
§7.4 参数的区间估计
1. 纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度,抽取9根纤维，测量其纤度为：1.36，1.49，1.43，1.41，1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，试求的置信度为的置信区间，（1）若,（2）若未知
2. 2. 为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查16个另件，测量其长度，得㎜，s = 0.0494㎜, 设另件长度,取置信度为，（1）求的置信区间，（2）求的置信区间。
第7章作业答案
§7.1 1：； 2： 5， 4.97；
§7.2 1：；
§7.3
§7.4 1：（1.377，1.439），（1.346，1.454）； 2：（0.0013，0.0058）；(0.036, 0.076)
第8章 假设检验
§8.1 假设检验的基本概念
1. 某种电子元件的阻值（欧姆）,随机抽取25个元件，测得平均电阻值，试在下检验电阻值的期望是否符合要求？
2. 在上题中若未知，而25个元件的均方差，则需如何检验，结论是什么？

§8.2 假设检验的说明
1. 设第一道工序后，半成品的某一质量指标,品质管理部规定在进入下一工序前必需对该质量指标作假设检验，；，当与的绝对偏差不超过3.29时，许进入下一工序，试推算该检验的显著性水平。
§8.3 一个正态总体下参数的假设检验
1. 成年男子肺活量为毫升的正态分布，选取20名成年男子参加某项体育锻练一定时期后，测定他们的肺活量，得平均值为毫升，设方差为，试检验肺活量均值的提高是否显著（取）？
第8章作业答案
§8.1 1：拒绝； 2： 接受；
§8.2 1：0.1；
§8.3 1：拒绝；

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