鲁教版平行线的有关证明整章备课.doc

第八章 平行线的有关证明单元备课
一、单元教学目标
1. 理解证明的必要性和设置公里的必要性。 
2.关注现实，并通过具体的例子了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件和结论，知道反例的意义和作用。 
3.初步掌握用综合法证明的格式，会证明两直线平行的有关判定定理，两直线平行的有关性质定理、三角形内角和定理及其推论。 
4.体会推理的严谨性和结论的确定性，初步树立步步有据的推理意识，发展推理论证的能力，同时要善于表达自己的想法，并能与同伴交流。 
5.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受功利化方法对数学发展和人类文明的价值。
二、单元重难点
【单元重点】：  
平行线的判定定理、性质定理及三角形内角和定理。证明意识的建立。
  【单元难点】：  
证明的过程与格式。
三、单元知识结构
本章的定位是让学生初步体会证明的必要性，初步掌握综合法证明的步骤和格式，因此本章所配备的例题和习题大都不难，但是，其中涉及的实际问题和世界命题不少。这样的设计意图是，既可以强化基础，引发学生的兴趣，又为引导学生关注现实、进行思考留下了时间和空间。 
第一节指出定义、命题的含义，为后面的定理、公理奠定基础。 第二节说明“要判断一个数学命题是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据的进行推理”，强调证明的必要性。 
第三节指出公理定理的含义，考虑到学生的年龄特点，这里沿用了以往扩大公理体系的做法，为后面的证明奠定基础，同时，介绍了欧几里得的《原本》 
第四节给出了平行线的判定公理和定理。 
第五节给出了平行线的性质公理和定理，对于“判定”和“性质”，只要求学生遇到具体情况会用就可以了。
四、学生情况分析
学生在六年级已经学习了平行线的判定与性质，具备了相应的合情推理的能力初步和进一步发展研究演绎推理的能力，在教学时，还应该尽可能的提高学生的分析问题和解决问题的能力，培养学生自主探究、合作交流的发现式学习方法，努力改变学生的学习方式，改变学生不良的学习习惯
五、教学设想
1.由于学生初次接触严格的证明和相关的符号化表示，所以教学可能会有相当难度，应主要尊重差异，发挥学生潜能，对学生出现的多种思路，应该予以可定，使其个性得以张扬。 
2.教学中应该尽量用学生身边的例子创设情境，鼓励学生自主做数学，鼓励学生主动的想，特别是有条理都得想像和探索，同时鼓励学生努力表达与交流。 3.注意让学生体验证明必要性的基本方法和过程，必要的证明过程和格式应该在教与学中得到认真落实， 
4.关注对证明必要性的理解，关注证明意识的建立，要让学生知道数学需要证明，体会公理化方法在数学和人类文明中的作用。 
5.由于本章所涉及的许多结论都是学生熟悉的，因此在区分哪些可以作为证明的依据，哪些不可以作为证明的依据时，会出现困难，教学时应要求学生证明步步有据，并说明其依据的合理性。 
6.利用现代化教学手段对几何教学能产生较好的效果，教学中尽量应用。
六、课时安排
1.  定义与命题             2课时 
2.  证明的必要性           1课时 
3.  公理与定理             1课时 
4.  平行线的判定定理      1课时 
5.  平行线的性质定理      1课时
6.  三角形内角和定理      3课时    
回顾与思考              2课时

8.1定义与命题
主备人______ 第_____课时

【学习目标】
1．让学生了解定义的含义并了解给一些名称下定义的常用方法；
 2．让学生了解命题的含义； 
3．让学生掌握命题的结构，能够区分命题的条件和结论，会把命题改写成“如果„„，那么„„”的形式；
【教学重点】
1．了解命题的含义，能够区分“命题”与“正确的命题（真命题）”； 
2．理解命题的结构，把命题改写成“如果„„，那么„„”的形式；
3．学生活动的组织.
【教学难点】
1．了解命题的含义，能够区分“命题”与“正确的命题（真命题）”； 
2．理解命题的结构，把命题改写成“如果„„，那么„„”的形式；
3．学生活动的组织.
【教学过程】
一、情境引入

