江苏专用高考数学一轮复习第十三章空间几何体.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),第十三章 空间几何体,1.,(2014江苏,8,5分,0.84)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为,S,1,、,S,2,体积分别为,V,1,、,V,2,若它们的,侧面积相等,且,=,则,的值是,.,A,组 自主命题,江苏卷题组,五年高考,答案,解析,设圆柱甲的底面半径为,r,1,高为,h,1,圆柱乙的底面半径为,r,2,高为,h,2,.,由题意得,=,=,=,.,又,S,甲侧,=,S,乙侧,即2,r,1,h,1,=2,r,2,h,2,=,=,故,=,=,=,=,.,评析,考查立体几何中侧面积、体积公式,考查运算和恒等变形的能力.,2.,(2015江苏,9,5分,0.785)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8,的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱,各一个,则新的底面半径为,.,答案,解析,原两个几何体的总体积,V,=,5,2,4+,2,2,8=,.由题意知新圆锥的高为4,新圆柱的高,为8,且它们的底面半径相同,可设两几何体的底面半径均为,r,(,r,0),则,r,2,4+,r,2,8=,解,得,r,2,=7,从而,r,=,.,3.,(2013江苏,8,5分,0.557)如图,在三棱柱,A,1,B,1,C,1,-,ABC,中,D,E,F,分别是,AB,AC,AA,1,的中点,设三棱锥,F,-,ADE,的体积为,V,1,三棱柱,A,1,B,1,C,1,-,ABC,的体积为,V,2,则,V,1,V,2,=,.,答案,解析,由题意知,三棱锥,F,-,ADE,与三棱柱,A,1,B,1,C,1,-,ABC,的高之比为,底面积之比为,故,V,1,V,2,=,=,.,考点一表面积,1.,(2017课标全国文,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球,O,的球面上,则球,O,的,表面积为,.,B组,统一命题,省(区、市)卷题组,答案,14,解析,本题考查长方体和球的性质,考查了球的表面积公式.,由题意知长方体的体对角线为球,O,的直径,设球,O,的半径为,R,则(2,R,),2,=3,2,+2,2,+1,2,=14,得,R,2,=,所以,球,O,的表面积为4,R,2,=14.,疑难突破,长方体的体对角线为球的直径是求解的关键.,易错警示,易因用错球的表面积公式而致错.,2.,(2017课标全国文,16,5分)已知三棱锥,S,-,ABC,的所有顶点都在球,O,的球面上,SC,是球,O,的直径.,若平面,SCA,平面,SCB,SA,=,AC,SB,=,BC,三棱锥,S,-,ABC,的体积为9,则球,O,的表面积为,.,答案,36,解析,由题意作出图形,如图.,设球,O,的半径为,R,由题意知,SB,BC,SA,AC,又,SB,=,BC,SA,=,AC,则,SB,=,BC,=,SA,=,AC,=,R,.连接,OA,OB,则,OA,SC,OB,SC,因为平面,SCA,平面,SCB,平面,SCA,平面,SCB,=,SC,所以,OA,平面,SCB,所以,OA,OB,则,AB,=,R,所以,ABC,是边长为,R,的等边三角形,设,ABC,的中心为,O,1,连接,OO,1,CO,1,.,则,OO,1,平面,ABC,CO,1,=,R,=,R,则,OO,1,=,=,R,则,V,S,-,ABC,=2,V,O,-,ABC,=2,(,R,),2,R,=,R,3,=9,所以,R,=3.,所以球,O,的表面积,S,=4,R,2,=36.,3.,(2016课标全国改编,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为,.,答案,12,解析,设正方体的棱长为,a,则,a,3,=8,解得,a,=2.,设球的半径为,R,则2,R,=,a,即,R,=,所以球的表面积,S,=4,R,2,=12.,评析,本题考查了正方体和球的切接问题.