导数解答题的解法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,导数解答题的解法,试题特点,主要特点,(1),导数是中学选修内容中最为重要的内容，导数为解决函数问题、曲线问题提供了一般性的方法，由于导数可与函数、不等式等许多知识进行整合，有利于在“知识网络交汇点”处命题，合理设计综合多个知识点的试题，考查分类整合、数形结合等数学思想方法，因此，近几年来加大了导数的考查力度,.,主要有如下几方面：,应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性；,应用导数求函数的极值与最值；,应用导数解决实际问题,.,应用导数解决有关不等式问题,.,应试策略,1.,求导数有两种方法,:,一是利用导数定义,;,二是利用基本函数的导数公式、四则运算法则及复合函数的求导法则求导，常用后一种方法,.,2.,要重视导数在研究函数问题或实际问题时的应用,.,(1),求可导函数单调区间的方法：,确定函数,f,(,x,),的定义域,;,求方程,f,(,x,)=0,的解，这些解和,f,(,x,),的间断点把定义,域分成若干区间；,研究各小区间上,f,(,x,),的符号，,f,(,x,),0,时，该区间为增区间,反之则为减区间,.,应试策略,(2),求函数极值点时，可能出现极值的点是,f,(,x,)=0,或使,f,(,x,),不存在的点，注意,f,(,x,)=0,不是有极值的充分条件,.,(3),连续函数在闭区间上必有最值，求最值时不要忘记极值与端点处的函数值的大小比较,.,(4),解最值应用题时，要认真审题，分析各量的关系，列出函数,y,=,f,(,x,),并确定定义域，然后按照步骤求函数的最值，最后根据,实际意义作答,.,若,f,(,x,),在定义域区间上只有一个极值点，则这个极,值点一定是最值点,.,考题剖析,1.,已知抛物线,y,=,x,2,4,与直线,y,=,x,+2,相交于,A,、,B,两点，过,A,、,B,两点的切线分别为,l,1,和,l,2,.,（,1,）求,A,、,B,两点的坐标；,（,2,）求直线,l,1,与,l,2,的夹角,.,分析,理解导数的几何意义是解决本例的关键,.,考题剖析,解析,（,1,）由方程组,解得,A,(,2,，,0),，,B,(3,，,5),（,2,）由,y,=2,x,，则,y,|,x,=,2,=,4,，,y,|,x,=3,=6.,设两直线的夹角为,，根据两直线的夹角公,式，,tan,=,所以,=,arctan,点评,本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该,点物线的切线,.,注意两条直线的夹角公式有绝对,值符号,.,2,.,已知函数,f,(,x,)=,ax,3,+,bx,2,+,cx,在点,x,0,处取得极小值,4,，使其导,函数,f,(,x,),0,的,x,的取值范围为（,1,，,3,），求：,（,1,）,f,（,x,）的解析式；,（,2,）,f,（,x,）的极大值；,（,3,）,x,2,，,3,，求,g,(,x,)=,f,(,x,)+6(,m,2),x,的最大值,.,考题剖析,解析,（,1,）由题意得：,f,(,x,)=3,ax,2,+2,bx,+,c,=3,a,(,x,1)(,x,3)(,a,0),在（,，,1,）上，,f,(,x,),0,；,在（,1,，,3,）上，,f,(,x,),0,；,在（,3,，,+,）上，,f,(,x,),0,；,因此，,f,（,x,）在,x,0,=1,处取得极小值,4,a,+,b,+,c,=,4,联立得：,f,（,x,）,=,x,3,+6,x,2,9,x,考题剖析,（,2,）由（,1,）知,f,（,x,）在,x,=3,处取得极大值为：,f,（,3,）,=0,（,3,）,g,(,x,)=,3(,x,1),（,x,3,）,+6(,m,2),x,=,3(,x,2,2,mx,+3),当,2,m,3,时，,g,(,x,),max,=,g,(,m,)=,3(,m,2,2,m,2,+3)=3,m,2,9;,当,m,2,时，,g,（,x,）在,2,，,3,上单调递减，,g,(,x,),max,=,g,(2)=12,m,21,当,m,3,时，,g,（,x,）在,2,，,3,上单调递增，,g,(,x,),max,=,g,(3)=18,m,36,考题剖析,点评,本题求解需要准确理解极值的含义以及方程零点与,不等式解的关系,.,3,.,已知函数,f,(,x,)=,x,3,+,ax,2,(2,a,+3),x,，,其中,a,0.,（,）求,f,(,x,),的单调区间；,（,）设,m,0,，若,f,(,x,),在闭区间,m,m,+1,上的最小值,为,3,，最大值为,0,，求,m,a,的值,.,考题剖析,解析,（,）,f,(,x,)=3,x,2,+2,ax,(2,a,+3),，,令,f,(,x,)=0,得,x,1,=1,x,2,=,a,0,x,2,1,x,x,2,时,f,(,x,),0,，,x,2,x,x,1,时,f,(,x,),0,，,x,