全国通用高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量高考专题突破四高考中的立体几何问题.ppt

,剖析题型 提炼方法,实验解读,构建知识网络 强化答题语句,探究高考 明确考向,高考中的立体几何问题,高考专题突破四,考点自测,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,考点自测,1,2,3,4,5,解析,答案,1.,在正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,D,为,BC,的中点，,E,为,A,1,C,1,的中点，则,DE,与平面,A,1,B,1,BA,的位置关系为,A.,相交,B.,平行,C.,垂直相交,D.,不确定,1,2,3,4,5,解析,如图取,B,1,C,1,的中点为,F,，连接,EF,，,DF,，,则,EF,A,1,B,1,，,DF,B,1,B,，,且,EF,DF,F,，,A,1,B,1,B,1,B,B,1,，,平面,EFD,平面,A,1,B,1,BA,，,DE,平面,A,1,B,1,BA,.,1,2,4,5,解析,3,答案,2.,设,x,，,y,，,z,是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：,x,，,y,，,z,均为直线；,x,，,y,是直线，,z,是平面；,z,是直线，,x,，,y,是平面；,x,，,y,，,z,均为平面,.,其中使,“,x,z,且,y,z,x,y,”,为真命题的是,A.,B.,C.,D.,解析,由正方体模型可知,为假命题；,由线面垂直的性质定理可知,为真命题,.,1,2,4,5,3,解析,3.(2018,届黑龙江海林市朝鲜中学模拟,),已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为,答案,1,2,4,5,3,解析,根据三视图还原几何体为一个直四棱柱，两底面为四边形,(,侧视图,),，其余各侧面为矩形，,两底面面积为,四个侧面面积为,几何体的表面积为,4.(2017,天津滨海新区模拟,),如图，以等腰直角三角形,ABC,的斜边,BC,上的高,AD,为折痕，把,ABD,和,ACD,折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：,BD,AC,；,BAC,是等边三角形；,三棱锥,D,ABC,是正三棱锥；,平面,ADC,平面,ABC,.,其中正确的是,A.,B.,C.,D.,解析,答案,1,2,4,5,3,1,2,4,5,3,解析,由题意知，,BD,平面,ADC,，故,BD,AC,，,正确；,AD,为等腰直角三角形斜边,BC,上的高，平面,ABD,平面,ACD,，所以,AB,AC,BC,，,BAC,是等边三角形，,正确；,易知,DA,DB,DC,，又由,知,正确；,由,知,错,.,故选,B.,解析,1,2,4,5,3,答案,或,5.(2017,沈阳调研,),设,，,，,是三个平面，,a,，,b,是两条不同的直线，有下列三个条件：,a,，,b,；,a,，,b,；,b,，,a,.,如果命题,“,a,，,b,，且,_,，则,a,b,”,为真命题，则可以在横线处填入的条件是,_.(,把所有正确的序号填上,),1,2,4,5,3,解析,由线面平行的性质定理可知，,正确；,当,b,，,a,时，,a,和,b,在同一平面内，且没有公共点，所以平行，,正确,.,故应填入的条件为,或,.,题型分类深度剖析,例,1,(2016,全国,),如图，菱形,ABCD,的对角线,AC,与,BD,交于点,O,，点,E,，,F,分别在,AD,，,CD,上，,AE,CF,，,EF,交,BD,于点,H,，将,DEF,沿,EF,折到,D,EF,的位置,.,(1),证明：,AC,HD,；,题型一求空间几何体的表面积与体积,证明,故,AC,EF,，由此得,EF,HD,，折后,EF,与,HD,保持垂直关系，,即,EF,HD,，所以,AC,HD,.,解答,所以,OH,1,，,D,H,DH,3,，,故,OD,OH,.,由,(1),知,AC,HD,，又,AC,BD,，,BD,HD,H,，,BD,，,HD,平面,BHD,，,所以,AC,平面,BHD,，于是,AC,OD,，,又由,OD,OH,，,AC,OH,O,，,AC,，,OH,平面,ABC,，,所以,OD,平面,ABC,.,所以五棱锥,D,-,ABCFE,的体积,(1),若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解,.,其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积,.,(2),若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解,.,(3),若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解,.,思维升华,解答,跟踪训练,1,(2018,乌鲁木齐质检,),正三棱锥的高为,1,，底面边长为,，内有一个球与它的四个面都相切,(,如图,).,求：,(1),这个正三棱锥的表面积；,解答,(2),这个正三棱锥内切球的表面积与体积,.,解,设正三棱锥,P,ABC,的内切球球心为,O,，连接,OP,，,OA,，,OB,，,OC,，,而,O,点