正方体的体对角线即为其外接球的直径.,4.,(2013课标全国,15,5分,0.246)已知正四棱锥,O,-,ABCD,的体积为,底面边长为,则以,O,为,球心,OA,为半径的球的表面积为,.,答案,24,解析,设底面中心为,E,则|,AE,|=,|,AC,|=,体积,V,=,|,AB,|,2,|,OE,|=|,OE,|=,|,OA,|,2,=|,AE,|,2,+|,OE,|,2,=6.从而以,OA,为半径的球的表面积,S,=4|,OA,|,2,=24.,评析,本题考查了正四棱锥和球,考查了表面积和体积,考查了空间想象能力和运算求解能力.,计算错误是失分的主要原因.,5.,(2014山东,13,5分)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该,六棱锥的侧面积为,.,答案,12,解析,设六棱锥的高为,h,斜高为,h,0,.因为该六棱锥的底面是边长为2的正六边形,所以底面面积为,2,2,sin 60,6=6,则,6,h,=2,得,h,=1,所以,h,0,=,=2,所以该六棱锥的侧面积为,2,2,6=12.,6,.(2017课标全国文,18,12分)如图,在四棱锥,P,-,ABCD,中,AB,CD,且,BAP,=,CDP,=90,.,(1)证明:平面,PAB,平面,PAD,;,(2)若,PA,=,PD,=,AB,=,DC,APD,=90,且四棱锥,P,-,ABCD,的体积为,求该四棱锥的侧面积.,解析,本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算.,(1)证明:由已知,BAP,=,CDP,=90,得,AB,AP,CD,PD,.,由于,AB,CD,故,AB,PD,从而,AB,平面,PAD,.,又,AB,平面,PAB,所以平面,PAB,平面,PAD,.,(2)在平面,PAD,内作,PE,AD,垂足为,E,.,由(1)知,AB,平面,PAD,故,AB,PE,可得,PE,平面,ABCD,.,设,AB,=,x,则由已知可得,AD,=,x,PE,=,x,.,故四棱锥,P,-,ABCD,的体积,V,P,-,ABCD,=,AB,AD,PE,=,x,3,.,由题设得,x,3,=,故,x,=2.,从而,PA,=,PD,=2,AD,=,BC,=2,PB,=,PC,=2,.,可得四棱锥,P,-,ABCD,的侧面积为,PA,PD,+,PA,AB,+,PD,DC,+,BC,2,sin 60,=6+2,.,方法总结,1.面面垂直的证明,证明两个平面互相垂直,可以在一个平面内找一条直线,l,证明直线,l,垂直于另一个平面.,2.线面垂直的证明,(1)证明直线,l,垂直于平面内的两条相交直线.,(2)若已知两个平面垂直,则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.,3.几何体的体积,柱体的体积,V,=,S,底,h,.,锥体的体积,V,=,S,底,h,.,4.几何体的表面积,直棱柱的侧面积,S,侧,=,C,底,l,其他几何体一般要对各个侧面、底面逐个分析求解面积,最后求和.,考点二体积,1.,(2017课标全国理改编,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球,的球面上,则该圆柱的体积为,.,答案,解析,本题考查球的内接圆柱的体积.,设圆柱的底面半径为,r,则,r,2,+,=1,2,解得,r,=,V,圆柱,=,1=,.,2.,(2017课标全国理,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为,O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形,ABC,的中心为,O,.,D,E,F,为圆,O,上的点,DBC,ECA,FAB,分别是以,BC,CA,AB,为底边的等腰三,角形.沿虚线剪开后,分别以,BC,CA,AB,为折痕折起,DBC,ECA,FAB,使得,D,E,F,重合,得到三,棱锥.当,ABC,的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm,3,)的最大值为,.,答案,4,解析,由题意知折叠以后三棱锥的直观图如图所示.,连接,CO,并延长交,AB,于,H,连接,DO,、,DH,.