全国通用中考数学复习第三章变量与函数3.4二次函数试卷部分.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2014,2018,年全国中考题组,考点一二次函数的图象与性质,五年中考,1,.(2018,山西,9,3,分,),用配方法将二次函数,y,=,x,2,-8,x,-9,化为,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,的形式为,(,),A.,y,=(,x,-4),2,+7,B.,y,=(,x,-4),2,-25,C.,y,=(,x,+4),2,+7,D.,y,=(,x,+4),2,-25,答案,B,y,=,x,2,-8,x,-9=,x,2,-8,x,+16-16-9=(,x,-4),2,-25,故选,B.,2.,(2018,天津,12,3,分,),已知抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,b,c,为常数,a,0),经过点,(-1,0),(0,3),其对称轴在,y,轴右侧,.,有下列结论,:,抛物线经过点,(1,0);,方程,ax,2,+,bx,+,c,=2,有两个不相等的实数根,;,-3,a,+,b,0.,a,0.,把点,(-1,0),(0,3),分别代入,y,=,ax,2,+,bx,+,c,得,a,-,b,=-3,b,=,a,+3,a,=,b,-3.-3,a,0,0,b,3.-3,a,+,b,3.,故正确,.,故选,C.,3,.(2018,四川成都,10,3,分,),关于二次函数,y,=2,x,2,+4,x,-1,下列说法正确的是,(,),A.,图象与,y,轴的交点坐标为,(0,1),B.,图象的对称轴在,y,轴的右侧,C.,当,x,0,时,y,的值随,x,值的增大而减小,D.,y,的最小值为,-3,答案,D,因为,y,=2,x,2,+4,x,-1=2(,x,+1),2,-3,所以,当,x,=0,时,y,=-1,选项,A,错误,;,该函数图象的对称轴是,直线,x,=-1,选项,B,错误,;,当,x,0),的顶点,M,关于坐标原点,O,的对称点为,M,.,若点,M,在这条抛物线上,则点,M,的坐标为,(,),A.(1,-5),B.(3,-13),C.(2,-8),D.(4,-20),答案,C,y,=,x,2,-2,mx,-4=(,x,-,m,),2,-,m,2,-4,则顶点,M,的坐标为,(,m,-,m,2,-4),M,的坐标为,(-,m,m,2,+4),点,M,在抛物线上,m,2,+2,m,2,-4=,m,2,+4,m,2,=4.,m,0,m,=2,M,(2,-8),故选,C.,5.,(2017,天津,12,3,分,),已知抛物线,y,=,x,2,-4,x,+3,与,x,轴相交于点,A,B,(,点,A,在点,B,左侧,),顶点为,M,.,平移该,抛物线,使点,M,平移后的对应点,M,落在,x,轴上,点,B,平移后的对应点,B,落在,y,轴上,.,则平移后的抛物,线解析式为,(,),A.,y,=,x,2,+2,x,+1,B.,y,=,x,2,+2,x,-1,C.,y,=,x,2,-2,x,+1,D.,y,=,x,2,-2,x,-1,答案,A,令,y,=0,则,x,2,-4,x,+3=0,解得,x,1,=1,x,2,=3,A,(1,0),B,(3,0).,y,=,x,2,-4,x,+3=(,x,-2),2,-1,点,M,的坐标为,(2,-1),平移该抛物线,使点,M,平移后的对应点,M,落在,x,轴上,点,B,平移后的对应点,B,落在,y,轴上,抛物线向上平移了,1,个单位长度,向左平移了,3,个单位长度,平移后的抛物线解析式为,y,=(,x,+1),2,=,x,2,+2,x,+1,故选,A.,解题关键,正确得出平移的方向和距离是解题的关键,.,6.,(2017,黑龙江哈尔滨,4,3,分,),抛物线,y,=-,-3,的顶点坐标是,(,),A.,B.,C.,D.,答案,B,抛物线,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,的顶点坐标为,(,h,k,),抛物线,y,=-,-3,的顶点坐标为,.,故选,B.,7.(,2016,四川南充,5,3,分,),抛物线,y,=,x,2,+2,x,+3,的对称轴是,(,),A.,直线,x,=1,B.,直线,x,=-1,C.,直线,x,=-2,D.,直线,x,=2,答案,B,抛物线的对称轴为直线,x,=-,=-,=-1,故选,B.,8,.