江苏专用高考数学一轮复习第二十一章计数原理21.1分类加法计数原理分步乘法计数原理排列与组合.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),第二十一章计数原理,21.1分类加法计数原理、分步乘法计数原理、,排列与组合,(2016江苏,23,10分),(1)求7,-4,的值;,(2)设,m,n,N,*,n,m,求证:,(,m,+1),+(,m,+2),+(,m,+3),+,+,n,+(,n,+1),=(,m,+1),.,A,组 自主命题,江苏卷题组,五年高考,解析,(1)7,-4,=7,-4,=0.,(2)证明:当,n,=,m,时,结论显然成立.当,n,m,时,(,k,+1),=,=(,m,+1),=(,m,+1),k,=,m,+1,m,+2,n,.,又因为,+,=,所以(,k,+1),=(,m,+1)(,-,),k,=,m,+1,m,+2,n,.,因此,(,m,+1),+(,m,+2),+(,m,+3),+,+(,n,+1),=(,m,+1),+(,m,+2),+(,m,+3),+,+(,n,+1),=(,m,+1),+(,m,+1)(,-,)+(,-,)+,+(,-,)=(,m,+1),.,考点分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与组合,1.,(2017山东理改编,8,5分)从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是,.,B组,统一命题,省(区、市)卷题组,答案,解析,本题主要考查古典概型.,由题意可知依次抽取两次的基本事件总数,n,=9,8=72,抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的基本,事件个数,m,=,=40,所以所求概率,P,=,=,=,.,方法技巧,古典概型中基本事件个数的探求方法:,枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举;,树状图法:适用于对较为复杂的问题中的基本事件的探求,注意对有序问题的基本事件的探,求;,排列、组合法:在求一些较为复杂的基本事件时,可利用排列、组合知识求出基本事件个数.,2.,(2017课标全国理改编,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人,完成,则不同的安排方式共有,种.,答案,36,解析,本题主要考查排列、组合.,第一步:将4项工作分成3组,共有,种分法.,第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有,种分配方法,故共有,=36种安排方式.,方法总结,分组、分配问题,分组、分配问题是排列组合的综合问题,解题思想是先分组后分配.,(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种:,完全均匀分组,每组元素的个数都相等;,部分均匀分组,应注意不要重复;,完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.,(2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种:,相同元素的分配问题,常用“挡板法”;,不同元素的分配问题,利用分步乘法计数原理,先分组,后分配;,有限制条件的分配问题,采用分类法求解.,3.,(2017浙江,16,5分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务,队,要求服务队中至少有1名女生,共有,种不同的选法.(用数字作答),答案,660,解析,本题考查计数原理、排列、组合,排列数、组合数计算,利用间接法解决“至少”类的组,合问题,考查推理运算能力.,从8人中选出4人,且至少有1名女学生的选法种数为,-,=55.,从4人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为,=12种.,故总共有55,12=660种选法.,4.,(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四,位数,这样的四位数一共有,个.(用数字作答),答案,1 080,解析,本题主要考查计数原理及排列组合的应用.,(1)有一个数字是偶数的四位数有,=960个.,(2)没有偶数的四位数有,=120个.,故这样的四位数一共有960+120=1 080个.,思路分析,分两种情况:有一个数字是偶数的四位数;,没有偶数的四位数.,5.,(2016课标全国理改编,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位,于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为,.,答案,18,解析,分两步,第一步,从EF,有6条可以选择的最短路径;第二步,从FG,有3条可以选择的最,短路径.由分步乘法计数原理可知有6,3=18条可以选择的最短路径.,6.,(2016课标全国理改编,12,5分)定义“规范01数列”,a,n,如下:,a,n,共有2,m,项,其中,m,项为0,m,项为1,且对任意,k,2,m,a,1,a,2,a,k,中0的个数不少于1的个数,若,m,=4,则不同的“规范01数列”共,有,.,答案,14,解析,当,m,=4时,数列,a,n,共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意,k,8,a,1,a,2,a,k,中0的个数,不少于1的个数,则必有,a,1,=0,a,8,=1,a,2,可为0,也可为1.(1)当,a,2,=0时,分以下3种情况:若,a,3,=0,则,a,4,a,5,a,6,a,7,中任意一个为0均可,则有,=4种情况;若,a,3,=1,a,4,=0,则,a,5,a,6,a,7,中任意一个为0均可,有,=3,种情况;若,a,3,=1,a,4,=1,则,a,5,必为0,a,6,a,7,中任一个为0均可,有,=2种情况;(2)当,a,2,=1时,必有,a,3,=0,分,以下2种情况:若,a,4,=0,则,a,5,a,6,a,7,中任一个为0均可,有,=3种情况;若,a,4,=1,则,a,5,必为0,a,6,a,7,中任,一个为0均可,有,=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个.,解后反思,本题是“新定义”问题,首先理解清“规范01数列”的定义是解题的关键,注意分类,讨论时要不重不漏.,评析,本题是新定义问题,考查学生分析、解决问题的能力,理解“规范01数列”的定义并分类,讨论是解题关键,属难题.,7.,(2016四川理改编,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为,.,答案,72,解析,奇数的个数为,=72.,8.,(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全,班共写了,条毕业留言.