则,DO,平面,ABC,.,令,OH,=,x,cm,则,OC,=2,x,cm,DH,=(5-,x,)cm,得,OD,=,cm,AB,=2,x,cm.,则,V,D,-,ABC,=,=,x,2,=,x,2,cm,3,令,f,(,x,)=,x,2,则,f,(,x,)=,=,则当,x,(0,2)时,f,(,x,)单调递增,当,x,(2,2.5)时,f,(,x,)单调递减,所以当,x,=2时,体积取最大值,为,4,=4,cm,3,.,方法总结,求解立体几何中的最值问题.,在求解立体几何中的最值问题时,注意先要引入自变量,x,再根据几何体的点、线、面的位置关,系,表示几何体中的相关量,进而建立起目标函数,最后,利用函数的性质来求解最值.,3.,(2017天津理改编,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积,为18,则这个球的体积为,.,答案,解析,本题考查正方体的表面积及外接球的体积.,设这个正方体的棱长为,a,由题意可知6,a,2,=18,所以,a,=,所以这个正方体的外接球半径,R,=,a,=,所以这个正方体外接球的体积,V,=,R,3,=,=,.,方法总结,找几何体外接球球心的方法:1.构造长方体(或正方体),将原几何体外接球转化成长,方体(或正方体)的外接球,进而易得球心位置;2.找几何体底面的外心,O,1,过,O,1,作底面的垂线,l,1,再,找几何体一侧面的外心,O,2,过,O,2,作该侧面的垂线,l,2,则,l,1,与,l,2,的交点即为外接球的球心.,4.,(2013课标全国理改编,6,5分,0.593)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8,cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容,器的厚度,则球的体积为,.,答案,cm,3,解析,设球心为,O,正方体上底面中心为,A,上底面一边的中点为,B,在Rt,OAB,中,|,OA,|=,R,-2(cm),|,AB,|=4(cm),|,OB,|=,R,(cm),由,R,2,=(,R,-2),2,+4,2,得,R,=5,V,球,=,R,3,=,(cm,3,).,评析,本题考查了正方体和球的组合体,考查了空间想象能力.利用勾股定理求出球半径,R,是解,题的关键.,5.,(2016课标全国,11,5分)在封闭的直三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,内有一个体积为,V,的球.若,AB,BC,AB,=6,BC,=8,AA,1,=3,则,V,的最大值是,.,答案,解析,易得,AC,=10.设底面,ABC,的内切圆的半径为,r,则,6,8=,(6+8+10),r,所以,r,=2,因为2,r,=,43,所以最大球的直径2,R,=3,即,R,=,.此时球的体积,V,=,R,3,=,.,评析,本题考查了球的体积公式和空间想象能力.,6.,(2015山东改编,7,5分)在梯形,ABCD,中,ABC,=,AD,BC,BC,=2,AD,=2,AB,=2.将梯形,ABCD,绕,AD,所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为,.,答案,解析,如图,此几何体是底面半径为1,高为2的圆柱挖去一个底面半径为1,高为1的圆锥,故所求,体积,V,=2-,=,.,评析,本题主要考查几何体的体积及空间想象能力.,7.,(2014陕西改编,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为,的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为,.,答案,解析,如图为正四棱柱,AC,1,.根据题意得,AC,=,对角面,ACC,1,A,1,为正方形,外接球直径2,R,=,A,1,C,=2,R,=1,V,球,=,.,8.,(2017课标全国文,19,12分)如图,四面体,ABCD,中,ABC,是正三角形,AD,=,CD,.,(1)证明:,AC,BD,;,(2)已知,ACD,是直角三角形,AB,=,BD,.