(2017,上海,13,4,分,),已知一个二次函数的图象开口向上,顶点坐标为,(0,-1),那么这个二次函数,的解析式可以是,.(,只需写一个,),答案,y,=,x,2,-1(,答案不唯一,),解析,依题意,设二次函数的解析式为,y,=,ax,2,-1(,a,0),因为抛物线的开口向上,所以,a,取正数即可,.,9.(,2017,甘肃兰州,18,4,分,),如图,若抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+,c,上的,P,(4,0),Q,两点关于它的对称轴,x,=1,对称,则,Q,点的坐标为,.,答案,(-2,0),解析,P,Q,两点关于对称轴,x,=1,对称,则,P,Q,两点到对称轴,x,=1,的距离相等,设点,Q,的横坐标为,m,则,=1,解得,m,=-2.,Q,点的坐标为,(-2,0).,10,.(2016,山东青岛,20,8,分,),如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案,.,按照图中的直角,坐标系,最左边的抛物线可以用,y,=,ax,2,+,bx,(,a,0),表示,.,已知抛物线上,B,C,两点到地面的距离均为,m,到墙边,OA,的距离分别为,m,m.,(1),求该抛物线的解析式,并求图案最高点到地面的距离,;,(2),若该墙的长度为,10 m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案,?,解析,(1),由题意可知,B,C,代入,y,=,ax,2,+,bx,得,:,解得,y,=-,x,2,+2,x,=-(,x,-1),2,+1.,答,:,该抛物线的解析式是,y,=-,x,2,+2,x,图案最高点到地面的距离是,1 m.,(5,分,),(2),当,y,=0,时,-,x,2,+2,x,=0,x,1,=0,x,2,=2,10,2=5(,个,).,答,:,最多可以连续绘制,5,个抛物线型图案,.,(8,分,),考点二系数,a,、,b,、,c,的作用,1.,(2018,山东滨州,10,3,分,),如图,若二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),图象的对称轴为,x,=1,与,y,轴交于点,C,与,x,轴交于点,A,、点,B,(-1,0),则二次函数的最大值为,a,+,b,+,c,;,a,-,b,+,c,0;,b,2,-4,ac,0,时,-1,x,0,故错误,;,因为点,A,与点,B,关于直线,x,=1,对称,所以,A,(3,0),根据图象可知,当,y,0,时,-1,x,3,故正确,;,故选,B.,2,.(2017,四川成都,10,3,分,),在平面直角坐标系,xOy,中,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的图象如图所示,下列,说法正确的是,(,),A.,abc,0,B.,abc,0,b,2,-4,ac,0,C.,abc,0,b,2,-4,ac,0,b,2,-4,ac,0,又对称轴在,y,轴右侧,所以,-,0,所以,b,0,因为抛,物线与,y,轴交于负半轴,所以,c,0;,因为抛物线与,x,轴有两个交点,所以,b,2,-4,ac,0,故选,B.,思路分析,本题考查二次函数的图象与系数的关系,从抛物线的开口方向,对称轴,以及与,y,轴,的交点位置来判断,a,b,c,的符号,由抛物线与,x,轴的交点个数判断,b,2,-4,ac,的符号,.,3.(,2017,新疆乌鲁木齐,15,4,分,),如图,抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+,c,过点,(-1,0),且对称轴为直线,x,=1,有下列结,论,:,abc,0;,抛物线经过点,(4,y,1,),与点,(-3,y,2,),则,y,1,y,2,;,无论,a,b,c,取何值,抛物线都经过同一个点,;,am,2,+,bm,+,a,0.,其中所有正确的结论是,.,答案,解析,因为图象开口向上,所以,a,0;,因为对称轴为直线,x,=1,所以,-,=1,得,b,=-2,a,0;,因为抛物线,与,y,轴的交点在负半轴上,所以,c,0,错误,;,由题图可知抛物线与,x,轴交于点,(-1,0),且对称轴为直线,x,=1,所以抛物线与,x,轴的另一个交点为,(3,0),所以当,x,=3,时,y,=0,即,9,a,+3,b,+,c,=0,所以,10,a,+3,b,+,c,=,a,0,正确,;,由抛物线的对称性可知,点,(-3,y,2,),关于对称轴的对称点是,(5,y,2,),当,x,1,时,y