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7-2-2.较复杂的乘法原理.题库 教师版 page 1 of 97-2-27-2-2 较复杂的乘法原理较复杂的乘法原理教学目标1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯知识要点一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上 8 点的课，然后得赶到黄埔去上下午 1 点半的课如果说申老师的家到长宁有 5 种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有 2 种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是 10 条路线但是要是老师从家到长宁有 25 种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有 30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了这个时候我们的乘法原理就派上上用场了二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成 n 个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第 1 步有 A 种不同的方法，第二步有 B 种不同的方法，第 n 步有 N 种不同的方法那么完成这件事情一共有 ABN 种不同的方法结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要 2 个步骤，第 1 步是从家到长宁，一共 5 种选择；第 2 步从长宁到黄埔，一共 2 种选择；那么老师从家到黄埔一共有 52 个可选择的路线了，即 10条三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分 N 个必要步骤；7-2-2.较复杂的乘法原理.题库 教师版 page 2 of 92、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题比如说要 3 个字，然后有 5 种颜色可以给每个字然后，问 3 个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题比如说 6 个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法例题精讲模块一、乘法原理之组数问题【例例 1】由数字由数字 1、2 可以组成多少个两位数？可以组成多少个两位数？由数字由数字 1、2 可以组成多少个没有重复数字的两位数？可以组成多少个没有重复数字的两位数？【考点】复杂乘法原理 【难度】1 星 【题型】解答【解析】组成两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有 2 种方法；第二步确定个位上的数字，有 2 种方法根据乘法原理，由数字1、2 可以组成22=4 个两位数，即11，12，21，22组成没有重复数字的两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有 2 种方法；第二步确定个位上的数字，因为要组成没有重复数字的两位数，因此十位上用的数字个位上不能再用，因此第二步只有 1 种方法，由乘法原理，能组成 21=2 个两位数，即 12，21【答案】4 2【巩固巩固】由由 3、6、9 这这 3 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？由由 3、6、9 这这 3 个数字可以组成多少个三位数？个数字可以组成多少个三位数？【考点】复杂乘法原理 【难度】2 星 【题型】解答【解析】分三步完成：第一步排百位上的数，有 3 种方法；第二步排十位上的数，有 2 种方法；第三步，排个位上的数，有 1 种方法，由乘法原理，3、6、9 这 3 个数字可以组成个没有重复数32 16 字的三位数分三步完成，即分别排百位、十位、个位上的数字，每步有 3 种方法，由乘法原理，由 3、6、9这 3 个数字一共可以组成个三位数3 3 327【答案】627【例例 2】用数字用数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个：可以组成多少个：三位数？三位数？没有重复数字的三位数？没有重复数字的三位数？【考点】复杂乘法原理 【难度】2 星 【题型】解答【解析】组成三位数可分三步完成第一步，确定百位上的数字，因为百位不能为 0，所以只有 4 种选择第二步确定十位,所有数字都可以，有种选择；第三步确定个位，也是种选择。共有557-2-2.较复杂的乘法原理.题库 教师版 page 3 of 9种选择。