(用数字作答),答案,1 560,解析,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,全班共写了40,39=1,560条毕业留言.,9.,(2015四川改编,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共,有,个.,答案,120,解析,数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以,4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2,=48个;同理,以5开头的有3,=72个.于是共有48+72,=120个.,评析,本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.考查学生分析问题、解决问题的能力.,10.,(2014四川改编,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不,同的排法共有,种.,答案,216,解析,若最左端排甲,其他位置共有,=120种排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个,位置有,=24种排法,所以共有120+4,24=216种排法.,11.,(2014重庆改编,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目,的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是,.,答案,120,解析,先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有,=144种,再剔除,小品类节目相邻的情况,共有,=24种,于是符合题意的排法共有144-24=120种.,12.,(2013浙江理,14,4分)将,A,B,C,D,E,F,六个字母排成一排,且,A,B,均在,C,的同侧,则不同的排法共,有,种(用数字作答).,答案,480,解析,从左往右看,若,C,排在第1位,共有排法,=120种;若,C,排在第2位,共有排法,=72种;若,C,排在第3位,则,A,、,B,可排,C,的左侧或右侧,共有排法,+,=48种;若,C,排在第4,5,6位时,其,排法数与排在第3,2,1位相同,故共有排法2,(120+72+48)=480种.,1.,(2014大纲全国改编,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一,个医疗小组.则不同的选法共有,种.,C,组 教师专用题组,答案,75,解析,从6名男医生中选出2名有,种选法,从5名女医生中选出1名有,种选法,由分步乘法计,数原理得不同的选法共有,=75种.,2.,(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则,不同的摆法有,种.,答案,36,解析,记另外两件产品为D、E,A、B相邻视为一个元素,先与D、E排列,有,种方法;再将C,插入,仅有3个空位可选,共有,=2,6,3=36种不同的摆法.,3.,(2013北京理,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给,同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是,.,答案,96,解析,5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观,券分给4人,则不同的分法种数是4,=96.,评析,本题主要考查排列组合问题,“5张参观券分成4份,且2张参观券连号的分法有4种”是解,题的关键,审题不清楚是学生失分的主要原因.,4.,(2013重庆理,13,5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗,小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是,(用数字作答).,答案,590,解析,按每科选派人数分3、1、1和2、2、1两类.,当选派人数为3、1、1时,有3类,共有,+,+,=200(种).,当选派人数为2、2、1时,有3类,共有,+,+,=390(种).,故共有590种.,评析,本题考查了组合问题,恰当分类、合理分步、不重不漏是解决此问题的关键.,5.,(2014安徽改编,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60,的共,有,对.,答案,48,解析,利用正方体中两个独立的正四面体解题,如图,它们的棱是原正方体的12条面对角线.,一个正四面体中两条棱成60,角的有(,-3)对,两个正四面体有(,-3),2对.又正方体的面对角线,平行成对,所以共有(,-3),2,2=48对.,三年模拟,A组 2015,2017年高考模拟,基础题组,(时间：35分钟 分值：45分),一、填空题(每题5分,共35分),1.,(2017江苏泰州期中)将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数的形式随机,排列,设,N,i,(,i,=1,2,3)表示第,i,行中最大的数,则满足,N,1,N,2,N,3,的所有排列的种数是,(用数字,作答).,答案,240,解析,由已知得数字6一定在第三行,第三行的排法种数为,=60;剩余的三个数字中最大的,一定排在第二行,第二行的排法种数为,=4,由分步计数原理可得所有排列的种数为240.,2.,(2017江苏苏州高三教学情况调研)从集合,U,=,a,b,c,d,的子集中选出4个不同的子集,需同时满,足以下两个条件:,(1),U,都要选出;,(2)对选出的任意两个子集,A,和,B,必有,A,B,或,A,B,.那么,共有,种不同的选法.,答案,36,解析,将选法分成两类.