,随,x,的增大而增大,因,为,45,所以,y,1,y,2,错误,;,由题意知抛物线的解析式可以为,y,=,a,(,x,+1)(,x,-3)=,ax,2,-2,ax,-3,a,结合,y,=,ax,2,+,bx,+,c,可知,c,=-3,a,即,-,=3.,当,x,=3,时,y,=,a,3,2,-2,a,3-3,a,=0,所以抛物线一定过点,(3,0),即过点,正确,;,因为,b,=-2,a,所以,am,2,+,bm,+,a,=,am,2,-2,am,+,a,=,a,(,m,-1),2,0,正确,.,综上所述,正确,.,考点三二次函数与方程、不等式之间的关系,1.,(2018,内蒙古呼和浩特,10,3,分,),若满足,2,成立,则,实数,m,的取值范围是,(,),A.,m,-1,B.,m,-5,C.,m,-4,D.,m,-4,答案,D,2,可变形为,2,x,2,-,x,-,m,作出函数,y,=2,x,2,-,x,-,m,y,=,的图,象,如图所示,易知抛物线的对称轴为直线,x,=,当,2,恒成立,即,2,x,2,-,x,-,m,恒成,立,只需抛物线与双曲线的交点的横坐标,x,即可,将,x,=,代入,y,=,得,y,=4,将,代入,y,=2,x,2,-,x,-,m,解得,m,=-4.,抛物线越往上平移越符合题意,m,-4.,2.,(2016,辽宁沈阳,10,2,分,),在平面直角坐标系中,二次函数,y,=,x,2,+2,x,-3,的图象如图所示,点,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),是该二次函数图象上的两点,其中,-3,x,1,x,2,0,则下列结论正确的是,(,),A.,y,1,y,2,C.,y,的最小值是,-3,D.,y,的最小值是,-4,答案,D,二次函数,y,=,x,2,+2,x,-3=(,x,+1),2,-4,图象的顶点坐标为,(-1,-4).,令,x,2,+2,x,-3=0,解得,x,1,=-3,x,2,=1,则二次函数,y,=,x,2,+2,x,-3,的图象与,x,轴的两个交点为,(-3,0),(1,0).,由,-3,x,1,x,2,0,及二次函数的图象,可知,y,1,y,2,的大小不能确定,选项,A,B,错误,;,y,min,=-4,选项,C,错误,故选,D.,评析,本题考查了二次函数的图象和性质,难度适中,.,3.(,2014,山东济南,15,3,分,),二次函数,y,=,x,2,+,bx,的图象如图,对称轴为直线,x,=1.,若关于,x,的一元二次,方程,x,2,+,bx,-,t,=0(,t,为实数,),在,-1,x,4,的范围内有解,则,t,的取值范围是,(,),A.,t,-1,B.-1,t,3,C.-1,t,8,D.3,t,8,答案,C,因为抛物线,y,=,x,2,+,bx,的对称轴为直线,x,=1,所以,b,=-2,则,y,=,x,2,-2,x,所以当,x,=1,时,y,有最小,值,-1,把,x,=-1,代入,x,2,-2,x,-,t,=0,得,t,=3.,把,x,=4,代入,x,2,-2,x,-,t,=0,得,t,=8.,所以当,-1,x,4,时,-1,t,8.,故当,-1,t,8,时,一元二次方程,x,2,+,bx,-,t,=0,在,-1,x,ax,2,+,bx,+,c,的解集是,.,答案,x,4,解析,观察函数图象可知,:,当,x,4,时,直线,y,=,mx,+,n,在抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的上方,不等式,mx,+,n,ax,2,+,bx,+,c,的解集为,x,4.,6,.(2016,宁夏,10,3,分,),若二次函数,y,=,x,2,-2,x,+,m,的图象与,x,轴有两个交点,则,m,的取值范围是,.,答案,m,0,解得,m,1.,所以,m,的取值范围是,m,0,则这条抛物线的顶点一定在,(,),A.,第一象限,B.,第二象限,C.,第三象限,D.,第四象限,答案,C,当,x,=1,时,y,=,a,+2,a,-1+,a,-30,解得,a,1,又根据抛物线顶点坐标公式可得,-,=-,0,=,=,0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选,C.,2,.(2018,湖北黄冈,6,3,分,),当,a,x,a,+1,时,函数,y,=,x,2,-2,x,+1,的最小值为,1,则,a,的值为,(,),A.-1,B.2,C.0,或,2,D.