x,1,时，,f,(,x,),0.,所以,f,(,x,),在,(,1,+,),上是增函数，,在,(,1),上是减函数,.,考题剖析,考题剖析,（,）因为,m,0,所以,m,+1,1,，由（,1,）的单调区间得：,当,0,m,1,时，,m,+1,(1,2),，,f,(,x,),min,=,f,(1)=,3,a,=1,，,此时,f,(,x,)=,x,3,+,x,2,5,x,从而,f,(,m,)=,m,(,m,2,+,m,5),0,，所以,f,(,x,),max,=,f,(,m,+1)=0,m,=,，,此时,f,(,m,)=,m,(,m,2,+,m,5)=,2,m,(,m,+1),(,3,0),，适合,.,考题剖析,当,m,1,时，,f,(,x,),在,m,m,+1,上是增函数，,所以最小值,f,(,m,)=,m,(,m,2,+,am,2,a,3)=,3,（,*,）,最大值,f,(,m,+1)=(,m,+1),(,m,+1),2,+,a,(,m,+1),(2,a,+3),=0,，,即,m,2,+,am,(2,a,+3)=,2,m,1,a,，,代入（,*,）得,m,(2,m,+1+,a,)=,3,即,m,(2,m,+1+,a,)=3,，,m,1,a,0,m,(2,m,+1+,a,),3,所以,a,m,不存在,.,综上所述知：,m,=,a,=1,考题剖析,点评,本题考查导数的应用，求单调性，求函数的单调递,增区间，即为解不等式,f,(,x,),0,单调递减区间,即为,解不等式,f,(,x,),0,但已知函数在某区间上单调递增,则有,f,(,x,),0,单调递减则为,f,(,x,),0.,考题剖析,4,.,已知函数,f,(,x,)=,ax,3,+3,x,2,6,ax,+,b,，,g,(,x,)=3,x,2,+6,x,+12,，,h,(,x,)=,kx,+9,，又,f,(,x,),在,x,=2,处取得极值,9,.,(1),求,a,、,b,的值；,(2),如果当,x,2,，,+,),时，,f,(,x,),h,(,x,),g,(,x,),恒成,立，求,k,的取值范围,.,解析,(1),f,(,x,)=3,ax,2,+6,x,6,a,由已知,解得,a,=,2,，,b,=,11,考题剖析,考题剖析,(2),由,h,(,x,),g,(,x,),得：,kx,3,x,2,+6,x,+3,当,x,=0,时，不等式恒成立,当,2,x,0,时，不等式为,k,3(,x,+)+6,而,3(,x,+)+6=,3,(,x,)+(,),+6,0,，,要,式恒成立，则,k,0,当,x,0,时，不等式为,k,3(,x,+)+6,而,3(,x,+)+6,12,，,要,恒成立，则,k,12,当,x,2,，,+,),时，,h,(,x,),g,(,x,),恒成立，,则,0,k,12,由,f,(,x,),h,(,x,),得：,kx,+9,2,x,3,+3,x,2,+12,x,11,当,x,=0,时，,9,11,恒成立,当,2,x,0,时，,k,2,x,2,+3,x,+12,=,2(,x,),2,+,令,t,(,x,)=,2(,x,),2,+,，,当,2,x,0,时，,t,(,x,),是增函数，,t,(,x,),t,(,2)=8,要,f,(,x,),h,(,x,),在,2,x,0,恒成立，则,k,8,考题剖析,考题剖析,由上述过程可知，只要考虑,0,k,8,f,(,x,)=,6,x,2,+6,x,+12=,6(,x,+1)(,x,2),当,x,(0,，,2,时，,f,(,x,),0,，,当,x,(2,，,+,),时，,f,(,x,),0,故,f,(,x,),在,x,=2,时有极大值，,即,f,(,x,),在,x,=2,时有最大值,f,(2)=9,，即,f,(,x,),9,又当,k,0,时，,h,(,x,),是增函数，,当,x,0,，,+,),时，,h,(,x,),9,，,f,(,x,),h,(,x,),成立,综上，,f,(,x,),h,(,x,),g,(,x,),恒成立时,k,的取值范围是,0,k,8,5,.,已知函数,f,(,x,)=,ax,3,+,bx,2,3,x,其图象,在横坐标为,1,的两点处的切线均与,x,轴平行，,（,1,）求函数,f,(,x,),的解析式；,（,2,）对于区间,1,，,1,上任意两个自变量的值,x,1,x,2,，都有,|,f,(,x,1,),f,(,x,2,)|,k,，试求,k,的最小值；,（,3,）若过点,A,（,1,，,m,）（,m,2,）可且仅可作曲线,y,=,f,(,x,),的,一条切线，求实数,m,的取值范围,.,考题剖析,考题剖析,解析,（,1,）,f,(,x,)=3,ax,2,+2,bx,3,，,依题意，,f,(1)=,f,(,1)=0,即 ，解得,a,=1,b,=0.,f,(,x,)=,x,3,3,x,.,考题剖析,（,2,）,f,(,x,)=,x,3,3,x,f,(,x,)=3,x,2,3=3(,x,+1)(,x,1),当,1,x,1,时，,f,(,x,),0,，,故,f,(,x,),在区间,1,1,上为减函数，,f,(,x,),max,=,f,(,1)=2,f,(,x,),min,=,f,(1)=,2,对于区间,1,，,1,上任意两个自变量的值,x,1,x,2,都有,|,f,(,x,1,),f,(,x,2,)|,|,f,(,x,),max,f,(,x,),min,|,|,f,(,x,1,),f,(,x,2,)|,|,f,(,x,),max,f,(,x,),min,|,2,(,2)=4.,即,|,f,(,x,1,),f,(,x,2,)|,max,=4.,k,4,k,的最小值为,4,考题剖析,（,3,）,f,(,x,)=3,x,2,3=3(,x,+1)(,x,1),曲线方程为,y,=,x,3,3,x,，,点,A,（,1,，,m,）不在曲线上,.,设切点为,M,（,x,0,y,0,），,则点,M,的坐标满足,y,0,=,3,x,0,因,f,(,x,0,)=3(,1),，,故切线的斜率为,k,=3(,1)=,k,AM,=,整理得,2,3 +,m,+3=0,（注：也可以先写出切线方程，然后将点,A,的坐标代入,得到左式）,过点,A,（,1,，,m,）仅可作曲线的一条切线，,关于,x,0,方程,2,3 +,m,+3=0,有且仅有一个实根，,考题剖析,设,g,(,x,0,)=2,3 +,m,+3,，则,g,(,x,0,)=6,6,x,0,，,从,g,(,x,0,),0,得,x,0,1,或,x,0,0,从,g,(,x,0,),0,得,0,x,0,1,函数,g,(,x,0,)=2,3 +,m,+3,在区间,(,，,0),和,(1,，,+,),为增函数，在,(0,，,1),上为减函数，,g,(,x,0,),的极大、极小值点分别为,x,0,=0,x,0,=1,不是单调函数，关于,x,0,方程,2,3 +,m,+3=0,有且仅,有一个实 根的充要条件是：,g,(,x,),极大,=,g,(0)=,m,+3,0,m,3,或,g,(,x,),极小,=,g,(1)=2+,m,0,m,2,故所求的实数,a,的取值范围是,m,|,m,3,或,m,2,点评,只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概,念解题,.,解决这类问题的关键是等价变形，使,极限式转化为导数定义的结构形式,.,考题剖析,6,.,设三次函数,h,(,x,)=,px,3,+,qx,2,+,rx,+,s,满足下,列条件,:,h,(1)=1,h,(,1)=,1,在区间（,1,，,1,）上分别取得,极大值,1,和极小值,1,，对应的极点分别为,，,.,(1),证明：,+,=0,；,(2),求,h,（,x,）的表达式；,(3),已知三次函数,f,(,x,)=,ax,3,+,bx,2,+,cx,+,d,在（,1,，,1,）上满足,1,f,(,x,),1.,证明当,|,x,|,1,时，有,|,f,(,x,)|,|,h,(,x,)|.,考题剖析,考题剖析,解析,（,1,）证明：由,h,(1)=1,h,(,1)=,1,得,q,+,s,=0,r,+,p,=1,h,(,x,)=,px,3,sx,2,+(1,p,),x,+,s,h,(,x,)=3,px,2,2,sx,+1,p,因为（,1,，,1,）内有两极值且,h,(1)=1,所以有,p,0,h,(,)+,h,(,)=,p,(,3,+,3,),s,(,2,+,2,)+(1,p,)(,+,)+2,s,=0 (*),又由韦达定理得,+,=,，即,s,=,p,(,+,),代入,(*),中得,(,+,),p,(,+,),2,+1+2,p,=0,因为,p,0,+,（,2,，,2,）,所以,p,(,+,),2,+1+2,p,1,所以有,+,=0.,考题剖析,（,2,）由,+,=0,得,s,=0,，,q,=0,所以,h,(,x,)=,px,3,+(1,p,),x,，又,h,(,)=1,h,(,)=0,消去,p,得,(2,+1)(,1),2,=0,所以有,=,p,=4.,所以有,h,(,x,)=4,x,3,3,x,考题剖析,（,3,）证明：因为,|,x,|,1,时,|,f,(,x,)|,1,所以有,|,f,(1)|,1,|,f,(,1)|,1,令,F,(,x,)=,h,(,x,)+,f,(,x,),，,G,(,x,)=,h,(,x,),f,(,x,).,则有,F,(1)=1+,f,(1),0,F,()=,1+,f,(),0,F,(,)=1+,f,(,),0,F,(,1)=,1+,f,(,1),0.,考题剖析,所以有,F,（,x,）在,(,1,1),内有极大值和极小值，,当,x,1,时，,F,(,x,),0,当,x,1,时，,F,(,x,),0,同理有：,G,(1)=1,f,(1),0,G,()=,1,f,(),0,G,(,)=1,f,(,),0,G,(,1)=,1,f,(,1),0,所以有,G,（,x,）在,(,1,1),内有极大值和极小值，,当,x,1,时，,G,(,x,),0,当,x,1,时，,G,(,x,),0,所以当,|,x,|,1,时，有,F,(,x,),G,(,x,),0,即,h,2,(,x,),f,2,(,x,),即,|,h,(,x,)|,|,f,(,x,)|.,