教师组织播放课件并提出问题以生活情境引入，让学生感受生活中的命题有正确和不正确之分。
教师出示问题，组织学生活动。

1．试一试：
教师组织每一位同学先写出一个数学命题，然后请他的好朋友判断命题是否正确，并说明理由。

教师出示学生的部分命题。学生所写的命题中可能有正确，也可能有不正确（如果没有上面的情况，则由教师补充）。
二、探究新知：

在学生判断命题是否正确的过程中，引入假命题、真命题的概念，并巩固对真命题、假命题的判断。

所写的命题中可能有定理、公理，从而引入定理和公理的概念并例举公理（如果没有上面的情况，则由教师补充）。

所写的命题可能出现不作为公理、定理的真命题（如果没有，则由教师补充）。

通过学生判断真命题和假命题的过程，引导学生归纳出判断真命题和假命题的方法 。
 教师组织学生讨论。命题、真命题、定理和公理之间的关系，并在学生的回答中相互补充。

三、巩固新知：

1．判一判：
所有的定理是真命题 。     （    ）
所有的真命题都是公理。    （    ）

2．选一选：
下列命题中真命题的是(    )
（a）从“1、2、3、4、5、6”六个数中任意选一个数，是偶数的概率是0．4
（b）若a与b互为相反数,则
a+b =0
（c）绝对值等于它本身的数是正数
（d）任何一个角都比它的补角小
四、畅所欲言
教师引导学生总结。通过本堂课的探索，你有什么收获和体会？
【作业】

【教学反思】

8.1定义与命题（2）
主备人______ 第_____课时

【学习目标】
1．能够分清命题的题设和结论．会把命题改写成“如果„„，那么„„”的形式；能判断命题的真假． 
2．通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法．
【教学重点】
找出命题的条件（题设）和结论． 
【教学难点】
找出命题的条件和结论
【教学过程】
一、 回顾引入

二、
探索命题的结构

三、思考探讨

四课堂反思与小结．

① 什么叫做定义？举例说明．②什么叫命题？举例说明．

教师引导进行归纳． 
    应告诫学生当一个命题改写成“如果„„那么„„”的形式时，要注意改写时不要机械地添上“如果”和“那么”，应适当地补充一些修饰语句，使改写后的语句通顺，完整
活动内容： 
① 探讨命题的结构特征 
观察下列命题，发现它们的结构有什么共同特征？ 
（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等． （2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等． （3）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形． 
（4）如果一个四边的对角线相等，那么这个四边形是矩形． 
（5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形．

活动内容： 
① 找出下述命题中的条件和结论，指出它们哪些是正确的命题？哪些是不正确的命题？你又是如何知道的呢？ 
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果a＞b，b＞c，那么a＝c； 
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； （4）菱形的四条边都相等； （5）全等三角形的面积相等．
 ② 探究真假命题的验证 
说明一个命题是假命题，通常举出一个反例就可以了，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例，但是要说明一个命题是正确的无论验证多少个特例，也无法保证命题的正确性．如何验证命题的正确性呢？ 
结论：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．

