北京专用高考数学一轮复习第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值与最值.ppt

,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第三节导数与函数的极值与最值,总纲目录,教材研读,1.,函数的极值与导数,考点突破,2.,函数的最值与导数,考点二利用导数研究函数的最值,考点一运用导数研究函数的极值,考点三函数的极值与最值的综合问题,1.函数的极值与导数,(1)函数的极小值,若函数,y,=,f,(,x,)在点,x,=,a,处的函数值,f,(,a,)比它在点,x,=,a,附近其他点的函数值,都小,f,(,a,)=0,而且在点,x,=,a,附近的左侧,f,(,x,)0,则点,a,叫做函数,y,=,f,(,x,)的极小值点,f,(,a,)叫做函数,y,=,f,(,x,)的极小值.,(2)函数的极大值,若函数,y,=,f,(,x,)在点,x,=,b,处的函数值,f,(,b,)比它在点,x,=,b,附近其他点的函数值,教材研读,都大,f,(,b,)=0,而且在点,x,=,b,附近的左侧,f,(,x,)0,右侧,f,(,x,)0,则点,b,叫做函数,y,=,f,(,x,)的极大值点,f,(,b,)叫做函数,y,=,f,(,x,)的极大值,极大值,和,极小值,统称为极值.,2.函数的最值与导数,(1)函数,f,(,x,)在,a,b,上有最值的条件:,一般地,如果在区间,a,b,上,函数,y,=,f,(,x,)的图象是一条连续不断的曲线,那,么它必有最大值和最小值.,(2)求函数,y,=,f,(,x,)在,a,b,上的最大值与最小值的步骤:,(i)求函数,y,=,f,(,x,)在(,a,b,)内的,极值,;,(ii)将函数,y,=,f,(,x,)的各极值与,端点处,的函数值,f,(,a,)、,f,(,b,)比较,其中,最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,1.函数,f,(,x,)的定义域为R,导函数,y,=,f,(,x,)的图象如图所示,则函数,f,(,x,),(),A.无极大值点、有四个极小值点,B.有三个极大值点、一个极小值点,C.有两个极大值点、两个极小值点,D.有四个极大值点、无极小值点,C,答案,C设,f,(,x,)的图象与,x,轴的4个交点的横坐标从左至右依次为,x,1,、,x,2,、,x,3,、,x,4,.当,x,0,f,(,x,)为增函数,当,x,1,x,x,2,时,f,(,x,)-1时,y,0;当,x,-1时,y,0.当,x,=-1时函数取得最小值,且,y,min,=-,.故选C.,C,3.(2017北京海淀期中)已知函数,y,=,f,(,x,)的导函数有且仅有两个零点,其图,象如图所示,则函数,y,=,f,(,x,)在,x,=,处取得极值.,答案,-1,解析,由题图知,x,-1时,f,(,x,)-1时,f,(,x,),0,所以函数,y,=,f,(,x,)在,x,=-1处取得极值.,-1,4.(2015北京顺义一模)已知函数,f,(,x,)=,x,3,-6,x,2,+9,x,则,f,(,x,)在闭区间-1,5上的,最小值为,最大值为,.,答案,-16;20,解析,f,(,x,)=3,x,2,-12,x,+9,令,f,(,x,)=0,即,x,2,-4,x,+3=0,得,x,=1或,x,=3,当-1,x,1或3,x,0,f,(,x,)在(-1,1),(3,5)上为增函数,当1,x,3时,f,(,x,)0,f,(,x,)在(1,3)上为减函数,f,(-1)=-16,f,(3)=0,f,(1)=4,f,(5)=20,故,f,(,x,)在闭区间-1,5上的最小值为-16,最大值为20.,考点一运用导数研究函数的极值,考点突破,典例1,(2016北京海淀期末)已知函数,f,(,x,)=,+,k,ln,x,其中,k,0.,(1)当,k,=1时,求函数,f,(,x,)的单调区间和极值;,(2)若关于,x,的方程,f,(,x,)=,k,有解,求实数,k,的取值范围.,解析,函数,f,(,x,)=,+,k,ln,x,的定义域为(0,+,),f,(,x,)=-,+,.,(1)当,k,=1时,f,(,x,)=-,+,=,令,f,(,x,)=0,得,x,=1.,f,(,x,),f,(,x,)随,x,的变化情况如下表:,x,(0,1),1,(1,+,),f,(,x,),-,0,+,f,(,x,),极小值,所以,f,(,x,)在,x,=1处取得极小值,极小值为,f,(1)=1,无极大值.,f,(,x,)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+,).,(2)因为关于,x,的方程,f,(,x,)=,k,有解