45 5100 也分三步完成第一步，百位上有 4 种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他四个数字都可以，所以有 4 种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有 3 种选择根据乘法原理，可以组成个没有重复数字的三位数44348【答案】10048【巩固巩固】由四张数字卡片：由四张数字卡片：0，2，4，6 可以组成可以组成 _个不同的三位数。个不同的三位数。【考点】复杂乘法原理 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】千位选法有 3 种，百位 3 种，十位 2 种，个位 1 种，乘法原理 3321=18 个【答案】个18【巩固巩固】用五张数字卡片：用五张数字卡片：0，2，4，6，8 能组成能组成_个不同的三位数。个不同的三位数。【考点】复杂乘法原理 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第 8 题【解析】443=48 个【答案】个48【例例 3】有五张卡，分别写有数字有五张卡，分别写有数字 1、2、4、5、8现从中取出现从中取出 3 张卡片，并排放在一起，组成一个三位张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问：可以组成多少个不同的偶数？数，问：可以组成多少个不同的偶数？【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】分三步取出卡片首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，所以先选取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有 2、4、8 三种不同的选择；第二步在其余的 4 张卡片中任取一张，放在最左边的位置上，也就是百位数的位置上，有 4 种不同的选法；最后从剩下的 3 张卡片中选取一张，放在中间十位数的位置上，有 3 种不同的选择根据乘法原理，可以组成 343=36 个不同的三位偶数【答案】36【例例 4】有有 5 张卡，分别写有数字张卡，分别写有数字 2，3，4，5，6如果允许如果允许 6 可以作可以作 9 用，那么从中任意取出用，那么从中任意取出 3 张卡片，张卡片，并排放在一起问：并排放在一起问：可以组成多少个不同的三位数？可以组成多少个不同的三位数？可以组成多少个不同的三位偶数？可以组成多少个不同的三位偶数？【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】先考虑 6 只能当 6 的情况最后总的个数只要在这个基础上乘以 2 就可以了，分三步取出卡片:第一步确定百位，有 5 种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他 4 个数字都可以，所以有 4 种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有 3 种选择根据乘法原理，考虑 6 可以当作 9，可以组成（个）不同的三位数5432120 先考虑 6 只能当 6 的情况，分三步取出卡片首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，所以先选取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有 2、4、6 三种不同的选择；第二步在其余的 4 张卡片中任取一张，放在十位数的位置上，有 4 种不同的选法；最后从剩下的 3 张卡片中选取一张，放在百位数的位置上，有 3 种不同的选择根据乘法原理，6 只是 6 时，可以组成（个）不同的三位偶数这时候算所求的三位偶数并不是简单乘以 2 就可以的，因为34336 如果个位是 6 的话变成 9 就不再是偶数，多乘的还需要减去，个位是 6 一共有（个）不同4312的三位偶数，所以，可以组成（个）不同的三位偶数3621260【答案】120607-2-2.较复杂的乘法原理.题库 教师版 page 4 of 9【例例 5】用用 1、2、3 这三个数字可以组成多少个不同的三位数？如果按从小到大的顺序排列，这三个数字可以组成多少个不同的三位数？如果按从小到大的顺序排列，213 是第几是第几个数？个数？【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】排百位、十位、个位依次有 3 种、2 种、1 种方法,故一共有 321=6(种)方法,即可以组成 6 个不同三位数.它们依次为 123,132,213,231,312,321故 213 是第 3 个数【答案】6 个；第 3 个【巩固巩固】有一些四位数，它们由有一些四位数，它们由 4 个互不相同且不为零的数字组成，并且这个互不相同且不为零的数字组成，并且这 4 个数字和等于个数字和等于 12.