第一类:其中一个是含单元素的集合,则另一集合为含两个或三个元素,且含有单元素集合中的元素,有,6=24(种)选法.,第二类:其中一个是含两个元素的集合,则另一个是含有这两个元素的三元素集合,有,2=12,(种)选法.,故共有24+12=36(种)选法.,3.,(2017江苏南通期中)20个完全相同的小球放入1号,2号,3号的三个盒子中,要求每个盒内的球,数不小于它的编号数,则不同的放法种数为,.,答案,120,解析,先在编号为2,3的盒内分别放入1个球,2个球,还剩17个小球,三个盒内每个至少再放入1,个,将17个球排成一排,有16个空隙,插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可,共有,=120(种),放法.,4.,(2017江苏扬州期末)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4,个人,每人2张,不同的获奖情况有,种(用数字作答).,答案,60,解析,不同的获奖情况可分为以下两类:,(1)有一个人获得两张有奖奖券,另外还有一个人获得一张有奖奖券,有,=36种获奖情况.,(2)有三个人各获得一张有奖奖券,有,=24种获奖情况.,故不同的获奖情况有36+24=60种.,5.,(2015南京五校模拟)某一乒乓球队里有男队员5名,女队员4名,若从中选取男、女队员各一名,组成混合双打,则共有,种不同的选法.,答案,20,解析,=20(种).,6.,(2015江苏徐州五校模拟)用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为,.,答案,252,解析,由分步乘法计数原理知:用0,1,9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9,10,10=900,组成没有重复数字的三位数的个数为9,9,8=648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252.,7.,(2015江苏常州五校模拟),A,B,C,D,E,五人站成一排,如果,B,必须站在,A,的右边(,A,B,可以不相邻),那,么不同的排法共有,种.,答案,60,解析,可先选三个位置排,C,D,E,三人,共有,种排法,剩余两个位置排,A,B,两人,只有一种排法,由,分步乘法计数原理知,有,=60种排法.,二、解答题(共10分),8.,(2016江苏第一次大联考)设数列,a,n,按三角形进行排列,如图,第一层一个数,a,1,第二层两个数,a,2,和,a,3,第三层三个数,a,4,a,5,a,6,以此类推,且每个数字等于它下一层的左右两个数字之和,如,a,1,=,a,2,+,a,3,a,2,=,a,4,+,a,5,a,3,=,a,5,+,a,6,.,(1)若第四层四个数为0或1,a,1,为奇数,则第四层四个数共有多少种不同的取法?,(2)若第十一层十一个数为0或1,a,1,为5的倍数,则第十一层十一个数共有多少种不同的取法?,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,a,8,a,9,a,10,解析,(1)设第四层四个数字依次为,x,1,x,2,x,3,x,4,则第三层三个数字依次为,x,1,+,x,2,x,2,+,x,3,x,3,+,x,4,第二层两个数字依次为,x,1,+2,x,2,+,x,3,x,2,+2,x,3,+,x,4,所以,a,1,=,x,1,+3,x,2,+3,x,3,+,x,4,.,因为,a,1,为奇数,所以,x,1,+,x,2,+,x,3,+,x,4,为奇数,则,x,1,x,2,x,3,x,4,四个数取三个1或一个1,即共有,+,=8种不同,的取法.,(2)设第十一层十一个数字依次为,x,1,x,2,x,11,第十层十个数字依次为,x,1,+,x,2,x,2,+,x,3,x,10,+,x,11,第九层九个数字依次为,x,1,+2,x,2,+,x,3,x,2,+2,x,3,+,x,4,x,9,+2,x,10,+,x,11,以此类推,可得,a,1,=,x,1,+,x,2,+,x,3,+,+,x,10,+,x,11,.,因为,=10,=,=45,=,=120,=,=210,=252,所以只要,x,1,+252,x,5,+,x,11,是5的倍数,所以,x,1,x,5,x,11,都取0,而其余八个可以取0或1,这样共有2,8,=256种不同取法.,一、填空题(每题5分,共10分),1.,(2017江苏扬州期末),如图,用四种不同颜色给图中的,A,B,C,D,E,F,六个点涂色,要求每个点涂,一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有,种.,B,组 2015,2017年高考模拟,综合题组,(时间：20分钟 分值：20分),答案,264,解析,先涂,A,、,D,、,E,三个点,共有4,3,2=24种涂法,然后按,B,、,C,、,F,的顺序涂色,分为两类:一类,是,B,与,E,或,D,同色,共有1,2+1,2+1,1+1,2+1,1=8种涂法;另一类是,B,与,E,和,D,均不同色,共有1,(1,1+1,2)=3种涂法.所以不同的涂色方法共有24,(8+3)=264种.,方法总结,求解排列组合问题的思路:排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类相加,分步,相乘.,2.,(2015江苏苏州五校模拟)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中,任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为,.,答案,472,解析,分两种情况:,(1)不取红色卡片,有(,-3,)种取法.,(2)取红色卡片1张,有,种取法.,所以不同的取法有,-3,+,=472(种).,二、解答题(共10分),3.,(2017江苏南通、扬州、泰州第二次调研)设,S,4,k,=,a,1,+,a,2,+,+,a,4,k,(,k,N,*,),其中,a,i,0,1(,i,=1,2,4,k,).当,S,4,k,除以4的余数是,b,(,b,=0,1,2,3)时,数列,a,1,a,2,a,4,k,的个数记为,m,(,b,).,(1)当,k,=2时,求,m,(1)的值;,(2)求,m,(3)关于,k,的表达式,并化简.,解析,(1)当,k,=2时,数列,a,1,a,2,a,3,a,8,中有1个1或5个1,其余为0,所以,m,(1)=,+,=64.,(2)依题意,数列,a,1,a,2,a,4,k,中有3个1,或7个1,或11个1,或(4,k,-1)个1,其余为0,所以,m,(3)=,+,+,+,+,.,同理,得,m,(1)=,+,+,+,+,.,因为,=,(,i,=3,7,11,4,k,-1),所以,m,(1)=,m,(3).,又,m,(1)+,m,(3)=,+,+,+,+,+,=2,4,k,-1,所以,m,(3)=2,4,k,-2,=4,2,k,-1,.,