,所以可令,g,(,x,)=,f,(,x,)-,k,=,+,k,ln,x,-,k,则问题转化为函数,g,(,x,)在(0,+,)内存在,零点.,g,(,x,)=-,+,=,.,令,g,(,x,)=0,得,x,=,.,当,k,0时,g,(,x,)0,g,(,)=,+,k,-,k,=,-1,-10时,g,(,x,),g,(,x,)随,x,的变化情况如下表:,所以函数,g,(,x,)的最小值为,g,=,k,-,k,+,k,ln,=-,k,ln,k,当,g,0,即0,k,0,所以函数,g,(,x,)存在零点.,综上,实数,k,的取值范围是,k,1,且方程,f,(,x,)=,a,-,x,在区间-,a,0上恰有两个不相等的实数根,求实,数,a,的最小值.,解析,(1)因为,f,(,x,)=3(,x,2,-,a,),所以,f,(0)=-3,a,因为,f,(0)=0,所以曲线,y,=,f,(,x,)在点(0,f,(0)处的切线方程为,y,=-3,ax,.,(2)因为,f,(,x,)=3(,x,2,-,a,),所以当,a,0时,f,(,x,),0在R上恒成立,所以,f,(,x,)在R上单调递增,f,(,x,)没有极值点,不符合题意;,当,a,0时,令,f,(,x,)=0得,x,=,当,x,变化时,f,(,x,)与,f,(,x,)的变化情况如下表所示:,x,(-,-),-,(-,),(,+,),f,(,x,),+,0,-,0,+,f,(,x,),极大值,极小值,因为函数,f,(,x,)在区间(-1,2)上仅有一个极值点,所以,所以1,a,1,令,h,(,x,)=0,得,x,=,所以,所以,所以,因为,a,1,所以,-,a,0恒成立,所以,a,2,所以实数,a,的最小值为2.,考点二利用导数研究函数的最值,典例2,(2017北京,20,13分)已知函数,f,(,x,)=e,x,cos,x,-,x,.,(1)求曲线,y,=,f,(,x,)在点(0,f,(0)处的切线方程;,(2)求函数,f,(,x,)在区间,上的最大值和最小值.,解析,本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最,值.,(1)因为,f,(,x,)=e,x,cos,x,-,x,所以,f,(,x,)=e,x,(cos,x,-sin,x,)-1,f,(0)=0.,又因为,f,(0)=1,所以曲线,y,=,f,(,x,)在点(0,f,(0)处的切线方程为,y,=1.,(2)设,h,(,x,)=e,x,(cos,x,-sin,x,)-1,则,h,(,x,)=e,x,(cos,x,-sin,x,-sin,x,-cos,x,)=-2e,x,sin,x,.,当,x,时,h,(,x,)0,所以,h,(,x,)在区间,上单调递减.,所以对任意,x,有,h,(,x,),h,(0)=0,即,f,(,x,)0.,所以函数,f,(,x,)在区间,上单调递减.,因此,f,(,x,)在区间,上的最大值为,f,(0)=1,最小值为,f,=-,.,方法技巧,求函数,f,(,x,)在,a,b,上的最大值和最小值的步骤,(1)求函数在(,a,b,)内的极值.,(2)求函数在区间端点的函数值,f,(,a,),f,(,b,).,(3)将函数,f,(,x,)的极值与,f,(,a,),f,(,b,)比较,其中最大的一个为最大值,最小的,一个为最小值.,2-1,(2017北京海淀期中)已知函数,f,(,x,)=,.,(1)当,a,=1时,求函数,f,(,x,)的单调区间;,(2)当,a,0,解得,x,2,令,f,(,x,)2,f,(,x,)在(-,2)上递增,在(2,+,)上递减.,(2)由,f,(,x,)=,得,f,(,x,)=,x,0,1,令,f,(,x,)=0,解得,x,=1+,1(,a,0),当1+,0,即-1,a,0时,f,(,x,),0在,x,0,1上恒成立,f,(,x,)在0,1上递增,f,(,x,),min,=,f,(0)=-1;,x,1+,f,(,x,),-,0,+,f,(,x,),极小值,当01+,1,即,a,-1时,f,(,x,),f,(,x,)在0,1上的情况如下:,f,(,x,),min,=,f,=,.,综上,-1,a,0时,f,(,x,),min,=-1,a,0,故,f,(,x,)在(-,-2)上为增函数;,当,x,(-2,2)时,f,(,x,)0,故,f,(,x,)在(2,+,)上为增函数.,由此可知,f,(,x,)在,x,=-2处取得极大值,f,(-2)=16+,c,f,(,x,)在,x,=2处取得极小值,f,(2)=,c,-16.由题设条件知16+,c,=28,得,c,=12.,此时,f,(-3)=9+,c,=21,f,(3)=-9+,c,=3,f,(2)=-16+,c,=-4,因此,f,(,x,)在-3,3上的最小值为,f,(2)=-4.,