将所有这样将所有这样的四位数从小到大依次排列，第的四位数从小到大依次排列，第 35 个为个为 【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】4 个互不相同且不为 0 的数字之和等于 12，只有两种可能：1+2+3+6 或者 1+2+4+5根据乘法原理，每种情况可组成 4321=24 个不同的四位数，一共可组成 48 个不同的四位数要求从小到大排列的第 35 个数，即求从大到小排列的第 14 个数我们从千位最大的数开始往下数：千位最大可以取 6，而千位是 6 的数共有 32=6 个；接下来是 5，千位为 5 的数也有 6 个所以第 13 个数应为4521，第 14 个是 4512，答案为 4512【答案】4512【例例 6】对于由对于由 15 组成的无重复数字的五位数，如果它的首位数字不是组成的无重复数字的五位数，如果它的首位数字不是 1，那么可以进行如下的一次置，那么可以进行如下的一次置换操作：记首位数字为换操作：记首位数字为 k，则将数字，则将数字 k 与第与第 k 位上的数字对换例如，位上的数字对换例如，24513 可以进行两次置换：可以进行两次置换：245134251312543可以进行可以进行 4 次置换的五位数有次置换的五位数有 个个【考点】【难度】星 【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，12 题【解析解析解析】要进行次置换，设首位为(不为，有种选择)，那么第 次与置换的第位上的数可能为4a a141aa和，有 种选择；设与置换的为，现在在首位，此时要与置换的第位上的数可能为，1a3abbb61，有种选择；设与置换的为，则此时在首位，那么此时与置换的数组成为，ab2bccc1a，只有 种选择；设为，那么最后只能是与 置换.所以要进行次置换共有bc1dd14种方法，那么共有个数可以进行四次置换.432 124 24另解：也可以反过来考虑，进行次置换后，四个数分别在第，位上，423452345那么 只能在首位上，故经过次置换后得到的数必定是.与，中的某个数置换141234512345一次有种选择，这个数与其它的 个数置换有 种选择也可以得到符合条件的数有433个.432 124 【答案】个24【例例 7】将将 1332，332，32，2 这四个数的这四个数的 10 个数码一个一个的划掉，要求先划位数最多的数的最小数码，个数码一个一个的划掉，要求先划位数最多的数的最小数码，共有多少种不同的划法？共有多少种不同的划法？【考点】复杂乘法原理 【难度】4 星 【题型】解答【解析】从小到大一步一步的分步划，遇到出现岔路的情况分类考虑从位数最多的 1332 开始：划掉 1332 中的 1，剩下 332，332，32，2 四个数；划掉位数最多的 332 中的 2，有 2 种不同的顺序，划掉后剩下 33，33，32，2 四个数；划掉 32 中的 2，剩下 33，33，3，2；两个 33 中，各划掉一个 3，有 42=8 种划掉的顺序，之后剩下 3，3，3，2 四个数；划掉 2 后，剩下 3，3，3，有 32=6 种划掉的顺序根据乘法原理，共有不同的划法：286=96 种7-2-2.较复杂的乘法原理.题库 教师版 page 5 of 9【答案】96 种【巩固巩固】一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉吃掉”另一另一个三位数，例如：个三位数，例如：532 吃掉吃掉 311，123 吃掉吃掉 123，但，但 726 与与 267 相互都不被吃掉问：能吃掉相互都不被吃掉问：能吃掉 678的三位数共有多少个？的三位数共有多少个？【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】即求百位数不小于6，十位数不小于7，个位不小于8 的自然数百位数不小于6，有 4 种；十位数不小于7，有3 种；个位不小于8，有2 种由乘法原理，能吃掉678 的三位数共有种43224【答案】24【例例 8】如果一个四位数与一个三位数的和是如果一个四位数与一个三位数的和是，并且四位数和三位数是由，并且四位数和三位数是由个不同的数字组成的，那个不同的数字组成的，那19997么，这样的四位数最多能有多少个？么，这样的四位数最多能有多少个？【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】四位数的千位数字是 由于这个四位数与三位数的相同位数上的数字之和小于，所以这个四位119数与三位数的相同位数上的数字之和均等于这两个数的其他数字均不能为 98四位数的百位数字可在、中选择(不能是 9)，有 7 种选择，这时三位数的a0234567百位数字是；四位数的十位数字可在剩下的个数字中选择，三位数的十位数字9ab6是四位数的个位数字可在剩下的个数字中选择，三位数的个位数字是因此，根据9bc49c乘法原理，这样的四位数有个764=168【答案】168【例例 9】用用 19 可以组成可以组成_个不含重复数字的三位数；如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是个不含重复数字的三位数；如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成，那么可以组成_个满足要求的三位数？