若,E,为棱,BD,上与,D,不重合的点,且,AE,EC,求四面体,ABCE,与四面体,ACDE,的体积比.,解析,(1)证明:取,AC,的中点,O,连接,DO,BO,.,因为,AD,=,CD,所以,AC,DO,.,又由于,ABC,是正三角形,所以,AC,BO,.,从而,AC,平面,DOB,故,AC,BD,.,(2)连接,EO,.,由(1)及题设知,ADC,=90,所以,DO,=,AO,.,在Rt,AOB,中,BO,2,+,AO,2,=,AB,2,.,又,AB,=,BD,所以,BO,2,+,DO,2,=,BO,2,+,AO,2,=,AB,2,=,BD,2,故,DOB,=90,.,由题设知,AEC,为直角三角形,所以,EO,=,AC,.,又,ABC,是正三角形,且,AB,=,BD,所以,EO,=,BD,.,故,E,为,BD,的中点,从而,E,到平面,ABC,的距离为,D,到平面,ABC,的距离的,四面体,ABCE,的体积为四,面体,ABCD,的体积的,即四面体,ABCE,与四面体,ACDE,的体积之比为11.,9.,(2013四川,19,12分)如图,在三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,侧棱,AA,1,底面,ABC,AB,=,AC,=2,AA,1,=2,BAC,=,120,D,D,1,分别是线段,BC,B,1,C,1,的中点,P,是线段,AD,上异于端点的点.,(1)在平面,ABC,内,试作出过点,P,与平面,A,1,BC,平行的直线,l,说明理由,并证明直线,l,平面,ADD,1,A,1,;,(2)设(1)中的直线,l,交,AC,于点,Q,求三棱锥,A,1,-,QC,1,D,的体积.,锥体体积公式:,V,=,Sh,其中,S,为底面面,积,h,为高,解析,(1)如图,在平面,ABC,内,过点,P,作直线,l,BC,l,在平面,A,1,BC,外,BC,在平面,A,1,BC,内,由直线与平面平行的判定定理可知,l,平面,A,1,BC,.,已知,AB,=,AC,D,是,BC,的中点,所以,BC,AD,则直线,l,AD,.,因为,AA,1,平面,ABC,所以,AA,1,直线,l,.,又因为,AD,AA,1,在平面,ADD,1,A,1,内,且,AD,与,AA,1,相交,所以直线,l,平面,ADD,1,A,1,.,(2)过,D,作,DE,AC,于,E,.,因为,AA,1,平面,ABC,所以,DE,AA,1,.,又因为,AC,AA,1,在平面,AA,1,C,1,C,内,且,AC,与,AA,1,相交,所以,DE,平面,AA,1,C,1,C,.,由,AB,=,AC,=2,BAC,=120,有,AD,=1,DAC,=60,所以在,AED,中,DE,=,AD,=,又,=,A,1,C,1,AA,1,=1,所以,=,=,DE,=,1=,.,因此三棱锥,A,1,-,QC,1,D,的体积是,.,评析,本题主要考查基本作图、线面的平行与垂直、棱锥的体积等基础知识,考查推理论证能,力、运算求解能力、空间想象能力.,10.,(2014福建,19,12分)如图,三棱锥,A,-,BCD,中,AB,平面,BCD,CD,BD,.,(1)求证:,CD,平面,ABD,;,(2)若,AB,=,BD,=,CD,=1,M,为,AD,中点,求三棱锥,A,-,MBC,的体积.,解析,(1)证明:,AB,平面,BCD,CD,平面,BCD,AB,CD,.,又,CD,BD,AB,BD,=,B,AB,平面,ABD,BD,平面,ABD,CD,平面,ABD,.,(2)解法一:由,AB,平面,BCD,得,AB,BD,.,AB,=,BD,=1,S,ABD,=,.,M,是,AD,的中点,S,ABM,=,S,ABD,=,.,由(1)知,CD,平面,ABD,三棱锥,C,-,ABM,的高,h,=,CD,=1,因此三棱锥,A,-,MBC,的体积,V,A,-,MBC,=,V,C,-,ABM,=,S,ABM,h,=,.,由,AB,平面,BCD,知,平面,ABD,平面,BCD,又平面,ABD,平面,BCD,=,BD,所以,MN,平面,BCD,且,MN,=,AB,=,又,CD,BD,BD,=,CD,=1,S,