-1,或,2,答案,D,y,=,x,2,-2,x,+1=(,x,-1),2,当,a,1,时,函数,y,=,x,2,-2,x,+1,在,a,x,a,+1,内,y,随,x,的增大而增大,其最,小值为,a,2,-2,a,+1,则,a,2,-2,a,+1=1,解得,a,=2,或,a,=0(,舍去,);,当,a,+1,1,即,a,0,时,函数,y,=,x,2,-2,x,+1,在,a,x,a,+1,内,y,随,x,的增大而减小,其最小值为,(,a,+1),2,-2(,a,+1)+1=,a,2,则,a,2,=1,解得,a,=-1,或,a,=1(,舍去,).,当,0,a,1,时,函数,y,=,x,2,-2,x,+1,在,x,=1,处取得最小值,最小值为,0,不合题意,.,综上,a,的值为,-1,或,2,故选,D.,3.(,2017,甘肃兰州,9,4,分,),将抛物线,y,=3,x,2,-3,向右平移,3,个单位长度,得到新抛物线的表达式为,(,),A.,y,=3(,x,-3),2,-3,B.,y,=3,x,2,C.,y,=3(,x,+3),2,-3,D.,y,=3,x,2,-6,答案,A,直接根据二次函数图象“左加右减,上加下减”的平移规律进行解答即可,.,故选,A.,4.,(2015,辽宁沈阳,8,3,分,),在平面直角坐标系中,二次函数,y,=,a,(,x,-,h,),2,(,a,0),的图象可能是,(,),答案,D,二次函数,y,=,a,(,x,-,h,),2,(,a,0),的图象的顶点坐标为,(,h,0),由于该点的纵坐标为,0,所以该,点在,x,轴上,符合这一条件的图象只有,D.,故选,D.,5,.(2015,福建福州,10,3,分,),已知一个函数图象经过,(1,-4),(2,-2),两点,在自变量,x,的某个取值范围,内,都有函数值,y,随,x,的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是,(,),A.,正比例函数,B.,一次函数,C.,反比例函数,D.,二次函数,答案,D,易知经过点,(1,-4),(2,-2),的直线不经过原点,所以所求函数不是正比例函数,A,不符,合,;,若为一次函数或反比例函数,则在自变量,x,的某个取值范围内,函数值,y,随,x,的增大而增大,所,以,B,、,C,不符合题意,;,只有,D,正确,故选,D.,6.(2014,甘肃兰州,6,4,分,),抛物线,y,=(,x,-1),2,-3,的对称轴是,(,),A.,y,轴,B.,直线,x,=-1,C.,直线,x,=1,D.,直线,x,=-3,答案,C,抛物线,y,=(,x,-1),2,-3,的对称轴是直线,x,=1,故选,C.,评析,本题考查了二次函数的性质,属容易题,.,7.(,2014,四川成都,9,3,分,),将二次函数,y,=,x,2,-2,x,+3,化为,y,=(,x,-,h,),2,+,k,的形式,结果为,(,),A.,y,=(,x,+1),2,+4,B.,y,=(,x,+1),2,+2,C.,y,=(,x,-1),2,+4,D.,y,=(,x,-1),2,+2,答案,D,y,=,x,2,-2,x,+3=(,x,2,-2,x,+1)+2=(,x,-1),2,+2.,故选,D.,8.,(2014,河南,1,3,分,),下列各数中,最小的数是,(,),A.0,B.,C.-,D.-3,答案,D,正数大于,0,负数小于,0,两个负数绝对值大的反而小,所以,-3-,0,故选,D.,9.,(2015,吉林长春,14,3,分,),如图,在平面直角坐标系中,点,A,在抛物线,y,=,x,2,-2,x,+2,上运动,过点,A,作,AC,x,轴于点,C,以,AC,为对角线作矩形,ABCD,连接,BD,.,则对角线,BD,的最小值为,.,答案,1,解析,四边形,ABCD,是矩形,AC,=,BD,.,当,A,在抛物线的顶点处时,AC,最短,此时,A,(1,1),AC,=1,BD,=1.,即对角线,BD,的最小值为,1.,10.,(2014,天津,16,3,分,),抛物线,y,=,x,2,-2,x,+3,的顶点坐标是,.,答案,(1,2),解析,解法一,:,可把抛物线解析式配方成顶点式为,y,=(,x,-1),2,+2,由顶点式可知,顶点坐标为,(1,2).,解法二,:,可根据抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的顶点坐标公式,直接求出顶点坐标为,(1,2).,11,.