微积分第四章习题课.ppt

*,第四章 定 积 分 与 不 定 积 分,习 题 课,主要内容,典型例题,1,问题,1:,曲边梯形的面积,问题,2:,变速直线运动的路程,存在定理,反常积分,定积分,定积分,的性质,定积分的,计算法,牛顿,-,莱布尼茨公式,一、主要内容,2,内容为微分的逆运算,不定积分法,.,1.,基本概念,2.,计算,(1),基本积分法,第一换元积分法又叫凑微分法,.,凑,第二换元积分法又叫代换法,.,换,2),分部积分法,关键是要恰当选取,u,和,d,v,.,1),换元积分法,原函数与不定积分,.,3,(2),特殊类型函数的积分,1),有理函数积分,2),三角函数有理式积分,3),简单无理函数的积分,有理函数积分是关键,一定要很好掌握,.,一方面,另一方面,注,有理函数的原函数都是初等函数,;,三角函数有理式,无理函数的积分,最后总是归结为一个有理函数的积分,.,4,特殊形式的定积分计算,1.,对称区间上的积分,考察被积函数是否为奇偶函数,注意,用奇偶函数,的“特性”处理,.,2.,分段函数的积分,认清积分限是被积函数定义域的哪个区间,的端点,然后按段积分求和,.,3.,周期函数的定积分,周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等,.,4.,被积函数中含有“积分上限的函数”的积分,用分部积分法做,将积分上限的函数取作,u.,5,二、典型例题,例,解,6,例,解,7,例,解,(,倒代换,),8,例,解,9,例,解,10,例,解,11,例,解,12,解,例,分项,13,例,解,更为复杂,取,14,例,解,分子分母同除以,15,例,解,16,17,18,例,解,对方程两边求导得,19,选择题,1.,下列等式中正确的是,D,D,20,例,计算,解,分析,被积函数含有抽象因子的积分,通常是,用奇偶性积分的“特性”处理,.,下面证明,为奇函数,.,令,则,又,即,可知,为奇函数,.,于是,有,且对任何,上连续,在,设,y,x,x,f,),(,),(,+,-,),(,),(,),(,y,f,x,f,y,x,f,+,=,+,),0,(,),(,),(,f,x,f,x,f,+,=,0,),0,(,=,f,),(,),(,),(,x,f,x,f,x,x,f,-,+,=,-,+,0,),(,),(,=,-,+,x,f,x,f,21,例,解,22,例,解,23,例,24,例,解,25,例,解,计算定积分,令,26,例,解,27,例,解,则,28,例,解,设,则,满足关系,:,29,例,解,而其中,30,证明,(1),是偶函数,则,也是偶函数,;,(2),是单调递减,则,也是单调递减,.,例,证,(1),由于,也是偶函数,;,则,31,证明,(2),是单调递减,也是单调递减,.,例,则,证,积分中值定理,(2),32,例,利用闭区间上连续函数的性质,证明存在一点,证,最值定理,有最大值,M,和最小值,m,介值定理,即证,.,33,因为,时,所以,利用,夹逼准则,得,例,解,此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项,.,注,如,:,证明,34,有关不等式的问题,:,1.,利用定积分性质证明不等式,(,比较,估值,中值定理等,),例,证明,证明：,35,例,证法一,证法二,36,例,证,作辅助函数,2.,利用单调性证明不等式,构造变上限辅助函数,37,2,),(,),(,d,d,),(,),(,a,x,t,f,t,t,t,f,x,F,x,a,x,a,-,-,=,38,练习,39,3.,利用求最值方法证明积分不等式,例,证明,40,4.,判别式法证,明积分不等式,例,证明,得证,.,证法二,41,例,解,(1),42,(2),43,