BCD,=,.,三棱锥,A,-,MBC,的体积,V,A,-,MBC,=,V,A,-,BCD,-,V,M,-,BCD,=,AB,S,BCD,-,MN,S,BCD,=,.,评析,本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及几何体的体,积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想.,解法二:如图,过点,M,作,MN,BD,交,BD,于点,N,11.,(2014江西,19,12分)如图,三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,AA,1,BC,A,1,B,BB,1,.,(1)求证:,A,1,C,CC,1,;,(2)若,AB,=2,AC,=,BC,=,问,AA,1,为何值时,三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,体积最大,并求此最大值.,解析,(1)证明:由,AA,1,BC,知,BB,1,BC,又,BB,1,A,1,B,故,BB,1,平面,BCA,1,则,BB,1,A,1,C,又,BB,1,CC,1,所以,A,1,C,CC,1,.,(2)解法一:设,AA,1,=,x,在Rt,A,1,BB,1,中,A,1,B,=,.,同理,A,1,C,=,.,在,A,1,BC,中,cos,BA,1,C,=,=-,sin,BA,1,C,=,所以,=,A,1,B,A,1,C,sin,BA,1,C,=,.,从而三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,的体积,V,=,AA,1,=,.,因为,x,=,=,故当,x,=,=,即,AA,1,=,时,体积,V,取到最大值,.,解法二:过,A,1,作,BC,的垂线,垂足为,D,连接,AD,.,由于,AA,1,BC,A,1,D,BC,故,BC,平面,AA,1,D,BC,AD,.,又,BAC,=90,所以,S,ABC,=,AD,BC,=,AB,AC,得,AD,=,.,设,AA,1,=,x,在Rt,AA,1,D,中,A,1,D,=,=,=,A,1,D,BC,=,.,从而三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,的体积,V,=,AA,1,=,.,因为,x,=,=,故当,x,=,=,即,AA,1,=,时,体积,V,取到最大值,.,评析,本题考查线线、线面垂直的判定,空间几何体的体积及其最值的求解,考查学生的空间想,象能力、推理论证能力和运算求解能力,正确表示几何体的体积是解决本题的关键.,12.,(2013重庆,19,12分)如图,四棱锥,P,-,ABCD,中,PA,底面,ABCD,PA,=2,BC,=,CD,=2,ACB,=,ACD,=,.,(1)求证:,BD,平面,PAC,;,(2)若侧棱,PC,上的点,F,满足,PF,=7,FC,求三棱锥,P,-,BDF,的体积.,解析,(1)证明:因,BC,=,CD,即,BCD,为等腰三角形,又,ACB,=,ACD,故,BD,AC,.,因为,PA,底面,ABCD,所以,PA,BD,.从而,BD,与平面,PAC,内两条相交直线,PA,AC,都垂直,所以,BD,平面,PAC,.,(2)三棱锥,P,-,BCD,的底面,BCD,的面积,S,BCD,=,BC,CD,sin,BCD,=,2,2sin,=,.,由,PA,底面,ABCD,得,V,P,-,BCD,=,S,BCD,PA,=,2,=2.,由,PF,=7,FC,得三棱锥,F,-,BCD,的高为,PA,故,V,F,-,BCD,=,S,BCD,PA,=,2,=,所以,V,P,-,BDF,=,V,P,-,BCD,-,V,F,-,BCD,=2-,=,.,1.,(2015课标改编,6,5分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:,“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米,(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆,放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有,斛.,C,组 教师专用题组,答案,22,解析,设圆锥底面的半径为,R,尺,由,2,R,=8得,R,=,从而米堆的体积,V,=,R,2,5=,(立方,尺),因此堆放的米约有,22(斛).,2.,(2015课标改编,9,5分)已知,A,B,是球,O,的球面上两点,AOB,=90,C,为该球面上的动点.