个满足要求的三位数？【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】1)987=504 个2）504-（6+5+5+5+5+5+5+6）6-76=210 个；（减去有 2 个数字差是 1 的情况，括号里 8 个数分别表示这 2 个数是12，23，34，45，56，67，78，89 的情况，6 是对 3 个数字全排列，76 是三个数连续的123、234、345、456、567、789 这 7 种情况）【答案】504；210【例例 10】用数字用数字各一个组成各一个组成 8 位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是 3 的倍数共有的倍数共有 1 8种组成方法种组成方法【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】走美杯【解析】中被三除余 1 和余 2 的数各有 3 个，被三整除的数有 2 个，根据题目条件可以推导，符合条件1 8的排列，一定符合“被三除所得余数以 3 位周期”，所以 8 个数字，第 1、4、7 位上的数被 3 除同余，第 2、5、8 位上的数被 3 除同余，第 3、6 位上的数被 3 除同余，显然第 3、6 位上的数被 3 整除，第 1、4、7 位上的数被 3 除可以余 1 也可以余 2，第 2、5、8 位上的数被 3 除可以余 2 可以余 1，余数的安排上共有 2 种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有（种）3!3!2!144方法【答案】144【例例 11】电子表用电子表用表示表示点点分，用分，用表示表示点点分，那么分，那么点到点到点之间电子表中出现无重点之间电子表中出现无重11:35113506:05652107-2-2.较复杂的乘法原理.题库 教师版 page 6 of 9复数字的时刻有复数字的时刻有_次次【考点】复杂乘法原理 【难度】4 星 【题型】解答【解析】根据题意，在 2 点到 10 点之间，表示小时数的二位数字前一位只能为 0，后一位可以为 29；表示分钟数的二位数字前一位可以为 05，后一位可以为 09，再考虑到无重复数字，当时间为 2点多、3 点多、4 点多或 5 点多时，每一种情况下，表示分钟数的两位数字中前一位有种624选择，后一位数字有种选择，此时有种可能，比如时，可以为1037472802:aba1，3，4，5，就剩下种可以选择所以这几种情况下共有种b1037284112类似分析可知，当时间为 6 点多、7 点多、8 点多、9 点多时，每种情况下都有种，共有5735种354140所以共种112140252【答案】252【巩固】一种电子表在一种电子表在 8 时时 31 分分 25 秒时显示为秒时显示为，那么从，那么从 7 时到时到 8 时这段时间里，此表的时这段时间里，此表的 5 个数字都个数字都25831：不相同的时刻一共有不相同的时刻一共有_个。个。【考点】复杂乘法原理 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 14 题【解析】设 A:BC是满足题意的时刻，有 A 为 8，B、D 应从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字中选择两个DE不同的数字，所以有种选法，而 C、E 应从剩下的 7 个数字中选择两个不同的数字，所以有26P种选法，所以共有=1260 种选法27P26P27P从 8 时到 9 时这段时间里，此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有 1260 个【答案】个1260模块二、车票问题【例例 12】北京到上海之间一共有北京到上海之间一共有 6 个站，车站应该准备多少种不同的车票？个站，车站应该准备多少种不同的车票？(往返车票算不同的两种往返车票算不同的两种)【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】京沪线上中间六个站连北京上海两站一共有 8 个站，不同的车票上起点站可以有 8 种，相同的起点站又可以配 7 种不同的终点站，所以一共要准备 87=56 种不同的车票【答案】56【巩固巩固】一条线段上除了两个端点还有一条线段上除了两个端点还有 6 个点，那么这段线段上可以有多少条线段？个点，那么这段线段上可以有多少条线段？【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】将这条线段看作是京沪线，点是车站，那么，每一条线段都对应两张来回车票，所以线段的总数是562=28 条线段【答案】28【巩固巩固】某次大连与庄河路线的火车，一共有某次大连与庄河路线的火车，一共有 6 个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】不同的车票上起点站可以有 6 种，相同的起点站又可以配 5 种不同的终点站，所以一共要准备种不同的车票6530【答案】30【巩固巩固】北京到广州之间有北京到广州之间有 10 个站，其中只有两个站是大站个站，其中只有两个站是大站(不包括北京、广州不包括北京、广州)，从大站出发的车辆可以，从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？