第22章四边形全章知识点.pdf

第 1 页 共 25 页22 章知识点总结章知识点总结1平行四边形的定义平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形：四边形；两组对边分别平行3平行四边形的性质平行四边形的性质从边看：平行四边形的对边平行且相等从角看：平行四边形的对角相等，邻角互补从对角线看：平行四边形的对角线互相平分，互相平分是指两条线段有公共的中点4平行四边形的面积平行四边形的面积平行四边形的面积=它的底和这个底上的高的积5.平行四边形的判别方法平行四边形的判别方法两组对边分别平行的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形7.矩形的定义矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形8.矩形的性质矩形的性质具有平行四边形的一切性质 矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等 矩形是轴对称图形,它有两条对称轴9.矩形的判定矩形的判定有一个内角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形另外还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形10.直角三角形的性质直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的21直角三角形 30 所对的角是斜边的，三边关系：1：2213等腰直角三角形 三边关系：1：1：211.矩形对角线产生的三角形的特点矩形对角线产生的三角形的特点矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,两条对角线把矩形分成四个小的全等的等腰三角形12.有关矩形面积的计算有关矩形面积的计算 面积公式:矩形面积=长宽如图.矩形的两条对角线相交于,则ABCDO14ABOBCOCDOADOSSSSS矩形ABC D13.菱形的定义菱形的定义第 2 页 共 25 页一组邻边相等的平行四边形叫做菱形14.菱形的性质菱形的性质具有平行四边形的一切性质 菱形的四条边都相等菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴15.菱形的判定方法菱形的判定方法有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边都相等四边形是菱形16.有关菱形的面积计算有关菱形的面积计算由于菱形的对角线互相垂直平分,11()22ABDCBDSSSBD OAOCBD AC也可以用平行四边形的面积计算公式=底高17.正方形的定义正方形的定义一组邻边相等的矩形叫做正方形正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形18.正方形的性质正方形的性质正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质边:四边相等,对边平行 角:四个角都是直角对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45正方形是轴对称图形,有四条对称轴19.正方形的判定正方形的判定菱形+矩形的一条特征 菱形+矩形的一条特征平行四边形+一个直角+一组邻边相等说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形20.正方形对角线产生的三角形特点正方形对角线产生的三角形特点正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形21.正方形常用的辅助线添加方法正方形常用的辅助线添加方法正方形中常连对角线,把四边形的问题转化为三角形的问题有垂直时做垂线构造正方形有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来,从而为解决问题创造条件23三角形中位线：三角形中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半第 3 页 共 25 页梯形辅助线的添法梯形辅助线的添法（图一）（图一）（图二）（图二）（图三）（图三）（图四）（图四）（图五）（图五）（图六）（图六）中点中点第 4 页 共 25 页（图七）（图七）（图八）（图八）基础题型1如图在平行四边形中，求这个平行四边形各内角的度数ABCD:5:3ABABCD解：四边形是平行四边形QABCD，ADBC180AB 由于:5:3AB故设，则5Ax 3Bx即53180 xx解得因此，22.5x 5 22.5112.5A 3 22.567.5B 平行四边形各内角度数分别是，112.567.5112.567.5已知平行四边形的周长为，相交于，且的周长比ABCD38cmACBDOAOB的周长小于，如图，求平行四边形各边的长BOC3cmABCD解：四边形为平行四边形QABCD，OAOCABCDBCAD的周长QAOBOAOBAB的周长BOCOCOBBC且的周长比的周长小于AOBBOC3cm()()3OCOBBCOAOBBC3BCAB又平行四边形的周长为QABCD38cm19BCAB，8AB