高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教A版.ppt

,剖析题型 提炼方法,实验解读,构建知识网络 强化答题语句,探究高考 明确考向,2.2.2,反证法,第二章,2.2,直接证明与间接证明,学习目标,1.,了解反证法是间接证明的一种基本方法,.,2.,理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题,.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点反证法,王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍,.,一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：,“,你怎么知道李子是苦的呢？,”,王戎说：,“,假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的,.,”,思考,本故事中王戎运用了什么论证思想？,答案,运用了反证法思想,.,梳理,(1),定义：假设原命题,，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明,，从而证明了,，这样的证明方法叫做反证法,.,(2),反证法常见的矛盾类型,反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,.,这个矛盾可以是与,矛盾，或与,矛盾，或与,矛盾等,.,不成立,假设错误,原命题成立,已知条件,假设,定义、公理、定理、事实,1.,反证法属于间接证明问题的方法,.(,),2.,反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理,.(,),3.,反证法的实质是否定结论导出矛盾,.(,),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一用反证法证明否定性命题,证明,例,1,已知,a,，,b,，,c,，,d,R,，且,ad,bc,1,，求证：,a,2,b,2,c,2,d,2,ab,cd,1.,证明,假设,a,2,b,2,c,2,d,2,ab,cd,1.,因为,ad,bc,1,，,所以,a,2,b,2,c,2,d,2,ab,cd,bc,ad,0,，,即,(,a,b,),2,(,c,d,),2,(,a,d,),2,(,b,c,),2,0.,所以,a,b,0,，,c,d,0,，,a,d,0,，,b,c,0,，,则,a,b,c,d,0,，,这与已知条件,ad,bc,1,矛盾，故假设不成立,.,所以,a,2,b,2,c,2,d,2,ab,cd,1.,反思与感悟,(1),用反证法证明否定性命题的适用类型：,结论中含有,“,不,”“,不是,”“,不可能,”“,不存在,”,等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法,.,(2),用反证法证明数学命题的步骤,证明,a,，,b,，,c,成等比数列，,b,2,ac,，,a,c,，从而,a,b,c,.,这与已知,a,，,b,，,c,不成等差数列相矛盾，,类型二用反证法证明,“,至多、至少,”,类问题,证明,例,2,a,，,b,，,c,(0,2),，求证：,(2,a,),b,，,(2,b,),c,，,(2,c,),a,不能都大于,1.,证明,假设,(2,a,),b,，,(2,b,),c,，,(2,c,),a,都大于,1.,因为,a,，,b,，,c,(0,2),，,所以,2,a,0,2,b,0,2,c,0.,所以,(2,a,),b,，,(2,b,),c,，,(2,c,),a,不能都大于,1.,证明,引申探究,已知,a,，,b,，,c,(0,1),，求证：,(1,a,),b,，,(1,b,),c,，,(1,c,),a,不能都大于,a,，,b,，,c,都是小于,1,的正数，,1,a,1,b,1,c,都是正数,.,反思与感悟,应用反证法常见的,“,结论词,”,与,“,反设词,”,当命题中出现,“,至多,”“,至少,”,等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂,.,这时，可用反证法证明，证明时常见的,“,结论词,”,与,“,反设词,”,如：,结论词,反设词,结论词,反设词,至少有一个,一个也没有,对所有,x,成立,存在某个,x,0,不成立,至多有一个,至少有两个,对任意,x,不成立,存在某个,x,0,成立,至少有,n,个,至多有,n,1,个,p,或,q,綈,p,且,綈,q,至多有,n,个,至少有,n,1,个,p,且,q,綈,p,或,綈,q,证明,跟踪训练,2,已知,a,，,b,，,c,是互不相等的实数，求证：由,y,1,ax,2,2,bx,c,，,y,2,bx,2,2,cx,a,和,y,3,cx,2,2,ax,b,确定的三条抛物线至少有一条与,x,轴有两个不同的交点,.,证明,假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与,x,轴有两个不同的交点，,由,y,1,ax,2,2,bx,c,，,y,2,bx,2,2,cx,a,，,y,3,cx,2,2,ax,b,，,得,1,4,b,2,4,ac,0,，,2,4,c,2,4,ab,0,，,且,3,4,a,2,4,bc,0.,同向不等式求和，得,4,b,2,4,c,2,4,a,2,4,ac,4,ab,4,bc,0,，,所以,2,a,2,2,b,2,2,c,2,2,ab,2,bc,2,ac,0,，,所以,(,a,b,),2,(,b,c,),2,(,a,c,),2,0,，所以,a,b,c,.,这与题设,a,，,b,，,c,互不相等矛盾，,因此假设不成立，从而命题得证,.,类型三用反证法证明唯一性命题,证明,例,3,求证：方程,2,x,3,有且只有一个根,.,证明,2,x,3,，,x,log,2,3.,这说明方程,2,x,3,有根,.,下面用反证法证明方程,2,x,3,的根是唯一的,.,假设方程,2,x,3,至少有两个根,b,1,，,b,2,(,b,1,b,2,),，,则,3,3,，两式相除得,1,，,b,1,b,2,0,，则,b,1,b,2,，这与,b,1,b,2,矛盾,.,假设不成立，从而原命题得证,.,反思与感悟,用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明,“,有且只有一个,”,的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性,.,当证明结论是以,“,有且只有,”“,只有一个,”“,唯一存在,”,等形式出现的命题时，可先证,“,存在性,”,，由于假设,“,唯一性,”,结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性,.,跟踪训练,3,若函数,f,(,x,),在区间,a,，,b,上是增函数，求证：方程,f,(,x,),0,在区间,a,，,b,上至多有一个实根,.,证明,假设方程,f,(,x,),0,在区间,a,，,b,上至少有两个实根，,设,，,为其中的两个实根,.,因为,，不妨设,，,又因为函数,f,(,x,),在,a,，,b,上是增函数，所以,f,(,),f,(,).,这与假设,f,(,),0,f,(,),矛盾，所以方程,f,(,x,),0,在区间,a,，,b,上至多有一个实根,.,证明,达标检测,1.,证明,“,在,ABC,中至多有一个直角或钝角,”,，第一步应假设,A.,三角形中至少有一个直角或钝角,B.,三角形中至少有两个直角或钝角,C.,三角形中没有直角或钝角,D.,三角形中三个角都是直角或钝角,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,2.,已知,a,，,b,是异面直线，直线,c,平行于直线,a,，那么直线,c,与,b,的位置关系为,A.,一定是异面直线,B.,一定是相交直线,C.,不可能是平行直线,D.,不可能是相交直线,解析,假设,c,b,，而由,c,a,，可得,a,b,，这与,a,，,b,异面矛盾，故,c,与,b,不可能是平行直线,.,解析,答案,3.,用反证法证明,“,在三角形中至少有一个内角不小于,60,”,，应先假设这个三角形中,A.,有一个内角小于,60 B.,每一个内角都小于,60,C.,有一个内角大于,60 D.,每一个内角都大于,60,1,2,3,4,5,答案,4.,用反证法证明,“,在同一平面内，若,a,c,，,b,c,，则,a,b,”,时，应假设,A.,a,不垂直于,c,B.,a,，,b,都不垂直于,c,C.,a,b,D.,a,与,b,相交,1,2,3,4,5,答案,证明,1,2,3,4,5,证明,假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，,1,2,3,4,5,用反证法证题要把握三点,(1),必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的；,(2),反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法；,(3),反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的,.,规律与方法,