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径,r,.,V,三棱锥,P,ABC,V,三棱锥,O,PAB,V,三棱锥,O,PBC,V,三棱锥,O,PAC,V,三棱锥,O,ABC,题型二空间点、线、面的位置关系,例,2,(2017,广州五校联考,),如图，在四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,是菱形，,PA,PD,，,BAD,60,，,E,是,AD,的中点，点,Q,在侧棱,PC,上,.,证明,(1),求证：,AD,平面,PBE,；,证明,由,E,是,AD,的中点，,PA,PD,可得,AD,PE,.,因为底面,ABCD,是菱形，,BAD,60,，,所以,AB,BD,，所以,AD,BE,，,又,PE,BE,E,，,PE,，,BE,平面,PBE,，,所以,AD,平面,PBE,.,证明,(2),若,Q,是,PC,的中点，求证：,PA,平面,BDQ,；,证明,连接,AC,，交,BD,于点,O,，连接,OQ,.,因为,O,是,AC,的中点，,Q,是,PC,的中点，,所以,OQ,PA,，,又,PA,平面,BDQ,，,OQ,平面,BDQ,，,所以,PA,平面,BDQ,.,解答,解,设四棱锥,P,BCDE,，,Q,ABCD,的高分别为,h,1,，,h,2,.,(1),平行问题的转化,思维升华,利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从,“,低维,”,到,“,高维,”,的转化，即从,“,线线平行,”,到,“,线面平行,”,，再到,“,面面平行,”,；而应用性质定理时，其顺序正好相反,.,在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用,.,(2),垂直问题的转化,在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫,.,应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题,.,证明,跟踪训练,2,如图，在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AB,AC,，,E,是,BC,的中点，求证：,(1),平面,AB,1,E,平面,B,1,BCC,1,；,证明,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,CC,1,平面,ABC,.,因为,AE,平面,ABC,，所以,CC,1,AE,.,因为,AB,AC,，,E,为,BC,的中点，所以,AE,BC,.,因为,BC,平面,B,1,BCC,1,，,CC,1,平面,B,1,BCC,1,，,且,BC,CC,1,C,，所以,AE,平面,B,1,BCC,1,.,因为,AE,平面,AB,1,E,，,所以平面,AB,1,E,平面,B,1,BCC,1,.,(2),A,1,C,平面,AB,1,E,.,证明,证明,连接,A,1,B,，设,A,1,B,AB,1,F,，连接,EF,.,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，四边形,AA,1,B,1,B,为平行四边形，所以,F,为,A,1,B,的中点,.,又因为,E,是,BC,的中点，所以,EF,A,1,C,.,因为,EF,平面,AB,1,E,，,A,1,C,平面,AB,1,E,，,所以,A,1,C,平面,AB,1,E,.,题型三平面图形的翻折问题,例,3,(2016,全国,),如图，菱形,ABCD,的对角线,AC,与,BD,交于点,O,，,AB,5,，,AC,6,，点,E,，,F,分别在,AD,，,CD,上，,AE,CF,，,EF,交,BD,于点,H,.,将,DEF,沿,EF,折到,D,EF,的位置，,OD,.,(1),证明：,D,H,平面,ABCD,；,证明,证明,由已知得,AC,BD,，,AD,CD,.,因此,EF,HD,，从而,EF,D,H,.,所以,OH,1,，,D,H,DH,3.,于是,D,H,2,OH,2,3,2,1,2,10,D,O,2,，故,D,H,OH,.,又,D,H,EF,，而,OH,EF,H,，,所以,D,H,平面,ABCD,.,解答,(2),求二面角,B,-,D,A,-,C,的正弦值,.,解,如图，以,H,为坐标原点，,HF,，,HD,，,HD,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立空间直角坐标系，则,H,(0,0,0),，,A,(,3,，,1,0),，,B,(0,，,5,0),，,C,(3,，,1,0),，,设,m,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),是平面,ABD,的法向量，则,所以可取,m,(4,3,，,5).,设,n,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),是平面,ACD,的法向量，则,所以可取,n,(0,，,3,1).,平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况,.,一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化,.,思维升华,跟踪训练,3,如图,(1),，四边形,ABCD,