cm11BC cm，8CD cm11AD cm如图，已知：在平行四边形中，是对角线，于，于ABCDBDAEBDECFBDF求证：AECFDCBAEF证明：方法一：四边形是平行四边形QABCD，ABCDABCDABECDF，QAEBDCFBD第 5 页 共 25 页AEBCFD()ABECDF AAS AECFODCBAEF方法二：连接，交于ACBDO四边形是平行四边形QABCD，又，OAOCAEBDCFBD，而AEOCFO AOECOF（）AEOCFO AASAECF如图所示，在平行四边形中，分别是，延长线上的点，且ABCDEFACCA，则与具有怎么样的位置关系？试说明理由CEAFBFDEEFABCD解：BFDE证明：方法一：在平行四边形中，ABCDABCDABCDBACDCA，Q180BACBAF180ACDDCEBAFDCE 又QAFCEAFBCED()SAS方法二连接，交于BDACO在平行四边形中，ABCDAOCOBODOQAFCEOFOE（）QFOBEOD BOFDOE SASFE BFDEOEFABCDOEFABCD方法三连接，交于，连接，BDACODFBE第 6 页 共 25 页由方法二知，OFOEOBOD四边形为平行四边形BEDFBFDE如图，已知是平行四边形对角线的交点，OABCD38AC cm24BD cm，那么的周长为14AD cmOBCODCBA解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知，14BCADcm11241222OBBDcm11381922OCACcm的周长为 OBC14121945BCOBOCcm如图平行四边形中，与交于，则该图形中的ABCDEFABGHADEFGHO平行四边形的个数共有（）78910FEDCBAGHO由题意可知图中的平行四边形分别是：，DEOHEAGOHOFCOGBFDAGH，所以共有个HGBCDEFCEABCDABC9.如图，平行四边形中，平分交于，交的延长线于，ABCDAFDABCDNBCF，交于，交延长线于，垂足为，试证明：DEAFABMCBEOBECFONMFEABCD证明：四边形为平行四边形QABCD，ADBCABCDABCD，DAFF ADEE EDCAMD，QDEAF90AOMAOD 平分，QAFDABDAFBAF（）QOAOAAOMAOD ASA，ADMAMD BAFF EDCE，ABBFCDCE第 7 页 共 25 页BFCEBECF如图，已知：，分别在的各边上，延长到DEFABCDEAFDEAFFD，使求证：与互相平分G2FGFDAGDEABCDEFGABCDEFG证明：连接，ADEG，QDEAFDEAF四边形是平行四边形AEDF，DFAEDFAE又Q2FGFD12DGDFFG，而DGAEDFAE四边形为平行四边形AEGD与互相平分AGDE如图，已知是的边的中点，是上的一点，试说明：DABCABEACDFBEEFAB与互相平分AEDFABCDEF ABCDEF证明：连接，AFDE，QDFBEEFAB四边形为平行四边形，BDFEEFBD是中点QDABBDAD，四边形为平行四边形ADEFADEFADEF与互相平分AEDF第 8 页 共 25 页如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，10MNABCDBCADBMDN，垂足分别为，求证：与互相平分MEBDNFBDEFMNEFMNABCDEFMNABCDEF证明：连接，ENMF四边形是平行四边形QABCD，BCADCBDADB，Q90MEFNFE 90MEBNFD MENFQBMDNBMEDNF()AASMENF四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）EMFN与互相平分MNEF如图，与互相平分，交点为，与互相平分，交点为，那么，四11AFBEMECDFN边形是平行四边形么？你是怎么判定的？ABCDNMEFABCDNMEFABCD解：四边形是平行四边形ABCD证明：连接，AEBFEFDECF与互相平分QAFBE四边形是平行四边形ABFE，EFADEFAD与互相平分QECDF四边形是平行四边形BCEF，EFBCEFBC，ADBCADBC四边形是平行四边形ABCD第 9 页 共 25 页.如图，已知,是的高，是的中点求证：12BECFABCDBCDEDFABCDEF证明：，是的高，QBECFABC，均为直角三角形 BFCBEC是的中点QDBC是斜边上的中线，是斜边上的中线DFRt BFCDERt BEC，12DFBC12DEBCDEDF.如图，先将矩形纸片对折一次折痕为，展开后又将纸片折叠使点落在13ABCDEFA上，此时折痕为，求度数的大小EFBMNBCMNABCDEFGFEDCBANM提示：根据题意得111222AEBEDFFCCDABBN过点作，垂足为NNGBCG则，（直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，12NGBN30NBC30反过来也成立）.