(2015,天津,25,10,分,),已知二次函数,y,=,x,2,+,bx,+,c,(,b,c,为常数,).,(1),当,b,=2,c,=-3,时,求二次函数的最小值,;,(2),当,c,=5,时,若在函数值,y,=1,的情况下,只有一个自变量,x,的值与其对应,求此时二次函数的解析,式,;,(3),当,c,=,b,2,时,若在自变量,x,的值满足,b,x,b,+3,的情况下,与其对应的函数值,y,的最小值为,21,求,此时二次函数的解析式,.,解析,(1),当,b,=2,c,=-3,时,二次函数的解析式为,y,=,x,2,+2,x,-3,即,y,=(,x,+1),2,-4.,当,x,=-1,时,二次函数取得最小值,-4.,(2),当,c,=5,时,二次函数的解析式为,y,=,x,2,+,bx,+5.,由题意,得方程,x,2,+,bx,+5=1,即,x,2,+,bx,+4=0,有两个相等的实数根,.,有,=,b,2,-16=0,解得,b,1,=4,b,2,=-4.,此时二次函数的解析式为,y,=,x,2,+4,x,+5,或,y,=,x,2,-4,x,+5.,(3),当,c,=,b,2,时,二次函数的解析式为,y,=,x,2,+,bx,+,b,2,.,它的图象是开口向上,对称轴为,x,=-,的抛物线,.,若,-,0,在自变量,x,的值满足,b,x,b,+3,的情况下,与其对应的函数值,y,随,x,的增大而增大,故当,x,=,b,时,y,=,b,2,+,b,b,+,b,2,=3,b,2,为最小值,.,3,b,2,=21,解得,b,1,=-,(,舍,),b,2,=,.,若,b,-,b,+3,即,-2,b,0,当,x,=-,时,y,=,+,b,+,b,2,=,b,2,为最小值,.,b,2,=21,解得,b,1,=-2,(,舍,),b,2,=2,(,舍,).,若,-,b,+3,即,b,0.,当抛物线,C,2,经过点,B,时,a,=2,此时抛物线,C,2,与线段,AB,有两个公共点,不符合题意,.,当抛物线,C,2,经过点,A,时,a,=,.,结合函数的图象可知,a,的取值范围为,a,0).,(1),当,a,=1,时,求抛物线与,x,轴的交点坐标及对称轴,;,(2),试说明无论,a,为何值,抛物线,C,1,一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标,;,将抛物线,C,1,沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线,C,2,直接写出,C,2,的表达式,;,(3),若,(2),中抛物线,C,2,的顶点到,x,轴的距离为,2,求,a,的值,.,备用图,解析,(1),当,a,=1,时,抛物线,C,1,:,y,=,x,2,-4,x,-5.,(1,分,),令,y,=0,则,x,2,-4,x,-5=0,解得,x,1,=-1,x,2,=5,抛物线,C,1,与,x,轴的交点坐标为,(-1,0),(5,0),(2,分,),对称轴为直线,x,=2.,(3,分,),(2),由抛物线,C,1,:,y,=,ax,2,-4,ax,-5(,a,0),可得其对称轴为直线,x,=-,=2.,(4,分,),令,x,=0,有,y,=-5.,抛物线,C,1,过定点,(0,-5).,(5,分,),易知点,(0,-5),关于直线,x,=2,的对称点为点,(4,-5),由抛物线的对称性可知,无论,a,为何值,抛物线,C,1,一定经过两个定点,(0,-5),和,(4,-5).,(6,分,),y,=-,ax,2,+4,ax,-5(,或,y,=-,a,(,x,-2),2,+4,a,-5).,(7,分,),(3),对于抛物线,C,2,:,y,=-,ax,2,+4,ax,-5,当,x,=2,时,y,=4,a,-5,抛物线,C,2,的顶点坐标为,(2,4,a,-5),(8,分,),|4,a,-5|=2,解得,a,1,=,a,2,=,.,(9,分,),考点二系数,a,、,b,、,c,的作用,1.,(2015,内蒙古包头,12,3,分,),如图,已知二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),的图象与,x,轴交于点,A,(-1,0),对,称轴为直线,x,=1,与,y,轴的交点,B,在,(0,2),和,(0,3),之间,(,包括这两点,),下列结论,:,当,x,3,时,y,0;3,a,+,b,8,a,.,其中正确的结论是,(,),A.,B.,C.,D.,答案,B,由已知条件可知,a,3,时,y,0;2,a,+,b,=0,2,a,+,b,+,a,0,即,3,a,+,b,2,4,ac,-,b,2,a,0),与,x,轴最多有一个交点,.,现有以下四个,结论,:,该抛物线的对称轴在,y,轴左侧,;,关于,x,的方程,ax,2,+,bx,+,c,+2=0,无实数根,;,a,-,b