为矩形，,PD,平面,ABCD,，,AB,1,，,BC,PC,2,，作如图,(2),折叠，折痕,EF,DC,.,其中点,E,，,F,分别在线段,PD,，,PC,上，沿,EF,折叠后，点,P,叠在线段,AD,上的点记为,M,，并且,MF,CF,.,证明,(1),证明：,CF,平面,MDF,；,几何画板展示,证明,因为,PD,平面,ABCD,，,AD,平面,ABCD,，,所以,PD,AD,.,又因为,ABCD,是矩形，,CD,AD,，,PD,CD,D,，,PD,，,CD,平面,PCD,，,所以,AD,平面,PCD,.,又,CF,平面,PCD,，所以,AD,CF,，即,MD,CF,.,又,MF,CF,，,MD,MF,M,，,MD,，,MF,平面,MDF,，,所以,CF,平面,MDF,.,解答,(2),求三棱锥,M,CDE,的体积,.,解,因为,PD,DC,，,PC,2,，,CD,1,，,PCD,60,，,如图，过点,F,作,FG,CD,交,CD,于点,G,，,题型四立体几何中的存在性问题,例,4,(2017,安徽江南名校联考,),如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,PD,平面,ABCD,，,AB,DC,，,AB,AD,，,DC,6,，,AD,8,，,BC,10,，,PAD,45,，,E,为,PA,的中点,.,(1),求证：,DE,平面,BPC,；,证明,证明,取,PB,的中点,M,，连接,EM,和,CM,，过点,C,作,CN,AB,，垂足为点,N,.,在平面,ABCD,内，,CN,AB,，,DA,AB,，,CN,DA,，,又,AB,CD,，,四边形,CDAN,为平行四边形，,CN,AD,8,，,DC,AN,6,，,在,Rt,BNC,中，,AB,12,，而,E,，,M,分别为,PA,，,PB,的中点，,EM,AB,且,EM,6,，又,DC,AB,，,EM,CD,且,EM,CD,，四边形,CDEM,为平行四边形，,DE,CM,.,CM,平面,PBC,，,DE,平面,PBC,，,DE,平面,BPC,.,(2),线段,AB,上是否存在一点,F,，满足,CF,DB,？若存在，请求出二面角,F,PC,D,的余弦值；若不存在，请说明理由,.,解答,解,由题意可得,DA,，,DC,，,DP,两两互相垂直，如图，以,D,为原点，,DA,，,DC,，,DP,所在直线分别为,x,，,y,，,z,轴建立空间直角坐标系,Dxyz,，,则,A,(8,0,0),，,B,(8,12,0),，,C,(0,6,0),，,P,(0,0,8).,又平面,DPC,的一个法向量为,m,(1,0,0),，,设平面,FPC,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,).,假设,AB,上存在一点,F,使,CF,BD,，设点,F,的坐标为,(8,，,t,0)(0,t,12),，,又由图可知，该二面角为锐二面角，,对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设,.,思维升华,跟踪训练,4,(2018,成都模拟,),如图，四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，侧棱,A,1,A,底面,ABCD,，,AB,DC,，,AB,AD,，,AD,CD,1,，,AA,1,AB,2,，,E,为棱,AA,1,的中点,.,(1),证明：,B,1,C,1,CE,；,证明,证明,如图，以点,A,为原点，分别以,AD,，,AA,1,，,AB,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系，由题意得,A,(0,0,0),，,B,(0,0,2),，,C,(1,0,1),，,B,1,(0,2,2),，,C,1,(1,2,1),，,E,(0,1,0).,(2),求二面角,B,1,CE,C,1,的正弦值；,解答,设平面,B,1,CE,的法向量,m,(,x,，,y,，,z,),，,消去,x,，得,y,2,z,0,，不妨令,z,1,，,可得一个法向量为,m,(,3,，,2,1).,由,(1),知，,B,1,C,1,CE,，又,CC,1,B,1,C,1,，,CC,1,CE,C,，,CC,1,，,CE,平面,CEC,1,，可得,B,1,C,1,平面,CEC,1,，,解答,设,为直线,AM,与平面,ADD,1,A,1,所成的角，则,课时作业,基础保,分练,1.(2017,北京,),某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,解析,在正方体中还原该四棱锥，如图所示，,可知,SD,为该四棱锥的最长棱,.,由三视图可知正方体的棱长为,2,，,故选,B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,解析,答案,2.(2018,沈阳质检,),如图所示，已知平面,平面,l,，,.,A,，,B,是直线,l,上的两点，,C,，,D,是平面,内的两点，且,AD,l,，,CB,l,，,DA,4,，,AB,6,，,CB,8.,P,是平面,上的一动点，且有,APD,BPC,，则四棱锥,P,ABCD,体积的最大值是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,解析,由题意知，,PAD,，,PBC,是直角三角形，,又,APD,BPC,，所以,PAD,PBC,.,因为,DA,4,，,CB,8,，所以,PB,2,PA,.,作,PM,AB,于点,M,，由题意知，,PM,平面,.,令,BM,t,，则,AM,|6,t,|,，,PA,2,(6,t,),2,4,PA,2,t,2,，,所以,PA,2,4,t,12.