帮助学生归纳本节课所学知识，对本节课有一个系统的认识，从而能准确地区分命题的真假性，了解命题结构中的条件与结论．

【作业】

【教学反思】

证明的必要性
主备人______ 第_____课时

【学习目标】
1、知识目标：经历观察、验证、归纳等过程，使我们对由这些方法所得到的结论产生怀疑，从此激发我们的好奇心理，认识证明的必要性，体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等。
2、能力目标：提高推理意识
【教学重点】
体会证明的必要性。 
【教学难点】
体会证明的必要性。
【教学过程】
（一）创设情境，提出问题：
小明任意画了几个三角形，用量角器分别测量各三角形内角的度数，然后把三个角度加起来，发现每个三角形的内角的和都是180度，于是他就得出了一个一般性的结论：三角形的三个内角的和等于180度。
小颖对小明的做法提出了异议：你怎么知道你的结论一定可靠呢？三角形有无数个，你才测量了几个三角形？即使测量几千个、几万个，也只是很小的一部分，怎么能从这很小的一部分的性质推出所有三角形的性质呢？再说，你的测量不可能没有误差，你怎么能确定三角形的内角和正好是180度，而不是181度或179度呢？
（二）设置问题，步步引导：
在数学学习中，我们可以通过实验、归纳、观察、猜测等方法，得到数学命题，你是否想过，通过这些方法得到的命题一定是真命题吗？
（三）层层深入，挖掘特点：
（1）当时，代数式的值是质数还是合数？小明由此得出一个命题：对于所有自然数，的值都是质数，你认为小明得出的命题是真命题吗？为什么？
（2）一枚5分硬币的直径是2.4厘米，用一根比硬币的周长多1米的铁丝做一个圆围在硬币外，并使它们的圆心重合，猜一猜铁丝与硬币之间的空隙有多大，然后量一量，并算一算。
（3）如图3--2，假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？
小刚猜“最多能爬过一只蚂蚁”，小颖猜“刚好能放进一个乒乓球”，小明猜“至少能放进一个拳头”你认为谁的说法是正确的？为什么？

结论：要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步，有根有据的进行推理，推理的过程叫做证明。
（四）指导应用，鼓励创新：
（1）在数学学习中，你用到过推理吗？举例说明。
（2）在日常生活中，你用到过推理吗？举例说明。（可举我们学过的定理的证明）
（五）归纳小结：证明及证明的必要性
（六）随堂练习：第80页 1、2、3

【作业】

【教学反思】

基本事实与定理
主备人______ 第_____课时

【学习目标】
（一）教学知识点
1. 定理的概念
2. 公理的概念
3.了解数学史.
（二）能力训练要求
1.能够用基本事实、定理证明一些命题.
2.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.
（三）情感与价值观要求
通过了解数学知识，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣.
【教学重点】
用基本事实、定理进行证明. 
【教学难点】
用基本事实、定理进行证明.
【教学过程】
回顾［师］每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成.
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.
一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
新授
［师］一个正确的命题如何证实呢？大家来想一想：
如何证实一个命题是真命题呢？
［生甲］用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法.
［生乙］这些方法往往并不可靠.
［生丙］能不能根据已经知道的真命题证实呢？
［生丁］那已经知道的真命题又是如何证实的？
［生戊］哦……那可怎么办呢？
……
［师］其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（Euclid,公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》（Elements），为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据.其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理（axiom）.除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）,而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面.
《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排.因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作.
［生］老师，我知道了，除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实.
［师］对，我们这套教材选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是：
［师］同学们来朗读一次.
［师］好.除这些以外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以作为证明的依据.
在等式中，一个量可以用它的等量来代替.如：如果a=b,b=c,那么，a=c,这一性质也看做公理，称为“等量代换”.
注意：（1）公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题.
（2）公理可以作为判定其他命题真假的根据.
好，下面我们通过“读一读”来进一步了解《原本》这套书，进而了解数学史.
Ⅲ.课堂练习
Ⅳ.课时小结
说明一个命题是假命题只需举一个反例即可.而真命题除公理和性质外，必须通过推理得证.
大家要会灵活运用本节课谈到的公理来证明一些题.
【作业】

【教学反思】

平行线的判定定理
主备人______ 第_____课时

【学习目标】
知识与技能：能根据平行线的判定公理证明平行线的两个判定定理，并
能简单应用这个两个判定定理；概述证明的步骤、格式和方法；感受几何中推理论证的严谨性，初步发展演绎推理能力。 
过程与方法：经历探究证明定理的思路和证题过程，合作交流，进一步
理解证明的步骤、格式和方法。
【教学重点】
判定定理的得出及其应用； 
【教学难点】
定理证明的思考方法以及书写方法
【教学过程】
一、 创设情景

二、合作探究：

三、知识运用：

四、交流体会

1、前面我们探索过直线平行的条件.大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？ 
2、这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的. 
上节课我们谈到了要证明一个命题是真命题.除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证明. 
我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义.“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理.那其他的三个真命题如何证明呢？这节课我们就来探讨第三节：为什么它们平行 