若三棱,锥,O,-,ABC,体积的最大值为36,则球,O,的表面积为,.,答案,144,解析,S,OAB,是定值,且,V,O,-,ABC,=,V,C,-,OAB,当,OC,平面,OAB,时,V,C,-,OAB,最大,即,V,O,-,ABC,最大.设球,O,的半径为,R,则(,V,O,-,ABC,),max,=,R,2,R,=,R,3,=36,R,=6,球,O,的表面积,S,=4,R,2,=4,6,2,=144.,3.,(2014广东,18,13分)如图1,四边形,ABCD,为矩形,PD,平面,ABCD,AB,=1,BC,=,PC,=2.作如图2折叠:,折痕,EF,DC,其中点,E,F,分别在线段,PD,PC,上,沿,EF,折叠后点,P,在线段,AD,上的点记为,M,并且,MF,CF,.,(1)证明:,CF,平面,MDF,;,(2)求三棱锥,M,-,CDE,的体积.,解析,(1)证明:,PD,平面,ABCD,AD,平面,ABCD,PD,AD,.,四边形,ABCD,是矩形,AD,DC,.,又,PD,DC,=,D,AD,平面,PCD,.,CF,平面,PCD,AD,CF,.,又,MF,CF,MF,AD,=,M,CF,平面,MDF,.,(2)由(1)知,CF,DF,PD,DC,在,PCD,中,DC,2,=,CF,PC,CF,=,=,.,又,EF,DC,=,ED,=,=,=,.,PE,=,ME,=,-,=,S,CDE,=,DC,ED,=,1,=,.,在Rt,MDE,中,MD,=,=,V,M,-,CDE,=,S,CDE,MD,=,=,.,填空题(每题5分,共35分),1.,(2017扬州中学高三月考,4)若长方体相邻三个侧面的面积分别是,则该长方体的体,积是,.,三年模拟,A组 2015,2017年高考模拟,基础题组,(时间：25分钟 分值：35分),答案,解析,设长方体的同一顶点处的三条棱长分别为,a,b,c,则由题设可得,三个式子相乘得,a,2,b,2,c,2,=6,从而,abc,=,所以该长方体的体积为,.,2.,(2017苏北四市高三上学期期中)将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周,则所形成的几何体体积是,.,答案,解析,形成的几何体为两个相同的圆锥,其体积为2,2,2,2,=,.,3.,(2017江苏南通、扬州、泰州三模,9)已知圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为,的扇形,则,这个圆锥的高是,.,答案,2,解析,设圆锥的母线长为,l,底面半径为,r,高为,h,则由题设可得,l,=3,2,r,=,3,所以,r,=1,从而,h,=,=,=2,.,4.,(2017苏锡常镇四市高三教学情况调研(二),8)已知直四棱柱的底面是边长为2的菱形,侧面对,角线的长为2,则该直四棱柱的侧面积为,.,答案,16,解析,设直四棱柱的高为,h,由题设可得,h,2,+2,2,=,所以,h,=2,所以侧面积为4,2,2,=16,.,.,5.,(2016江苏南通一模,8)已知正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为1,点,E,是棱,B,1,B,的中点,则三棱锥,B,1,-,ADE,的体积为,.,答案,解析,根据等体积法可得,=,=,1,1=,.,6.,(2016江苏南通、扬州、泰州调研,8)在体积为,的四面体,ABCD,中,AB,平面,BCD,AB,=1,BC,=,2,BD,=3,则,CD,长度的所有值为,.,答案,解析,由题设得,S,BCD,=,设,CBD,=,则由,2,3,sin,=,得,sin,=,从而cos,=,利用,余弦定理可得,CD,2,=2,2,+3,2,-2,2,3,从而,CD,=,或,CD,=,.