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,即为四棱锥,P,ABCD,的高，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,解析,答案,3.(2017,云南省,11,校调研,),设已知,m,，,n,是两条不同的直线，,，,为两个不同的平面，有下列四个命题：,若,，,m,，,n,，则,m,n,；,若,m,，,n,，,m,n,，则,；,若,m,，,n,，,m,n,，则,；,若,m,，,n,，,，则,m,n,.,其中所有正确命题的序号是,_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,解析,对于,，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此,不正确；,对于,，依据结论,“,由空间一点向一个二面角的两个半平面,(,或半平面所在平面,),引垂线，这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补,”,可知,正确；,对于,，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此,不正确；,对于,，由,n,得，在平面,内必存在直线,n,1,平行于直线,n,，由,m,，,得,m,，,m,n,1,，又,n,1,n,，因此有,m,n,，,正确,.,综上所述，所有正确命题的序号是,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,解析,答案,4.,如图梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,ABC,90,，,AD,BC,AB,2,3,4,，,E,，,F,分别是,AB,，,CD,的中点，将四边形,ADFE,沿直线,EF,进行翻折，给出四个结论：,DF,BC,；,BD,FC,；,平面,DBF,平面,BFC,；,平面,DCF,平面,BFC,.,在翻折过程中，可能成立的结论是,_.(,填写结论序号,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,解析,因为,BC,AD,，,AD,与,DF,相交不垂直，所以,BC,与,DF,不垂直，则,错误；,设点,D,在平面,BCF,上的射影为点,P,，当,BP,CF,时就有,BD,FC,，而,AD,BC,AB,2,3,4,，可使条件满足，所以,正确；,当点,P,落在,BF,上时，,DP,平面,BDF,，从而平面,BDF,平面,BCF,，所以,正确；,因为点,D,的投影不可能在,FC,上，,所以平面,DCF,平面,BFC,不成立，即,错误,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,解析,答案,5.,如图所示，在棱长为,2,的正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,为,BC,的中点，,点,P,在线段,D,1,E,上，则点,P,到直线,CC,1,的距离的最小值为,_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,证明,6.(2018,烟台模拟,),如图，在四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AC,B,1,D,，,BB,1,底面,ABCD,，,E,，,F,，,H,分别为,AD,，,CD,，,DD,1,的中点，,EF,与,BD,交于点,G,.,(1),证明：平面,ACD,1,平面,BB,1,D,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,证明,BB,1,平面,ABCD,，,AC,平面,ABCD,，,AC,BB,1,.,又,AC,B,1,D,，,BB,1,B,1,D,B,1,，,BB,1,，,B,1,D,平面,BB,1,D,，,AC,平面,BB,1,D,.,AC,平面,ACD,1,，,平面,ACD,1,平面,BB,1,D,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,证明,(2),证明：,GH,平面,ACD,1,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,证明,设,AC,BD,O,，连接,OD,1,.,E,，,F,分别为,AD,，,CD,的中点，,EF,OD,G,，,G,为,OD,的中点,.,H,为,DD,1,的中点，,HG,OD,1,.,GH,平面,ACD,1,，,OD,1,平面,ACD,1,，,GH,平面,ACD,1,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,证明,7.