,+,c,0;,的最小值为,3.,其中,正确结论的个数为,(,),A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,答案,D,b,a,0,-,0,正确,;,抛物线与,x,轴最多有一个交点,b,2,-4,ac,0,关于,x,的方程,ax,2,+,bx,+,c,+2=0,的判别式,=,b,2,-4,a,(,c,+2)=,b,2,-4,ac,-8,a,0,且抛物线与,x,轴最多有一个交点,y,0,当,x,=-1,时,a,-,b,+,c,0,正确,;,y,0,当,x,=-2,时,4,a,-2,b,+,c,0,即,a,+,b,+,c,3,b,-3,a,即,a,+,b,+,c,3(,b,-,a,),b,a,b,-,a,0,3,正确,.,故选,D.,3.(,2015,山东聊城,16,3,分,),二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),的图象如图所示,下列结论,:2,a,+,b,=0;,a,+,c,b,;,抛物线与,x,轴的另一个交点为,(3,0);,abc,0.,其中正确的结论是,(,填写序号,).,答案,解析,因为抛物线的对称轴是直线,x,=1,所以,-,=1,-,b,=2,a,2,a,+,b,=0,故正确,;,由题中图象,知,当,x,=-1,时,y,=,a,-,b,+,c,0,所以,a,+,c,0,又,-,0,所以,b,0,抛物线与,y,轴交于负半轴,故,c,0,故正确,.,4.,(2014,江苏扬州,16,3,分,),如图,抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),的对称轴是过点,(1,0),且平行于,y,轴的直,线,若点,P,(4,0),在该抛物线上,则,4,a,-2,b,+,c,的值为,.,答案,0,解析,点,(4,0),关于对称轴,x,=1,对称的点为,(-2,0),当,x,=-2,时,y,=4,a,-2,b,+,c,=0.,5.(,2018,北京,26,6,分,),在平面直角坐标系,xOy,中,直线,y,=4,x,+4,与,x,轴、,y,轴分别交于点,A,B,抛物线,y,=,ax,2,+,bx,-3,a,经过点,A,将点,B,向右平移,5,个单位长度,得到点,C,.,(1),求点,C,的坐标,;,(2),求抛物线的对称轴,;,(3),若抛物线与线段,BC,恰有一个公共点,结合函数图象,求,a,的取值范围,.,解析,(1),将,x,=0,代入,y,=4,x,+4,得,y,=4,B,(0,4).,点,B,向右平移,5,个单位长度得到点,C,C,(5,4).,(2),将,y,=0,代入,y,=4,x,+4,得,x,=-1,A,(-1,0).,将点,A,(-1,0),代入抛物线解析式,y,=,ax,2,+,bx,-3,a,得,0=,a,-,b,-3,a,即,b,=-2,a,抛物线的对称轴为直线,x,=-,=-,=1.,(3),抛物线始终过点,A,(-1,0),且对称轴为直线,x,=1,由抛物线的对称性可知抛物线也过点,A,关于直,线,x,=1,的对称点,(3,0).,a,0,时,如图,1.,图,1,将,x,=5,代入抛物线的解析式得,y,=12,a,12,a,4,a,.,a,4,a,-,.,若抛物线的顶点在线段,BC,上,则顶点为,(1,4),如图,3.,图,3,将点,(1,4),代入抛物线的解析式得,4=,a,-2,a,-3,a,a,=-1.,综上所述,a,或,a,-,或,a,=-1.,考点三二次函数与方程、不等式之间的关系,1.,(2018,河北,16,2,分,),对于题目“一段抛物线,L,:,y,=-,x,(,x,-3)+,c,(0,x,3),与直线,l,:,y,=,x,+2,有唯一公共,点,.,若,c,为整数,确定所有,c,的值,.”,甲的结果是,c,=1,乙的结果是,c,=3,或,4,则,(,),A.,甲的结果正确,B.,乙的结果正确,C.,甲、乙的结果合在一起才正确,D.,甲、乙的结果合在一起也不正确,答案,D,抛物线,L,:,y,=-,x,(,x,-3)+,c,(0,x,3),可以看作抛物线,y,=-,x,(,x,-3)(0,x,3),沿,y,轴向上平移,c,个单位形成的,一段抛物线,L,:,y,=-,x,(,x,-3)+,c,(0,x,3),与直线,l,:,y,=,x,+2,有唯一公共点可以看作直线,l,:,y,=,x,+2,沿,y,轴向下平移,c,个单位形成的直线,y,=,x,+2-,c,与抛物线,y,=-,x,(,x,-3)(0,x,3),有唯一公共点,.,当,直线,y