过矩形对角线的中点作分别交，于,，点为14ABCDACOEFACABDCEFG的中点，若，求证：AE30AOG13OGDCGFEABCDOODCBAEFG第 10 页 共 25 页证明：连接CE四边形是矩形QABCDOAOCQEFAC是线段的垂直平分线EFACEAEC，Q30AOG60ACB30OCE30BCE12BEEC是中点QGAE1122OGAGGEAECEOGAGGEEB13OGDC.在矩形，,，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，在展15ABCD6AB 8BC CAEF开，求折痕的长EFFEDCBAO解：,由勾股定理可得Q6AB 8BC 10AC 根据题意有，设，AFCFAFCFx8BFx由勾股定理，即解得222ABBFAF2226(8)xx254x 254FC，Q2575642AFCESCFABY12AFCESACEFY（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）152EF 已知：如图，是矩形对角线的交点，平分，求16OABCDAEBAD120AOD的度数AEOEODCBA答案：提示为等腰直角三角形，为等边三角形，ABEOAB为等腰三角形，OBE30OBE75OEB754530OEA.如图，为过的直角顶点的直线，且于，于点，17MNRt ABCABDMNDCEMNE第 11 页 共 25 页，为的中点，求证：ABACFBCDFEFABCDEFNMABCDEFNM证明：连接AF为直角三角形，为斜边的中点QABCFBCBFAFCFQ90BAC90BAMNAC，QBDMNCEMN，90BAMDBA90BDAAEC，又DBAEAC QABAC（）DBAEAC AASDBAE，为的中点QABAC90BACFBC45ABCFAC，即DBAABCCAFCANDBFFAE 又，（）QDBAEAFBFDBFEAF SASDFEF总结：在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线如图是菱形边的中点，于，交的延长线于，交于18EABCDADEFACHCBFAB，求证：与互相平分GABEFGHABCDEFFEDCBAHG证明：四边形是菱形QABCD，（）BACDAC QACEGAHAHAHEAHG ASAAEAGQ12AEAD12AGABQADBCFAEG（）QBGFAGE AGEBGF AAS，即与互相平分EGFGAGGBABEF方法二：连接，AFBE由，得，则12AEAD12AGABAGEAEGBGFBFG AEAGBGBF且四边形为平行四边形与互相平分AEBFAEBFAFBEABEF如图，在中，是的平分线，交于点，是边19ABC90ACBADABCDCHAB第 12 页 共 25 页上的高，交于，于求证：四边形是菱形ADFDEABECDEFABCDEFH证明：是的平分线QADACADEAD，Q90ACBCHAB，90CADCDA90FAHAFHCDAAFH QAFHCFD CFDCDF CFCD是的平分线，QADACDACDEABCDDECFDE，QCHABDEABCHDE四边形是平行四边形CFED平行四边形是菱形QCDCFCFED菱形中，如果它的一条对角线长为，求菱形的边20ABCD120DAB12cmABCD长解：ABCDODCBA若对角线，12AC cm如图四边形为菱形，且则为等边三角QABCD120DAB60DACBAC ADC形菱形的边长为ABCD12cm若对角线，12BD cm如图四边形为菱形，且则为等边三角QABCD120DAB60DACBAC ADC形又设，QODOB6ODOBcmOAx2ADx由勾股定理可得，解得，222(2)6xx2 3x 4 3AD cm综上所述：菱形的边长为或ABCD12cm4 3cm第 13 页 共 25 页如图，四边形是正方形，是的中点，是上的一点，且22ABCDECDFBC3BFFC求证：AEEFABCDEFABCDEF证明：连接，设，则AFFCk4BCk四边形是正方形，QABCD90BCD 4ABBCCDADk为中点QECD2DEECk在中，Rt ABF222225AFABBFk在中，Rt ECF22225EFECFCk在中，Rt ADE222220AEADDEk则，是直角三角形222AEEFAFAEF90AEFAEEF（到初三的时候此题还有额外的证明方法）如图，过正方形对角线上一点，作于，作于，23ABCDBDPPEBCEPFCDF连接，求证：，APEFAPEFAPEFFEPABCD HDCBAPEF证明：连接，延长交于点PCAPEFH四边形是正方形QABCD，45ABPCBP ABBC（）QBPBPABPCBP SAS，APCPBAPBCP，QPEBCPFCDBCCD四边形为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形）PECFPCEFPAEF，QPFEC90EPFPEC（）PEFEPC HLPFEPCE PFEBAP，QABBCPEBCABPEBAPEPH Q90PFEPEH90EPHPEHAPEH第 14 页 共 25 页如图正方形中，是的中点，平分，交于24ABCDMABMNDMBNCBEMNN求证：DMMNNABCDEM FMEDCBAN证明：取线段的中点，连接ADFFM四边形为正方形QABCD，ABAD90AABC 为中点，为中点QFADMABDFAFAMMB45AFMAMF 135DFM平分QBNCBE45CBNEBN 135MBNDFMMBN QDMMN90DMANMBQ90DMBADMADMMBN 在与中DMFMNBMDFNMBDFMBDFMMBN DMFMNB()ASADMMN思考：若点是线段上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么？