数学建模-生物种群模型.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,数学建模 生物种群模型,2026/11/9,简介,种群,(Population),：,是指在特定时间里占据,一定空间的同一物种的有机体集合。,种群生态学：,主要研究种群的时间动态及调节机理。,种群分为,单种群,和,多种群。,生物种群模型,西北大学数学系,2026/11/9,2),罗杰斯特,(Logistic),模型,表示该种群的最大容纳量,。,1,单种群的数学模型：,1),马尔萨斯,(Malthus),模型,表示 时刻的种群数量，称,为内禀增长率。,2026/11/9,4),开发了的单种群模型,具有常数收获率,具有时变收获率,3,）一般的种群模型,2026/11/9,2,两种群的一般模型,两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。设甲、乙两种群在 时刻的数量为 ，则,线性化，得,西北大学数学系,2026/11/9,表示甲（乙）种群的自然生长率；,表示甲（乙）种群为非密度制约，,表示甲（乙）种群为密度制约；,表示甲、乙种群相互竞争；,4),表示甲、乙种群相互依存；,5),表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。,2026/11/9,3,三种群的一般模型,三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中每两个种群之间的关系仍可归结为：,相互竞争、相互依存、弱肉强食。,三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的数学模型。,这些模型用方程组表示，或用图形表示。,西北大学数学系,2026/11/9,记三个种群分别为,1,2,3,并约定,1,）种群 供食于种群 表示为,1,2,1,2,2,）种群 为密度制约可表示为,1,1,3,）种群 不主要靠吃本系统（,1,，,2,，,3,个种群组,成的系统）为生，,1,1,4,）种群 与种群 相互竞争：,1,2,1,2,5,）种群 与种群 互惠共存：,1,2,1,2,）,2026/11/9,如，设,A,，,B,，,C,三种群为捕食与被捕食关系，,则三者关系有三种：,两个食饵种群，一个捕食者种群。,一个食饵种群，两个捕食者种群。,捕食链。,C,B,A,C,B,A,C,B,A,西北大学数学系,2026/11/9,下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两种群间的影响都是线性的，建立其相互作用的数学模型（,Volterra,模型）,（,1,）两个食饵种群,A,，,B,，一个捕食者种群,C,。,设,A,，,B,，,C t,时刻的密度分别为,假设：,C,种群主要以,A,，,B,种群为食饵，,A,，,B,不存在时，,C,要逐渐绝灭，,C,不是密度制约的；,A,，,B,种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互竞争。图示如下：,2026/11/9,C,B,A,（,）,西北大学数学系,2026/11/9,（,2,）一个食饵种群,A,，两个捕食者种群,B,，,C,。,A,C,B,（,）,2026/11/9,A,C,B,）,西北大学数学系,2026/11/9,A,C,B,）,）,）,（,3,）捕食链：,A,是,B,的食饵，,B,是,C,的食饵。,2026/11/9,A,C,B,）,）,）,西北大学数学系,说明下列微分方程组的生态意义,2026/11/9,A,C,B,）,）,）,2026/11/9,A,C,B,）,）,）,西北大学数学系,2026/11/9,种群模型的求解方法：,微分方程定性与稳定性理论,数值方法,2026/11/9,平面自治系统,西北大学数学系,微分方程定性与稳定性理论,2026/11/9,假定方程组,(1),的右端函数 ，在平面区域 满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点有唯一的轨线。,相平面,：所在的平面。,轨线：,2026/11/9,平衡点,（,Equilibrium,）：使得,的点 为组,(1),的平衡点，否则称为常点。,即 平衡点满足,记为,西北大学数学系,2026/11/9,称平衡点 是稳定的（,stable,）；否则,是不稳定（,unstable,）的。,稳定与不稳定：,如果存在某个邻域，使系统（,1,）的,解 从这个邻域内的某一初值,出发，满足,2026/11/9,其中 是常数。,平面线性微分方程组的平衡点分类,系统（,2,）有唯一的平衡点（,0,，,0,）。,记系数矩阵,西北大学数学系,2026/11/9,记组,(2),的系数矩阵构成的特征方程为：,其中,唯一的平衡点（,0,，,0,）的稳定性由特征根确定。,方程组（,2,）解的一般形式为,2026/11/9,方程组（,2,）解的一般形式为,西北大学数学系,2026/11/9,平衡点类型,稳定性,稳定结点,(node),stable,不稳定结点,unstable,鞍点,(saddle),unstable,稳定退化结点,stable,不稳定退化结点,unstable,稳定焦点,(focus),stable,不稳定焦点,unstable,中心,(center),unstable,2026/11/9,p,q,鞍点区,稳定结点区,不稳定结点区,稳定焦点区,不稳定焦点区,奇点 的性态与 的关系,2026/11/9,简单非线性微分方程的奇点,西北大学数学系,2026/11/9,称下列方程组为组,(1),的,一次（线性）近似方程组：,2026/11/9,结论,1,如果,则,(4),的一次近似方程组的奇点 在五种一般情,形与组（,4,）的奇点 的性态相同。