,=,x,+2-,c,(,即,l,2,),经过原点时,0+2-,c,=0,c,=2;,当直线,y,=,x,+2-,c,(,即,l,3,),经过点,A,(3,0),时,3+2-,c,=0,c,=5,根据图象可得当,2,c,5,时,直线,y,=,x,+2-,c,与抛物线,y,=-,x,(,x,-3)(0,x,3),有唯一公共点,即一段抛物,线,L,:,y,=-,x,(,x,-3)+,c,(0,x,3),与直线,l,:,y,=,x,+2,有唯一公共点,.,显然,c,=3,4,5.,当直线,y,=,x,+2-,c,为图中,l,1,时,直线,y,=,x,+2-,c,与抛物线,y,=-,x,(,x,-3)(0,x,3),有唯一公共点,.,令,-,x,(,x,-3)=,x,+2-,c,得,x,2,-2,x,+2-,c,=0,=4-4(2,-,c,)=0,解得,c,=1.,因此甲、乙的结果合在一起也不正确,故选,D.,2.,(2015,浙江宁波,11,4,分,),二次函数,y,=,a,(,x,-4),2,-4(,a,0),的图象在,2,x,3,这一段位于,x,轴的下方,在,6,x,7,这一段位于,x,轴的上方,则,a,的值为,(,),A.1,B.-1,C.2,D.-2,答案,A,二次函数,y,=,a,(,x,-4),2,-4(,a,0),的图象在,2,x,3,这一段位于,x,轴的下方,在,6,x,7,这一段,位于,x,轴的上方,当,x,=,时,二次函数,y,=,a,(,x,-4),2,-4(,a,0),的图象位于,x,轴的下方,;,当,x,=,时,二次函数,y,=,a,(,x,-4),2,-4(,a,0),的图象位于,x,轴的上方,a,8,B.,b,-8,C.,b,8,D.,b,-8,答案,D,由题意可得,y,=,x,2,的图象经过两次平移后得到,y,=(,x,-3),2,-1,的图象,.,将,代入得,x,2,-8,x,+8-,b,=0.,因为抛物线与直线有公共点,所以,=(-8),2,-4(8-,b,)=4,b,+32,0,所以,b,-,8,故选,D.,4.,(2016,广西南宁,12,3,分,),二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),和正比例函数,y,=,x,的图象如图所示,则方,程,ax,2,+,x,+,c,=0(,a,0),的两根之和,(,),A.,大于,0,B.,等于,0,C.,小于,0,D.,不能确定,答案,A,根据题图可知,a,0,b,0.,在方程,ax,2,+,x,+,c,=0(,a,0),中,=,-4,ac,=,b,2,-,b,+,-4,ac,=,b,2,-4,ac,-,b,+,0,设此方程的两,根分别为,x,1,x,2,则,x,1,+,x,2,=-,=-,+,0,故选,A.,5,.(2014,江苏南京,16,2,分,),已知二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,中,函数,y,与自变量,x,的部分对应值如下表,:,则当,y,5,时,x,的取值范围是,.,x,-1,0,1,2,3,y,10,5,2,1,2,答案,0,x,4,解析,由抛物线的对称性及题中表格可知,当,x,=0,或,4,时,y,=5,又抛物线开口向上,故当,0,x,4,时,y,0,所以直线,l,与该抛物线总有两个交点,.,(2),设,A,B,的坐标分别为,(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),直线,l,与,y,轴的交点为,C,则,C,点的坐标为,(0,1),易知,x,1,+,x,2,=4+,k,=2,x,1,x,2,=-1,所以,(,x,1,-,x,2,),2,=8,所以,|,x,1,-,x,2,|=2,所以,OAB,的面积,S,=,OC,|,x,1,-,x,2,|=,1,2,=,.,7.,(2017,北京,27,7,分,),在平面直角坐标系,xOy,中,抛物线,y,=,x,2,-4,x,+3,与,x,轴交于点,A,B,(,点,A,在点,B,的左,侧,),与,y,轴交于点,C,.,(1),求直线,BC,的表达式,;,(2),垂直于,y,轴的直线,l,与抛物线交于点,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),与直线,BC,交于点,N,(,x,3,y,3,).,若,x,1,x,2,x,3,结合,函数的图象,求,x,1,+,x,2,+,x,3,的取值范围,.,解析,(1),令,y,=0,即,0=,x,2,-4,x,+3,解得,x,=1,或,