MABMEDCBANFMEDCBAN请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了如图，在梯形中，分别是，的中点，且25ABCDADBCADBCEFADBC，求证：梯形为等腰梯形EFBCABCDABCDEFMNABCDEF第 15 页 共 25 页证明：过分别作，的平行线交于，易知四边形和四边形EABDCBCMNABME都是平行四边形DCNE，AEBMDENCABEMDCEN，分别是，的中点QEFADBC，AEDEBFCFBMCNBFBMCFNCMFNF是线段的垂直平分线QEFBCEMENEFMNMENEABCD故梯形是等腰梯形ABCD已知等腰梯形中，求它的26ABCDABCD60B15AD cm49BC cm腰长DCBAEABCD 解：方法一：过点作，交于点AAEDCBCE四边形为平行四边形QADBCAECD，ADECDCAE四边形为等边三角形QABDCAEABQ60BABCD，BEABQ15AD 49BC 49 1534BEBCCEBCAD34ABCDcm方法二MNABCD过点作，垂足为，过点作，垂足为AAMBCMDDNBCN四边形为等腰梯形QABCD，ABCDBC Q90AMBDNC（）ABMDCN AASBMCNQ90AMNMNDADN 四边形为矩形AMNDADMN，49BC Q15AD 11()(49 15)1722BMCNBCADQ60B30BAM234ABBMcm如图，在中，平分，点是的中点27ABCABACADBACCDADEBC第 16 页 共 25 页求证：DEAB1()2DEABACABCDEFEDCBA证明：延长交于点CDABF，QADCD90ADCADF 平分QADBACDACDAF QADAD（）（又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”）ADCADF ASAAD，ACAFFDDC点是的中点QEBC是三角形的中位线DECBF，DEBF12DEBFQABAFBFBFABAC1()2DEABAC如图，在梯形中，是中点28ABCDDCABBCDCABEAD求证：90CEBABCDE ABCDEF证明：取中点，连接BCFEF由梯形中位线性质可知且EFDCAB1()2EFDCABQBCDCAB2EFBCEFCFFB90CEB基础知识达标基础知识达标一、精心选一选（每小题一、精心选一选（每小题 3 分，共分，共 30 分）分）第 17 页 共 25 页中点中点中点B BC CA AD DO O1、在ABCD 中，A：B：C：D 的值可以是（）A1：2：3：4 B1：2：2：1 C2：2：1：1 D2：1：2：12、菱形和矩形一定都具有的性质是（）A对角线相等 B对角线互相垂直C对角线互相平分 D对角线互相平分且相等3、下列命题中的假命题是（）A等腰梯形在同一底边上的两个底角相等 B对角线相等的四边形是等腰梯形C等腰梯形是轴对称图形 D等腰梯形的对角线相等4、四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，能判定它是正方形的是（）AAOOC，OBOD BAOBOCODO，ACBDCAOOC，OBOD，ACBD DAOOCOBOD5、给出下列四个命题一组对边平行的四边形是平行四边形一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形两条对角线互相垂直的矩形是正方形顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。其中正确命题的个数为（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个6、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三角形的是（）ABCD7.顺次连结四边形各边的中点，所成的四边形必定是 A等腰梯形 B直角梯形 C矩形 D平行四边形8、如图：等腰梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 相交于点 O，那么图中的全等三角形共有A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 9、下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是A菱形 B矩形 C正方形 D平行四边形10.等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为 8，则该等腰梯形的面积为第 18 页 共 25 页A 16 B 32 C 64 D 512二、耐心填一填（每小题分，共二、耐心填一填（每小题分，共 30 分）分）11、对角线平行四边形是矩形。