北京专用高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第八节解三角形.ppt

,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第八节解三角形,总纲目录,教材研读,1.,用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、角度,计算面积等.,考点突破,2.,实际问题中的常用角,3.,解关于解三角形的应用题的一般步骤基本运算,考点二测量高度问题,考点一测量距离问题,考点三测量角度问题,教材研读,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、角度,计算面积等.,2.实际问题中的常用角,(1)仰角和俯角,与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在,水平线,上方,的角叫仰角,目标视线在水平线,下方,的角叫俯,角(如图).,(2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30,北,偏西45,等.,(3)方位角,从,正北,方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点,B,的,方位角为,(如图).,(4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角.,(附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平长度之比),3.解关于解三角形的应用题的一般步骤,(1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的,关系;,(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题;,(3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解;,(4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算,等的要求.,1.从,A,处望,B,处的仰角为,从,B,处望,A,处的俯角为,则,与,的关系为,(),A.,B.,=,C.,+,=90,D.,+,=180,B,答案,B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图,如图,可知,=,.,2.如图所示,已知两座灯塔,A,和,B,与海洋观察站,C,的距离都等于,a,km,灯塔,A,在观察站,C,的北偏东20,的方向上,灯塔,B,在观察站,C,的南偏东40,的方,向上,则灯塔,A,与灯塔,B,的距离为,(),A.,a,kmB.,a,kmC.,a,kmD.2,a,km,B,答案,B,ACB,=180,-(20,+40,)=120,在,ABC,中,AB,2,=,AC,2,+,BC,2,-,2,AC,BC,cos 120,=,a,2,+,a,2,-2,a,2,=3,a,2,AB,=,a,(km),故选B.,3.甲从点,O,出发先向东行走了,km,又向北行走了1 km到达点,P,乙从,点,O,出发向北偏西60,方向行走了4 km到达点,Q,则,P,、,Q,两点间的距离,为,2,km.,答案,2,解析,如图所示,OQ,=4 km,OA,=,km,PA,=1 km,PAO,=90,所以,POA,=30,则,OP,=2 km,由题意知,POQ,=120,在,POQ,中,由余弦定理得,PQ,2,=,OQ,2,+,OP,2,-2,OP,OQ,cos,POQ,=4,2,+2,2,-2,2,4,=28,所以,PQ,=2,km,所以,P,、,Q,两点间的距离为2,km.,4.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔,P,的南偏西75,距灯塔68,海里的,M,处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的,N,处,则此船航行的速,度为,海里/时.,解析,如图,由题意知,MPN,=75,+45,=120,PNM,=45,.,在,PMN,中,=,MN,=68,=34,海里.,答案,又由,M,到,N,所用的时间为14-10=4小时,此船的航行速度,v,=,=,海里/时.,考点一测量距离问题,考点突破,典例1,(1)如图,从气球,A,上测得正前方的河流的两岸,B,C,的俯角分别为,67,30,此时气球的高是46 m,则河流的宽度,BC,约等于,m;(用四,舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67,0.92,cos 67,0.39,sin 37,0.60,cos 37,0.80,1.73),(2)如图,某观测站,C,在城,A,的南偏西20,的方向上,从城,A,出发有一条走向为南偏东40,的公路,在,C,处观测到距离,C,处31 km的公路上的,B,处有一辆,汽车正沿公路向,A,城驶去,行驶了20 km后到达,D,处,测得,C,D,两处的距离,为21 km,这时此车距离,A,城,km.,答案,(1)60(2)15,解析,(1)设气球,A,在地面的投影为点,D,则,AD,=46 m,于是,BD,=,AD,tan(90,-67,)=46,19.5 m,DC,=,AD,tan(90,-30,)=46,79.6 m,BC,=,DC,-,BD,=79.6-19.5,60 m.,(2)在,BCD,中,BC,=31 km,BD,=20 km,CD,=21 km,由余弦定理得,cos,BDC,=,=,=-,所以cos,ADC,=,所以sin,ADC,=,.,在,ACD,中,CD,=21 