7-2-2.较复杂的乘法原理.题库 教师版 page 7 of 9【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】京广线上一共有 12 个站，其中有四个大站，卧铺车的起点可以有四种，不同的起点站都可以配 11个不同的终点站，所以铁路局要准备 411=44 种不同的车票【答案】44模块三、排队问题【例例 13】奥运吉祥物中的奥运吉祥物中的个个“福娃福娃”取取“北京欢迎您北京欢迎您”的谐音：贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮如果在盒的谐音：贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮如果在盒5子中从左向右放子中从左向右放个不同的个不同的“福娃福娃”，那么，有，那么，有 种不同的放法种不同的放法5【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】希望杯【解析】可得（种）5432 1120 【答案】120【例例 14】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有和妮妮不相邻，共有()种不同的排法。种不同的排法。【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第 6 题【解析】贝贝在左、妮妮在右相邻的排法有 4321=24（种），贝贝在右、妮妮在左相邻的排法也有4321=24（种），总的排法 54321=120（种）。所以贝贝和妮妮不相邻的排法是 120-224=72（种）。【答案】种72【例例 15】一台晚会上有一台晚会上有 6 个演唱节目和个演唱节目和 4 个舞蹈节目问：个舞蹈节目问：如果如果 4 个舞蹈节目要排在一起，有多少种不个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序同的安排顺序?如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序排顺序?【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】仁华学校【解析】将 4 个舞蹈节目视为 1 个节目，七个节目一起排列一共有个，但舞蹈765432 15040 节目还有种排列所以一共有种432 124 504024120960优先安排将 6 个演唱节目顺序，一共有种方法，然后将 4 个舞蹈节目按顺序65432 1720 安插到 6 个演唱节目前后不同位置，包括首尾一共有个位置可供 4 个舞蹈节目安插，共有617 个安插方式，所以一共有种排列方式7654840 720 840604800【答案】604800【例例 16】新新年年联联欢欢会会共共有有8个个节节目目，其其中中有有3个个非非歌歌唱唱类类节节目目。排排列列节节目目单单时时规规定定，非非歌歌唱唱类类节节目目不不相相邻邻，而而且且第第一一个个和和最最后后一一个个节节目目都都是是歌歌唱唱类类节节目目。则则节节目目单单可可有有 种种不不同同的的排排法法。【考点】复杂乘法原理 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第 10 题【解析】方法一：乘法原理：第一步：先从 5 个歌唱节目里选出 2 个排在最左面和最右面，共有（种）；2520P 第二步：将非歌唱类打包当成一个节目，此时中间共需排列 3+1，对他们进行排列有：（种）；4424P 第三步：对打包后的非歌唱类节目进行全排列，有（种）336P 7-2-2.较复杂的乘法原理.题库 教师版 page 8 of 9分步，共有：（种）。2435432880P P P 方法二：第一步：将 5 个歌唱类节目进行全排列，有（种）；55120P 第二步：使用插板法，中间有 4 个空格，将相邻的 3 个非歌唱类节目插入，这 3 个非歌唱类节目也要进行全排列，则有：则有（种）。所以共有：（种）334324C P 5335432880P C P【答案】种2880【例例 17】爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶。若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶。若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法方法?