12、如图已知 O 是ABCD 的对角线交点，AC24，BD38，AD14，那么OBC 的周长等于。13、在平行四边形 ABCD 中，CB+D,则A，D。14、一个平行四边形的周长为 70cm，两边的差是 10cm，则平行四边形各边长为cm。15、已知菱形的一条对角线长为 12cm，面积为 30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为_cm。6、菱形 ABCD 中，A60o，对角线 BD 长为 7cm，则此菱形周长cm。17、如果一个正方形的对角线长为，那么它的面积。218、如图 2 矩形 ABCD 的两条对角线相交于 O,AOB60o,AB8,则矩形对角线的长。19、如图 3,等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABDE，BC8，AB6，AD5 则CDE 周长。20、要从一张长为 40cm，宽为 20cm 的矩形纸片中，剪出长为 18cm，宽为 12cm 的矩形纸片，最多能剪出张。三、用心想一想（共用心想一想（共 40 分）分）21、（8 分）如图：在ABCD 中，BAD 的平分线 AE 交 DC 于 E，若DAE25o，求C、B 的度数。23、（8 分）已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ABDC，D120o,对角线 CA 平分BCD，且梯形的周长 20，求 AC。ABDCOABDCOABDCEADBCFEDACBEADBC第 19 页 共 25 页21、（8 分）如图：在正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上的一点，F 为 BC 的延长线上一点，CECF，BCE 与DCF 全等吗？说明理由；若BEC60o，求EFD。24、证明题：（8 分）如图，ABC 中ACB90o，点 D、E 分别是 AC，AB 的中点，点 F 在 BC 的延长线上，且CDFA，求证：四边形 DECF 是平行四边形。25、（8 分）已知：如图所示，ABC 中，E、F、D 分别是 AB、AC、BC 上的点，且DEAC，DFAB，要使四边形 AEDF 是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是试证明：这个多边形是菱形。ABDCFE60oABDCFEABDCFE第 20 页 共 25 页参考答案参考答案1D；2C3B4B5B6B 7 D 8 C 9D 10C11相等124513A120o，D60o1422.5，12.515516281711816191520 321解：BAD2DAE225o50o又ABCDCBAD50oADBCB180oBAD180o50o130o22解：ADBC12又2313ADDC又 ABDC得 ABADDCx在ADC 中D120o13180120302ooo又BCD2360o B=BCD=60o BAD180oB290o230o则 BC2AB2x AB4BC82204xxxxx在 RtABC 中 AC22844 124 323BCEDCF理由：因为四边形 ABCD 是正方形BCCD，BCD90oBCEDCF又 CECFBCEDCFCECFCEFCFEFCE90oCFE1(18090)452ooo又BCEDCFCFDBEC60oEFDCFDCFE60o45o15o24证明：D、E 分别是 AC、AB 的中点DEBCACB90o CE=ABAE12AECACDFACDFECA DFCE 四边形 DECF 是平行四边形ADBC123第 21 页 共 25 页25答条件 AEAF（或 AD 平分角 BAC，等）证明：DEACDFAB四边形 AEDF 是平行四边形又 AEAF四边形 AEDF 是菱形。【综合能力过关综合能力过关】一、精心选一选一、精心选一选（每小题 3 分，共 30 分）1、菱形具有而矩形不具有的性质是（）A.对角线互相平分；B.四条边都相等；C.对角相等；D.邻角互补2、关于四边形 ABCD 两组对边分别平行；两组对边分别相等；有一组对边平行且相等；对角线 AC 和 BD 相等；以上四个条件中可以判定四边形 ABCD 是平行四边形的有（）。A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3、能够判定一个四边形是菱形的条件是（）。