(2017,青岛质检,),在平面四边形,ABCD,中，,AB,BD,CD,1,，,AB,BD,，,CD,BD,.,将,ABD,沿,BD,折起，使得平面,ABD,平面,BCD,，如图所示,.,(1),求证：,AB,CD,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,证明,平面,ABD,平面,BCD,，平面,ABD,平面,BCD,BD,，,AB,平面,ABD,，,AB,BD,，,AB,平面,BCD,.,又,CD,平面,BCD,，,AB,CD,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,解答,(2),若,M,为,AD,的中点，求直线,AD,与平面,MBC,所成角的正弦值,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,解,过点,B,在平面,BCD,内作,BE,BD,，如图,.,由,(1),知,AB,平面,BCD,，,BE,平面,BCD,，,BD,平面,BCD,.,AB,BE,，,AB,BD,.,以,B,为坐标原点，分别以,BE,，,BD,，,BA,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立空间直角坐标系,.,设平面,MBC,的法向量为,n,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,取,z,0,1,，得平面,MBC,的一个法向量,n,(1,，,1,1).,设直线,AD,与平面,MBC,所成的角为,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,技能提升练,8.(2017,郑州模拟,),等边三角形,ABC,的边长为,3,，点,D,，,E,分别是边,AB,，,AC,上的点，且满足,，如图,1.,将,ADE,沿,DE,折起到,A,1,DE,的位置，,使二面角,A,1,DE,B,为直二面角，连接,A,1,B,，,A,1,C,，如图,2.,证明,(1),求证：,A,1,D,平面,BCED,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,证明,因为等边三角形,ABC,的边长为,3,，,在,ADE,中，,DAE,60,，由余弦定理得,从而,AD,2,DE,2,AE,2,，所以,AD,DE,.,折起后有,A,1,D,DE,，因为二面角,A,1,DE,B,是直二面角，,所以平面,A,1,DE,平面,BCED,，,又平面,A,1,DE,平面,BCED,DE,，,A,1,D,DE,，,所以,A,1,D,平面,BCED,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,解答,(2),在线段,BC,上是否存在点,P,，使直线,PA,1,与平面,A,1,BD,所成的角为,60,？若存在，求出,PB,的长；若不存在，请说明理由,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,解,存在,.,理由：由,(1),可知,ED,DB,，,A,1,D,平面,BCED,.,以,D,为坐标原点，分别以,DB,，,DE,，,DA,1,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立如图所示的空间直角坐标系,Dxyz,.,设,PB,2,a,(0,2,a,3),，作,PH,BD,于点,H,，,连接,A,1,H,，,A,1,P,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,要使直线,PA,1,与平面,A,1,BD,所成的角为,60,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,拓展冲刺练,证明,9.(2018,合肥模拟,),如图，在梯形,ABCD,中，,AB,CD,，,AD,DC,CB,1,，,BCD,，四边形,BFED,为矩形，平面,BFED,平面,ABCD,，,BF,1.,(1),求证：,AD,平面,BFED,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,证明,在梯形,ABCD,中，,AB,2,AD,2,BD,2,，,AD,BD,.,平面,BFED,平面,ABCD,，平面,BFED,平面,ABCD,BD,，,DE,平面,BFED,，,DE,DB,，,DE,平面,ABCD,，,DE,AD,，又,DE,BD,D,，,AD,平面,BFED,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,解答,(2),点,P,在线段,EF,上运动，设平面,PAB,与平面,ADE,所成锐二面角为,，试求,的最小值,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,解,由,(1),可建立以点,D,为坐标原点，分别以直线,DA,，,DB,，,DE,为,x,轴，,y,轴，,z,轴的空间直角坐标系，如图所示,.,设,n,1,(,x,，,y,，,z,),为平面,PAB,的一个法向量，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,n,2,(0,1,0),是平面,ADE,的一个法向量，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,