经检验,能构成三角形.,7.,(2015江苏无锡期末,8)在三棱锥,P,-,ABC,中,D,E,分别为,PB,PC,的中点,记三棱锥,D,-,ABE,的体积为,V,1,P,-,ABC,的体积为,V,2,则,=,.,答案,解析,V,1,=,V,D,-,ABE,=,V,E,-,ABD,=,V,E,-,ABP,=,V,A,-,BEP,=,V,A,-,BCP,=,V,2,所以,=,.,一、填空题(每题5分,共30分),1.,(2017江苏六市高三联考,7)现有一个底面半径为3 cm,母线长为5 cm的圆锥形实心铁器,将其,高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗),则该铁球的半径是,cm.,B,组 2015,2017年高考模拟,综合题组,(时间：45分钟 分值：55分),答案,解析,因为圆锥的底面半径为3 cm,母线长为5 cm,所以高,h,=4 cm,从而,V,=,r,2,h,=12 cm,3,设铁球的半径是,R,cm,则,R,3,=12,所以,R,=,.,思路分析,由题意可得出圆锥与球的体积相同,利用相关体积公式直接计算.,易错警示,分清球体的表面积公式,S,=4,r,2,与体积公式,V,=,r,3,.,2.,(2017江苏常州奔牛中学高三调研,9)三棱锥,P,-,ABC,中,PC,平面,ABC,AC,BC,AC,=,BC,=1,PA,=,则该三棱锥外接球的表面积为,.,答案,5,解析,三棱锥,P,-,ABC,中,PC,平面,ABC,AC,BC,AC,=,BC,=1,PA,=,所以以,PC,CB,AC,为同一顶点处的三条棱长的长方体的对角线长为,=,从而该三棱锥外接球的半径,R,=,故该三棱锥外接球的表面积为,S,=4,R,2,=5.,思路分析,要求外接球的表面积,只要求其半径即可,联想相关几何体,可得其外接球半径,即为,以,PC,CB,AC,为同一顶点处的三条棱长的长方体的对角线的一半.,3.,(2017江苏南京、盐城一模,10)将矩形,ABCD,绕边,AB,所在直线旋转一周得到一个圆柱,AB,=3,BC,=2,圆柱上底面圆的圆心为,O,EFG,为下底面圆的一个内接直角三角形,则三棱锥,O,-,EFG,体,积的最大值是,.,答案,4,解析,将矩形,ABCD,绕边,AB,所在直线旋转一周得到一个圆柱,AB,=3,BC,=2,圆柱上底面圆的圆心为,O,EFG,为下底面圆的一个内接直角三角形,三棱锥,O,-,EFG,的高即为圆柱的高,为,AB,当三棱锥,O,-,EFG,体积取最大值时,EFG,的面积最大,即当,EF,为下底面圆的直径,且,G,在,EF,的垂直平分线上时,EFG,的面积最大,(,S,EFG,),max,=,4,2=4,三棱锥,O,-,EFG,体积的最大值,V,max,=,(,S,EFG,),max,AB,=,4,3=4.,思路分析,三棱锥,O,-,EFG,的高即为圆柱的高,为,AB,当三棱锥,O,-,EFG,体积取最大值时,EFG,的,面积最大,当,EF,为下底面圆的直径,且,G,在,EF,的垂直平分线上时,EFG,的面积最大,(,S,EFG,),max,=,4,2=4,由此可求出三棱锥,O,-,EFG,体积的最大值.,4.,(2017南京高三三模,10)如图,在直三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,AB,=1,BC,=2,BB,1,=3,ABC,=90,点,D,为,侧棱,BB,1,上的动点.当,AD,+,DC,1,最小时,三棱锥,D,-,ABC,1,的体积为,.,答案,解析,将直三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,的侧面沿,CC,1,展开成平面,AA,1,C,1,C,连接,AC,1,交,BB,1,于点,D,此时,AD,+,DC,1,最小,又知,ABD,ACC,1,=,.,又,AB,=1,BC,=2,CC,1,=3,=,BD,=1,则,=,.,=,1,1,2,=,.,5.,(2016江苏苏州一模,8)将半径为5的圆分割成面积之比为123的三个扇形作为三个圆锥的,侧面,设这三个圆锥的底面半径依次为,r,1,r,2,r,3