km,CAD,=60,所以sin,ACD,=sin(60,+,ADC,)=,+,=,.,由正弦定理得,=,所以,AD,=,=15 km.,方法技巧,求解距离问题的一般步骤,(1)画出示意图,将实际问题转化成三角形问题;,(2)明确所求的距离在哪个三角形中,有几个已知元素;,(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(对于解答题,应作答).,1-1,如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由,A,处出发,沿北偏东60,方向进行海面巡逻,当航行半小时到达,B,处时,发现北偏西,45,方向有一艘船,C,若船,C,位于,A,的北偏东30,方向上,则缉私艇所在的,B,处与船,C,的距离是,(),A.5(,+,)km B.5(,-,)km,C.10(,-,)km D.10(,+,)km,C,答案,C由题意知,BAC,=60,-30,=30,ABC,=30,+45,=75,ACB,=180,-75,-30,=75,AC,=,AB,=40,=20(km).,由余弦定理,得,BC,2,=,AC,2,+,AB,2,-2,AC,AB,cos,BAC,=20,2,+20,2,-2,20,20,cos 30,=800-400,=400(2-,),BC,=10(,-,)(km),缉私艇所在的,B,处与船,C,的距离是10(,-,)km.,典例2,如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到,A,处时测得,公路北侧一山顶,D,在西偏北30,的方向上,行驶600 m后到达,B,处,测得此,山顶在西偏北75,的方向上,仰角为30,则此山的高度,CD,=,100,m.,考点二测量高度问题,解析,依题意有,AB,=600,CAB,=30,CBA,=180,-75,=105,DBC,=30,DC,CB,.,ACB,=45,在,ABC,中,由,=,得,=,有,CB,=300,在Rt,BCD,中,CD,=,CB,tan 30,=100,则此山的高度,CD,=100,m.,答案,100,易错警示,解决高度问题的注意事项,(1)在解决有关高度的问题时,要理解仰角、俯角的概念.,(2)在实际问题中,可能会遇到同时研究空间与平面(地面)的问题,这时,最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又,不容易搞错.,(3)一般是把高度问题转化成三角形的问题,要注意三角形中的边角关,系的应用,若是空间的问题,则要注意空间图形和平面图形的结合.,2-1,如图,为了估测某塔的高度,在同一水平面的,A,B,两点处进行测量,在点,A,处测得塔顶,C,在西偏北20,的方向上,仰角为60,在点,B,处测得塔顶,C,在东偏北40,的方向上,仰角为30,.若,A,B,两点相距130 m,则塔,CD,的高,度为,10,m.,答案,10,解析,设,CD,=,h,m,则,AD,=,m,BD,=,h,m,在,ADB,中,ADB,=180,-20,-40,=120,由余弦定理得,AB,2,=,BD,2,+,AD,2,-2,BD,AD,cos 120,可得130,2,=,3,h,2,+,-2,h,解得,h,=10,(负值舍去),故塔的高度为10,m.,典例3,如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇(位于,A,处),发现在北偏东45,方向,相距12 n mile的水面,B,处,有蓝方一艘小艇正以每,小时10 n mile的速度沿南偏东75,方向前进,若红方侦察艇以每小时,14 n mile的速度,沿北偏东45,+,方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间,内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角,的正弦值.,考点三测量角度问题,解析,如图,设红方侦察艇在,C,处拦截住蓝方的小艇,且经过的时间为,x,小时,则,AC,=14,x,(n mile),BC,=10,x,(n mile),ABC,=120,.,根据余弦定理得(14,x,),2,=12,2,+(10,x,),2,-240,x,cos 120,解得,x,=2(负值舍去).,故,AC,=28(n mile),BC,=20(n mile).,根据正弦定理得,=,解得sin,=,=,.,综上,要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇,则所需要的时,间为2小时,角,的正弦值为,.,易错警示,解决测量角度问题的注意事项,(1)明确方向角的含义;,(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关,键、最重要的一步;,(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理,的综合运用.,3-1,如图所示,位于,A,处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的,B,处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南,偏西30,相距20海里的,C,处的乙船,现乙船朝北偏东,的方向沿直线前往,B,处救援,求cos,的值.,解析,在,ABC,中,AB,=40海里,AC,=20海里,BAC,=120,由余弦定理,得,BC,2,=,AB,2,+,AC,2,-2,AB,AC,cos 120,=2 800,所以,BC,=20,海里.,由正弦定理,得sin,ACB,=,sin,BAC,=,.,由,BAC,=120,知,ACB,为锐角,故cos,ACB,=,.,故cos,=cos(,ACB,+30,),=cos,ACB,cos 30,-sin,ACB,sin 30,=,.,