探究（一）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，两直线平行. 
1.指出这个命题的条件和结论，并画出图
形，结合图形写出已知和求证。 
2.说说你的证明思路，试着写出证明过程。

课本习题
巡回指导，对有困难的学
生教师可适当点拨。

这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明，进一步明确了证明的一般步骤，证程中
须注意：（1）证明语言的规范化.（2）推理过程要有依据 

【作业】

【教学反思】

平行线的性质定理
主备人______ 第_____课时

【学习目标】
1、 了解并掌握平行线的性质，并能利用平行线的性质进行相关的数学计算。 
2、 能够区分平行线的性质和判定，能够利用平行线的性质进行简单的逻辑推理。
【教学重点】
探索并掌握平行线的性质，能用平行线性质进行简单的推理和计算。 
【教学难点】
能区分平行线的性质和判定，平行线的性质应用。
【教学过程】
一、创设情境
【活动1】电脑显示两条平行公路被第三条公路所截，两辆汽车在平行公路上行驶. 
问题： 
1、汽车行驶的路径所夹的角有什么关系？ 
2、如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系？ 
教师对学生的猜想给予引导，学生能猜想出平行线的性质可以，不能猜想出平行线的性质也可以，不强求. 

学生分组合作，选择适当的方法，探究同位角的关系.教师深入小组参与活动，与学生一起探究问题.

二、合作探究
教师引导学生归纳总结平行线的性质

性质１：两直线平行，同位角相等． 
性质２：两直线平行，内错角相等．  
性质３：两直线平行，同旁内角互补．

三、巩固练习
教师具体指导并根据学生的解题情况
板书规范的说理过程.
应关注： 
1、学生在做习题的过程中能否正确地分析问题和解决问题. 
2、学生能否用文字、字母符号等清楚的表达解决问题的过程，并解释结果的合理性.
四、板书设计
平行线的性质
性质１：两直线平行，同位角相等． 
性质２：两直线平行，内错角相等．  
性质３：两直线平行，同旁内角互补．

【作业】

【教学反思】

三角形内角和定理的证明
主备人______ 第_____课时

【学习目标】
（一）知识认知要求
三角形的内角和定理的证明.
（二）能力训练要求
掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.
【教学重点】
三角形内角和定理的证明. 
【教学难点】
三角形内角和定理的证明方法.
【教学过程】
一、巧设现实情境，引入新课
问题 1 我们观察任意一个三角形,量出它的内角，得出结论。考察不同的三角形，验证我们的结论。
问题 2 在纸上画一个三角形，并将它的内角剪下拼合在一起，得出结论。考察不同的三角形，验证我们的结论。
二、讲授新课
师生活动：为了说明结论的正确性，我们再观察如下的动态实验（电脑实验）
用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？
当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°.
师生活动：让学生认真观察实验内容，分小组充分讨论，教师参与其中，围绕下面问题展开，找出最终答案。
三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.
在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？
三角形的最大内角不会大于或等于180°.
看实验：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.
得结论：三角形三个内角的和等于180
这一结论是否准确呢？我们做如下试验：
师生活动：做实验：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图（1））然后把另外两角相向对折，
使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.

（1） （2） （3） （4）
由实验可知：任意三角形的内角之和正好为一个平角.
教师追问 观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验.

这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.
这时，∠A与∠ACE 就能重合。
教师追问： 三角形的内角和等于180°？ .接下来同学们来证明：三角形的内角和等于180°这个真命题.

已知，如图，△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则
∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）
∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
即：∠A+∠B+∠C=180°.
通过推理的过程，同学们得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：三角形的内角和定理.
教师追问： 在证明三角形内角和定理时，有同学的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC.（如图）他的想法可行吗？你有没有其他的证法.
同学们回答: 可行.
学生演板∵PQ∥BC（已作） A
∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等） P Q
∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°
∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换） B C

教师演板: 也可以这样作辅助线.即：作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C
也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理.

即：如图，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.
∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义）
∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等）
∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等）
∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）
∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°）
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）
三、课堂练习 练习 第1、2题
四.课时小结
这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.
【作业】

【教学反思】