【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第 4 题【解析】方法一：第一人落座后，考察左邻的人，有 3 种选择，第二人落座后，考察左邻的人有 3 种选择，所以共有 32=6 种选择。方法二：第一人落座有 4 个位置可选，第一人落座后，坐在他的左面的有三种情况，而每种情况另一人的左邻又有两种，所以共有 43224 种方法，但由于是圆桌，只考虑相邻情况，不考虑具体坐在哪一面，所以只有 2446 种入座方法。【答案】种6【例例 18】四对夫妇围一圆桌吃饭，要求每对夫妇两人都要相邻，那么一共有多少安排座位的方法？四对夫妇围一圆桌吃饭，要求每对夫妇两人都要相邻，那么一共有多少安排座位的方法？(如果某如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种)【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】方法一：事实上如果没有括号中的条件，那么所得的答案是原题答案的八分之一，因为符合原题的所有不同排法都通过旋转可以得到 8 种各不相同的安排方法所以可以先求出改掉括号中条件的题目答案对于改编后的题，显然所有的安排方法分为两大类，如右图所示，每个椭圆中是一对，对于其中的一类，例如右图，第一步，确定 1 号位的人选：8 种，那么 2 号位只能是他(她)的妻子(丈夫)；第二步确定 3 号位的人选：6 种，那么 4 号位只能是坐 3 号位的妻子或丈夫，如此，对于右图可以有种排法，同理左图也有 384 种排法，一共是 768 种排法那么对于有8642384 括号中条件的题目一共有种排法768896所以用的小长方形形覆盖的方格网，共有 13 种不同的盖法1 33 81234567887654321方法二：由于括号中的条件让人很为难，对于一种新的排法，还要将它旋转，看它是否和之前的排法是否相同，当然也可以将所有排法都转到一个特殊的角度，以判断这些排法是否有相同的，所以可以定义一个特殊角度：先将四对夫妇编号，然后规定对于每一种排法 1 号夫妇面南坐是它的特殊角度，那么如果两种排法都转到特殊角度后，还不完全一样，那么这两种排法就无论如何也不能通过旋转得到相同的排法，所以只要求出特殊角度下的不同排法数，第一步先将 4 对夫妻的整体位置安排好，当然 1 号夫妻已经排好了，安排另 3 对夫妻一共有种排法，如图所示：32 16 7-2-2.较复杂的乘法原理.题库 教师版 page 9 of 9143214231342132412434321对于以上每一种排法，夫妻之间都可以交换位置，所以一共有种排法6222296 【答案】96【巩固巩固】3 个个 3 口之家在一起举行家庭宴会，围一桌吃饭，要求一家人不可以被拆开，那么一共有多少种排口之家在一起举行家庭宴会，围一桌吃饭，要求一家人不可以被拆开，那么一共有多少种排法？法？(如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种)【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】使用原题的方法二会更方便：共种(2 1)(32 1)(32 1)(32 1)432 【答案】432【例例 19】编号为编号为 1 到到 10 的十张椅子顺时针均匀地绕圆桌一圈摆放的十张椅子顺时针均匀地绕圆桌一圈摆放5 对夫妇入座，要求男女相隔而坐，每对夫妇入座，要求男女相隔而坐，每对夫妇不能相邻或对面而坐，有对夫妇不能相邻或对面而坐，有 种入座的分配方式种入座的分配方式10987654321【考点】复杂乘法原理 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】日本小学算术奥林匹克，初赛【解析】假设有位丈夫坐在 1 号位，那么所有的丈夫都坐在奇数号位，妻子则坐在偶数号位由于妻子不能与丈夫相邻和相对，所以她不能坐在 2，6，10 号位上，只能坐在 4 号位或 8 号位上也就是说妻子只能坐在丈夫的顺时针或者逆时针方向数第 3 个位子上可以发现，丈夫和妻子的位子的这一关系对每一对夫妇和每一个座位都适用对于其中的某一个丈夫，他可以坐在 1 到 10 号的任意一个位子上，有 10 种选择不妨设他坐在 1 号位上，那么他的妻子只能坐在 4 号位或 8 号位上假如坐在 4 号位上，那么对于坐在 7 号位上的丈夫，他的妻子只能坐在 10 号位上；而对于坐在 3 号位上的丈夫，他的妻子只能坐在 6 号位上；那么对于坐在 9 号位上的丈夫，他的妻子只能坐在 2 号位；对于坐在 5 号位上的丈夫，他的妻子只能坐在 8 号位可见，只要一对夫妇的位置确定，那么其他 4 对夫妇的位置关系也就确定了，也就是说，只要确定了其他 4 位丈夫的座位，那么整个座位分配就确定了由于 4 位丈夫之间的位置关系是不确定的，所以有种4!24同样地，如果坐 1 号位的丈夫的妻子坐在 8 号位上，也有 24 种所以这名丈夫坐在 1 号位上共有种24248那么这名丈夫坐在其它位置上也各有 48 种由于每个座位都是编过号的，各个座位互不相同，每一名丈夫和妻子也都不相同，所以不会出现重复的情况，所以满足题意的分配方式有种48 10480【答案】480