5.1-空间解析几何简介.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一节 空间解析几何简介,第五章 多元函数的微积分学,由于多元函数的自变量依赖于多个变量的变化，故我们需引入空间直角坐标系。,在空间任意选取一点,O,过点,O,引,三条互相垂直的数轴,Ox,Oy,Oz.,并按右手规则(如图),规定,Ox，,Oy,Oz,的正方向,即沿,Ox,轴到,Oy,轴方向握住,Oz,轴,此时拇指指向,Oz,轴的正方向.再规定一个长度单位.这时就建立了一个空间直角坐标系.其中,点,O,称为坐标原点,Ox,Oy,Oz,称为坐标轴,并分别称为,x,轴,y,轴,z,轴。,每两条坐标轴确定一个平面,称为坐标平面,分别称为,xy,yz,zx,平面.三个坐标平面将空间分为8个部分,称为8个卦限.把含有,x,轴正向,y,轴正向,z,轴正向的那个卦限称为第一卦限.,设,M,为空间的任意一点,过点,M,分别作垂直于三个坐标轴的平面,这三个平面分别与三个坐标轴交于,P,Q,R,三点.,设,OP=,OQ=,OR=,则点,M,唯一确定了一个三元有序数组,于是,空间任意一点,M,与一个三元有序数组 建立了一一对应关系.称这个三元有序数组为点,M,的坐标,记为,M,.,称横坐标，称纵坐标，称竖坐标,。,反之,对任意一个三元有序数组,在,x,y,z,三个轴上分别取点,P,Q,R,使,OP=,OQ=,OR=,然后过,P,Q,R,三点分别作垂直于,x,y,z,轴的平面,这三个平面相交于一点,M,则由一个三元有序数组 又唯一地确定了空间的一个点,M.,坐标原点的坐标为(0,0,0);,x,轴上点的坐标为(,x,0,0);y,轴,上点的坐标为(0,y,0);z,轴上点的坐标为(0,0,z);,xy,平面上点,的坐标为(,x,y,0);,yz,平面上点的坐标为(0,y,z);,zx,平面上点,的坐标为(,x,0,z).,可以证明,空间任意两点 ,之间的距离公式为:,特别地,空间任意一点,M(x,y,z),与坐标原点,O(0,0,0),之间,的距离 公式为:,如果点 ,均位于,xy,平面上,即,则得到,我们已知的,xy,平面上任意两点之间的距离公式,5.1.2 空间任意两点间的距离,与平面解析几何中建立曲线与方程的对应关系一样,可以建立空间曲面与包含三个变量的方程,F(x,y,z)=0,的,对应关系.,如果有一个曲面,S,与,一个三元方程,F(x,y,z)=0，,它们满足,如下条件,1)曲面,S,上任意一点的坐标都满足方程,F(x,y,z)=0;,2),不在曲面,S,上的点的坐标都不满足方程,F(x,y,z)=0.,那么曲面,S,称为方程,F(x,y,z)=0,的图形,而方程,F(x,y,z)=0,称为曲面,S,的方程.,以下我们只介绍平面和几种常见的曲面及其方程.,5.1.3 空间曲面与方程,1.平面,平面是空间中最简单且最重要的曲面.,例5.1.2,作,z=c(c,是常数)的图形.,解,方程,z=c,中不含,x,y,这说明,x,y,取任何值时,总有,z=c,其图形为距离,xOy,平面|,c|,个单位,且平行于,xOy,平面的平面.,此平面可由,xOy,平面向上(,c0),或向下(,c0),平行移动|,c|,个,单位而得到.,例5.1.3,求到两定点,(1,-1,1)与 (2,1,-1),等距离的点,M(x,y,z),的轨迹方程.,解,由于,所以,化简得点,M,的轨迹方程为,2,x+4y-4z-3=0.,从立体几何中知,所求轨迹应为线段 的中垂面,此,平面的方程为上面的三元一次方程.,前面两个例子所讨论的方程都是三元一次方程,所考察的图形都是平面.可以证明平面的一般方程为,Ax+By+,Cz,+D=0,其中,A,B,C,D,均为常数,且,A,B,C,不全为零.,空间中的两个平面相交得一直线。因此，联立两个三元,一次方程就表示这条直线。该方程组就是这条直线的方程,。,2.柱面,直线,L,沿给定曲线,C,平行移动所形成的曲面,称为柱面.,动直线,L,称为柱面的母线,定曲线,C,称为柱面的准线.,例5.1.4,作方程 的图形,.,(1)圆柱面,(2)抛物柱面,例5.1.5,方程 表示母线平行于,z,轴,准线是,xOy,平,面上抛物线 的抛物柱面.,抛物柱面,例5.1.6,求球心为点,半径为,R,的球面方程.,3.球面,4.旋转抛物面,例5.1.7,函数 的图形是一个旋转抛物面.,x,y,z,o,5.双曲抛物面,例5.1.7 函数 的图形是一个双曲抛物面,也称马鞍面。,x,y,z,o,1.平面区域,在,xOy,平面上,平面区域是指整个,xOy,平面或在,xOy,平面,上由一条或几条曲线围成的部分,围成区域的曲线称为该,区域的边界,包括边界在内的平面区域称为闭区域;不包括,边界在内的区域称为开区域;包括部分边界在内的区域称,为半开区域.如果区域延伸到无限远处,则称这个区域为无,界区域.否则,称为有界区域.,2.邻域,5.1.4 平面区域的概念,设 为,xOy,平面上一定点,为正数.以 为圆心,为半径的开圆域,称为点 的,-,邻域.,