,则,r,1,+,r,2,+,r,3,=,.,答案,5,解析,由题意得,扇形弧长为相应圆锥的底面周长,且三个圆锥的底面周长之和为圆的周长,因,此2(,r,1,+,r,2,+,r,3,)=2,5,所以,r,1,+,r,2,+,r,3,=5.,6.,(2015江苏淮安淮海中学模拟)正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为1,线段,B,1,D,1,上有两个动点,E,F,且,EF,=,则三棱锥,B,-,AEF,的体积为,.,答案,解析,连接,AC,BD,易知,AC,平面,BDD,1,B,1,则,V,B,-,AEF,=,V,A,-,BEF,=,S,BEF,=,EF,BB,1,=,1=,.,二、解答题(共25分),7.,(2015江苏连云港质量检测)如图,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,N,分别是,AB,BC,的中点.,(1)求证:平面,B,1,MN,平面,BB,1,D,1,D,;,(2)若在棱,DD,1,上有一点,P,使,BD,1,平面,PMN,求,DP,与,PD,1,的比.,解析,(1)证明:连接,AC,则,AC,BD,又,M,N,分别是,AB,BC,的中点,MN,AC,MN,BD,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,是正方体,BB,1,平面,ABCD,MN,平面,ABCD,BB,1,MN,又,BD,BB,1,=,B,MN,平面,BB,1,D,1,D,MN,平面,B,1,MN,平面,B,1,MN,平面,BB,1,D,1,D,.,(2)设,MN,与,BD,的交点是,Q,连接,PQ,BD,1,平面,PMN,BD,1,平面,BB,1,D,1,D,平面,BB,1,D,1,D,平面,PMN,=,PQ,BD,1,PQ,DP,PD,1,=,DQ,QB,=31.,8.,(2015江苏镇江期末)如图,在三棱锥,D,-,ABC,中,已知,BCD,是正三角形,AB,平面,BCD,AB,=,BC,=,a,E,为,BC,的中点,F,在棱,AC,上,且,AF,=3,FC,.,(1)求三棱锥,D,-,ABC,的体积;,(2)求证:,AC,平面,DEF,.,解析,(1)因为,BCD,是正三角形,且,BC,=,a,所以,S,BCD,=,a,2,又因为,AB,平面,BCD,且,AB,=,a,所以,V,D,-,ABC,=,V,A,-,BCD,=,AB,S,BCD,=,a,a,2,=,a,3,.,(2)证明:在,ABC,中,EF,AC,AC,平面,DEF,.,填空题,1.,(2017苏州高三上学期期末调研)一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为3,8,9,若在该长,方体上钻一个圆柱形的孔后,其表面积没有变化,则圆孔的半径为,.,C,组 2015,2017年高考模拟,创新题组,答案,3,解析,设圆孔的半径为,r,高为,h,则由题设可得2,r,2,=2,rh,所以,r,=,h,又,h,3,2,r,9,所以,r,=,h,=3.,2.,(2017扬州高三上学期期末)已知一个长方体的表面积为48,12条棱的长度之和为36,则这个长,方体的体积的取值范围是,.,答案,16,20,解析,设这个长方体的长、宽、高分别为,a,、,b,、,c,体积为,V,则由题设可得,所以,可得,b,+,c,=9-,a,a,(,b,+,c,)=24-,bc,故,bc,=24-9,a,+,a,2,从而,V,=,abc,=,a,(24-9,a,+,a,2,)=,a,3,-9,a,2,+24,a,由,b,+,c,2,可得(9-,a,),2,4(24-9,a,+,a,2,),所以1,a,5,而,V,=,3,a,2,-18,a,+24=3(,a,-2)(,a,-4),V,在1,2),(4,5上单调递增,在(2,4)上单调递减,由,V,(2)=,V,(5)=20,V,(4)=,V,(1)=16,结合函数图象可得长方体的体积的取值范围为16,20.,思路分析,长方体的体积与表面积都与棱长有关,由已知可以得出棱长的关系,所以可以考虑把,体积转化为某个变量的关系,再结合表达式求相关范围.,