,2026/11/9,结论,2,设系统,O(0,0),为其对应线性系统的中心点，若在,O,的邻域内存在此系统的一个连续的首次积分，则,O,必为中心。,在,O(0,0),点的邻域内解析。,2026/11/9,捕食与被捕食模型,问题的提出,20,世纪,20,年代，意大利生物学家,U.DAncona,在研究鱼类变化规律时，无意中发现了第一次世界大战期间，意大利,Finme,港收购站的软骨掠肉鱼（鲨鱼等以其他鱼为食的鱼）在鱼类收购量中的所占比例的资料：,1914,1915,1916,1917,1918,1919,1920,1921,1922,1923,11.99%,21.4%,22.1%,21.2%,36.4%,27.3%,16.0%,15.0%,14.8%,10.7%,1914,7-1918,11,2026/11/9,战争期间鲨鱼比例明显增加！,显然，捕获的各种鱼的比例基本上代表了地中海渔场中各种鱼的比例。,战争中捕获量大幅下降，应该使渔场中食用鱼和以此为生的鲨鱼数量同时增加。,然而，捕获量的下降为什么会使鲨鱼的比例增加？,发现,DAncona,的迷惑：,2026/11/9,请教,著名的意大利数学家,Volterra,。,将鱼分为两类，一类为捕食,(predator),种群，另一类为被捕食,(prey),种群。,设,t,时刻两种群的数量（或密度）为,y,(,t,),，,x,(,t,),。,在无捕捞和忽略了密度制约的情形下，有：,2026/11/9,平衡点为,一次近似系统,2026/11/9,一次近似系统,系统的鞍点。,一次近似系统,系统的？。,的鞍点。,的中心。,2026/11/9,定理：,设系统,O(0,0),为其对应线性系统的中心点，若在,O,的邻域内存在此系统的一个连续的首次积分，则,O,必为中心。,在,O(0,0),点的邻域内解析。,2026/11/9,为了研究平衡点,M,，作平移变换,首次积分,2026/11/9,由定理，得,平衡点,M,的外围邻近被一闭轨线族 所环绕。,说明：在,M,附近，食饵种群与捕食种群的个体总量,呈周期性变化。,O,x,y,M,尽管沿不同的闭轨线的周期可能不同，但两种群个体数量在一个周期内的平均值却分别保持为常数。,2026/11/9,两种群个体数量在一个周期内的平均值却分别保持为常数：,两种群个体数量在一个周期内的平均值恰好是平衡点的坐标。,事实上，,而,2026/11/9,同理，可证,西北大学数学系,2026/11/9,现考虑捕捞的影响,平衡点的坐标为,解释：捕捞能力减少，食饵种群数量减少，而捕食种群数量增加。,2026/11/9,应用,农药的使用策略。,害虫,食饵，害虫的天敌,捕食者。,因此，应该适量地使用农药，更应发展以虫治虫的策略。,平衡点的坐标为,根据,Volterra,原理：杀虫能力过量，害虫种群数量增加，而天敌种群数量减少，对天敌更为不利。,2026/11/9,天然草原的生息繁衍，已形成自身特有的生物链，且对人类生存起着重要作用。长期以来，人为破坏（如过度放牧、猎杀动物及采挖草药等）使草原生态每况愈下，日渐衰竭。据,2000,年,8,月,6,日,北京晚报,载：“,受利益驱使，有些人不顾国家法律和当地政府禁令，在呼伦贝尔草原大肆采挖中草药，致使草原严重受损。据此，有关专家推断，,10,年之内，该草原将变成荒漠。”,草原命运,思考,2026/11/9,为了天然草原生息繁衍和可持续发展，完成以下工作：,（,1,）建立草原自然生长规律模型，描述人为破坏对草,原生长的影响过程,;,（,2,）论证或驳斥报载消息中专家的推断，如果立即停,止对草原的一切破坏，,10,年后的情形如何？,（,3,）寻找导致草原消失的临界条件，给出草原生长的,挽救方案，并对挽救效果进行预测。,2026/11/9,2007,年,6,月湖南洞庭湖鼠患,20,亿田鼠洞庭“跑马圈地”,2026/11/9,政府收购鼠尾巴鼓励捕鼠；成千上万田鼠陷落捕鼠沟。新华社 图,人鼠大战可能还将继续。新华社 图,2007,年,07,月,11,日,08,时,13,分,广州日报,2026/11/9,洞庭湖区用毒药灭鼠可能酿成新的生态灾难,捕食链破坏,老鼠的天敌,蛇、猫头鹰,大量减少,老鼠泛滥,庄稼、环境,受到威胁,人类的盘中餐,丰盛有余,威胁人类,的生存,从人类自身做起,保护环境！,2026/11/9,关于撰写建模论文,摘要,问题重述,模型假设（符号说明）,问题分析,模型的建立及求解,结果的分析与检验,模型的优缺点评价,问题进一步思考（模型推广）,参考文献,2026/11/9,竞赛过程中注意的问题,时间安排,合理分工,团结奋战，互相鼓励,2026/11/9,时间安排,上午,下午,晚上,定题,准备，思路,作题（第一问）,建模,作题（第一问）,求解,作题（第二问）,建模,作题（第二问）,求解,作题（第三问）,建模与求解,完善建模，求解,撰写论文,完善建模，求解,撰写论文,摘要，检查论文，整理附件,2026/11/9,分工,写作,建模,计算机操作,研读历年赛题,分析论文格式,掌握写作规则,语言精练准确,图表恰当运用,论文表述清晰,假设的合理性,建模的创造性,简化模型便于计算机识别与计算,快速实现模型的求解,提出更好的近似模型,注意保存数据与计算结果,相互沟通，共同克服困难,2026/11/9,预祝长安大学,建模竞赛取得优异成绩,