x,=3.,抛物线,y,=,x,2,-4,x,+3,与,x,轴交于点,A,B,(,点,A,在点,B,的左侧,),点,A,B,的坐标分别为,(1,0),(3,0).,令,x,=0,得,y,=3.,抛物线,y,=,x,2,-4,x,+3,与,y,轴交于点,C,点,C,的坐标为,(0,3).,设直线,BC,的表达式为,y,=,kx,+,b,k,0,解得,直线,BC,的表达式为,y,=-,x,+3.,(2),y,=,x,2,-4,x,+3=(,x,-2),2,-1,抛物线的顶点坐标为,(2,-1),对称轴为直线,x,=2.,由题意可知,点,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,)(,x,1,x,2,),关于直线,x,=2,对称,x,2,-2=2-,x,1,x,1,+,x,2,=4.,由,x,1,x,2,x,3,结合函数的图象,可得,-1,y,3,0,即,-1-,x,3,+30,解得,3,x,3,4.,7,x,1,+,x,2,+,x,3,0),与,x,轴从左到右的交点为,B,A,过,线段,OA,的中点,M,作,MP,x,轴,交双曲线,y,=,(,k,0,x,0),于点,P,且,OA,MP,=12.,(1),求,k,值,;,(2),当,t,=1,时,求,AB,长,并求直线,MP,与,L,对称轴之间的距离,;,(3),把,L,在直线,MP,左侧部分的图象,(,含与直线,MP,的交点,),记为,G,用,t,表示图象,G,最高点的坐标,;,(4),设,L,与双曲线有个交点的横坐标为,x,0,且满足,4,x,0,6,通过,L,位置随,t,变化的过程,写出,t,的取值范围,.,解析,(1),设点,P,(,x,y,),则,MP,=,y,由,OA,的中点为,M,知,OA,=2,x,代入,OA,MP,=12,得,2,x,y,=12,即,xy,=6.,k,=,xy,=6.,(3,分,),(2),当,t,=1,时,令,y,=0,0=-,(,x,-1)(,x,+3),x,1,=1,x,2,=-3.,由,B,在,A,左边,得,B,(-3,0),A,(1,0),AB,=4.,(5,分,),L,的对称轴为,x,=-1,而,M,为,MP,与,L,对称轴之间的距离为,.,(6,分,),(3),A,(,t,0),B,(,t,-4,0),L,的对称轴为,x,=,t,-2.,(7,分,),又,MP,为,x,=,当,t,-2,即,t,4,时,顶点,(,t,-2,2),就是,G,的最高点,;,当,t,4,时,L,与,MP,的交点,就是,G,的最高点,.,(10,分,),(4)5,t,8-,或,7,t,8+,.,(12,分,),注,:,如果考生答“,5,t,8+,”,给,1,分,【,供评卷人参考,:(4),的简解,.,对于双曲线,当,4,x,0,6,时,1,y,0,即,L,与双曲线在,C,D,(6,1),之间的一段有个交点,.,由,=-,(4-,t,)(4-,t,+4),得,t,1,=5,t,2,=7;,由,1=-,(6-,t,)(6-,t,+4),得,t,3,=8-,t,4,=8+,.,随着,t,的逐渐增大,L,位置随着点,A,(,t,0),向右平移,如图所示,.,当,t,=5,时,L,右侧过点,C,;,当,t,=8-,7,时,L,右侧过点,D,.,即,5,t,8-,.,当,8-,t,7,时,L,右侧离开了点,D,而左侧未到点,C,即,L,与该段无交点,舍去,.,当,t,=7,时,L,左侧过点,C,;,当,t,=8+,时,L,左侧过点,D,.,即,7,t,8+,】,9.,(2017,福建,25,14,分,),已知直线,y,=2,x,+,m,与抛物线,y,=,ax,2,+,ax,+,b,有一个公共点,M,(1,0),且,a,b,.,(1),求抛物线顶点,Q,的坐标,(,用含,a,的代数式表示,);,(2),说明直线与抛物线有两个交点,;,(3),直线与抛物线的另一个交点记为,N,.,(i),若,-1,a,-,求线段,MN,长度的取值范围,;,(ii),求,QMN,面积的最小值,.,解析,(1),因为抛物线过点,M,(1,0),所以,a,+,a,+,b,=0,即,b,=-2,a,.,所以,y,=,ax,2,+,ax,+,b,=,ax,2,+,ax,-2,a,=,a,-,所以抛物线顶点,Q,的坐标为,.,(2),因为直线,y,=2,x,+,m,经过点,M,(1,0),所以,0=2,1+,m,解得,m,=-2.,把,y,=2,x,-2,代入,y,=,ax,2,+,ax,-2,a,得,ax,2,+(,a,-2),x,-2,a,+2=0,所以,=(,a,-2),2,-4,a,