对角线相等且互相平分 B对角线互相垂直且互相平分C对角线相等且互相垂直 D对角线互相垂直4、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A对角线相等 B对角线互相平分 C对角线互相垂直 D对角线平分对角5、三角形的重心是三角形三条（）的交点A中线 B高 C角平分线 垂直平分线6、若顺次连结四边形 ABCD 各边中点所得四边形是矩形，则四边形 ABCD 必然是（）A菱形 B对角线相互垂直的四边形 C正方形 D对角线相等的四边形7、下列命题中，真命题是（）A有两边相等的平行四边形是菱形 B有一个角是直角的四边形是矩形C四个角相等的菱形是正方形 D两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形8、如右图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，C=60，BD 平分ABC如果这个梯形的周长为 30，则 AB 的长为（）A4 B5 C6 D79、下列说法中，不正确的是（）第 22 页 共 25 页A有三个角是直角的四边形是矩形B对角线相等的四边形是矩形C对角线互相垂直的矩形是正方形 D对角线互相垂直的平行四边形是菱形10、如图，矩形 ABCD 中，DEAC 于 E，且ADE：EDC=3：2，则BDE 的度数为 （）A36o B9o C27o D18o 二、耐心填一填（每小题二、耐心填一填（每小题 3 分，共分，共 30 分）分）11、平行四边形 ABCD 中，A=500，AB=30cm，则B=_，DC=_ cm。12、平行四边形 ABCD 的周长为 20cm，对角线 AC、BD 相交于点 O，若BOC 的周长比AOB 的周长大 2cm，则 CD cm。13、若边长为 4cm 的菱形的两邻角度数之比为 12，则该菱形的面积为 cm2。14、如图，ABC 中，EF 是它的中位线，M、N 分别是 EB、CF 的中点，若 BC=8cm，那么 EF=cm，MN=cm；15、若矩形的对角线长为 8cm，两条对角线的一个交角为 600，则该矩形的面积为 cm2。16、如右图，若梯形的两底长分别为 4cm 和 9cm，两条对角线长分别为 5cm 和 12cm，则该梯形的面积为 cm2。17、在ABCD 中，若添加一个条件_，则四边形 ABCD 是矩形；若添加一个条件_，则四边形 ABCD 是菱形18、菱形的两条对角线分别是 6cm，8cm，则菱形的边长为_ cm，面积为_ cm219、在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AD=6cm，BC=8cm，B=60，则AB=_cm20、梯形的上底长为 2，下底长为 5，一腰为 4，则另一腰 m 的范围是 。三、用心想一想（共用心想一想（共 40 分）分）21（7 分）.如图,平行四边形 ABCD 中,G 是 CD 上一点,BG 交 AD延长线于 E,AF=CG,.(1)试说明 DF=BG;o100DGE(2)试求的度数.AFDABCDFEG第 23 页 共 25 页22.（7 分）已知：如图，ABCD 各角的平分线分别相交于点 E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 是矩形23（7 分）如图，梯形 ABCD 中，ADBC，M、N、P、Q 分别为 AD、BC、BD、AC 的中点。求证：MN 和 PQ 互相平分。24.（7 分）已知：梯形 ABCD 中，ABCD，E 为 DA 的中点，且 BC=DC+AB。求证：BEEC。25.（12 分）如图，梯形 OABC 中,O 为直角坐标系的原点,A、B、C 的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。点 P、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，点 P 沿 OA 以每秒 1个单位向终点 A 运动，点 Q 沿 OC、CB 以每秒 2 个单位向终点 B 运动。当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。NMQPDCBA第 24 页 共 25 页(1)设从出发起运动了 x 秒，且 x2.5 时，Q 点的坐标；(2)当 x 等于多少时，四边形 OPQC 为平行四边形？(3)四边形 OPQC 能否成为等腰梯形？说明理由。(4)设四边形 OPQC 的面积为 y,求出当 x2.5 时 y 与 x 的函数关系式；并求出 y 的最大值；参考答案参考答案1B2C3B4B5A6B7C8C9B10D 11130，30 124138 144，6 1516；1630 3317略 185，24 192 201m7 21.四边形 ABCD 是平行四边形,AB=DC,又 AF=CG,ABAF=DCCG,即 GD=BF,又 DGBF,四边形 DFBG 是平行四边形,DF=BG;POyC(4,3)QB(14,3)A(14,0)x第 25 页 共 25 页(2)四边形 DFBG 是平行四边形,DFGB,GBF=AFD 同理可得GBF=DGE AFD=DGE=100 22.ABCD DAB+ABC=180,AH,BH 分别平分DAB 与ABC,HAB+HBA=90H=90,同理H=90 HEF=DEA=90,四边形 EFGH 是矩形 23.连接 MP、MQ、PN、PQ，由三角形中位线定理证明四边形 MPNQ 为平行四边形，MN 和 PQ 互相平分 24延长 CE 交 BA 的延长线于 F，证明DCEAFE,DC=AF,BC=DC+AB,BF=AF+AB,BC=BF,再证明EBCEBF，CEB=FEB=90，得 BEEC 25(1)（2x-1,3）(2)2x-1-4=x，x=5 (3)不能，（4）y=当 x=7.5 时，y 有最大值5.75.42)52(3xxx4105