江苏专用高考数学一轮复习第十四章点线面之间的位置关系14.3垂直的判定与性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),14.3垂直的判定与性质,1.,(2017江苏,15,14分)如图,在三棱锥,A,-,BCD,中,AB,AD,BC,BD,平面,ABD,平面,BCD,点,E,F,(,E,与,A,D,不重合)分别在棱,AD,BD,上,且,EF,AD,.,求证:(1),EF,平面,ABC,;,(2),AD,AC,.,A,组 自主命题,江苏卷题组,五年高考,证明,(1)在平面,ABD,内,因为,AB,AD,EF,AD,所以,EF,AB,.,又因为,EF,平面,ABC,AB,平面,ABC,所以,EF,平面,ABC,.,(2)因为平面,ABD,平面,BCD,平面,ABD,平面,BCD,=,BD,BC,平面,BCD,BC,BD,所以,BC,平面,ABD,.,因为,AD,平面,ABD,所以,BC,AD,.,又,AB,AD,BC,AB,=,B,AB,平面,ABC,BC,平面,ABC,所以,AD,平面,ABC,.,又因为,AC,平面,ABC,所以,AD,AC,.,方法总结,立体几何中证明线线垂直的一般思路:,(1)利用两平行直线垂直于同一条直线(,a,b,a,c,b,c,);,(2)线面垂直的性质(,a,b,a,b,).,2.,(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,D,E,分别为,AB,BC,的中点,点,F,在侧棱,B,1,B,上,且,B,1,D,A,1,F,A,1,C,1,A,1,B,1,.,求证:(1)直线,DE,平面,A,1,C,1,F,;,(2)平面,B,1,DE,平面,A,1,C,1,F,.,证明,(1)在直三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,A,1,C,1,AC,.,在,ABC,中,因为,D,E,分别为,AB,BC,的中点,所以,DE,AC,于是,DE,A,1,C,1,.,又因为,DE,平面,A,1,C,1,F,A,1,C,1,平面,A,1,C,1,F,所以直线,DE,平面,A,1,C,1,F,.,(2)在直三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,A,1,A,平面,A,1,B,1,C,1,.,因为,A,1,C,1,平面,A,1,B,1,C,1,所以,A,1,A,A,1,C,1,.,又因为,A,1,C,1,A,1,B,1,A,1,A,平面,ABB,1,A,1,A,1,B,1,平面,ABB,1,A,1,A,1,A,A,1,B,1,=,A,1,所以,A,1,C,1,平面,ABB,1,A,1,.,因为,B,1,D,平面,ABB,1,A,1,所以,A,1,C,1,B,1,D,.,又因为,B,1,D,A,1,F,A,1,C,1,平面,A,1,C,1,F,A,1,F,平面,A,1,C,1,F,A,1,C,1,A,1,F,=,A,1,所以,B,1,D,平面,A,1,C,1,F,.,因为直线,B,1,D,平面,B,1,DE,所以平面,B,1,DE,平面,A,1,C,1,F,.,3.,(2014江苏,16,14分,0.92)如图,在三棱锥,P,-,ABC,中,D,E,F,分别为棱,PC,AC,AB,的中点.已知,PA,AC,PA,=6,BC,=8,DF,=5.,求证:(1)直线,PA,平面,DEF,;,(2)平面,BDE,平面,ABC,.,证明,(1)证明:因为,D,E,分别为棱,PC,AC,的中点,所以,DE,PA,.,又因为,PA,平面,DEF,DE,平面,DEF,所以直线,PA,平面,DEF,.,(2)因为,D,E,F,分别为棱,PC,AC,AB,的中点,PA,=6,BC,=8,所以,DE,PA,DE,=,PA,=3,EF,=,BC,=4.,又因为,DF,=5,故,DF,2,=,DE,2,+,EF,2,所以,DEF,=90,即,DE,EF,.,又,PA,AC,DE,PA,所以,DE,AC,.,因为,AC,EF,=,E,AC,平面,ABC,EF,平面,ABC,所以,DE,平面,ABC,.,又,DE,平面,BDE,所以平面,BDE,平面,ABC,.,考点一线面垂直的判定与性质,1.,(2016浙江理,2,5分)已知互相垂直的平面,交于直线,l,.若直线,m,n,满足,m,n,则以下说法,正确的是,.,m,l,;,m,n,;,n,l,;,m,n,.,B组,统一命题,省(区、市)卷题组,答案,解析,对于,m,与,l,可能平行或异面,故错;对于、,m,与,n,可能平行、相交或异面,故、,错;对于,因为,n,l,所以,n,l,故正确.故填.,评析,本题考查了线面平行与垂直的性质及空间两条直线的位置关系.,2.,(2016课标全国,18,12分)如图,已知正三棱锥,P,-,ABC,的侧面是直角三角形,PA,=6.顶点,P,在平面,ABC,内的正投影为点,D,D,在平面,PAB,内的正投影为点,E,连接,PE,并延长交,AB,于点,G,.,(1)证明:,G,是,AB,的中点;,(2)在图中作出点,E,在平面,PAC,内的正投影,F,(说明作法及理由),并求四面体,PDEF,的体积.,解析,(1)证明:因为,P,在平面,ABC,内的正投影为,D,所以,AB,PD,.,因为,D,在平面,PAB,内的正投影为,E,所以,AB,DE,.,(2分),又,PD,DE,=,D,所以,AB,平面,PED,故,AB,PG,.,又由已知可得,PA,=,PB,从而,G,是,AB,的中点.,(4分),(2)在平面,PAB,内,过点,E,作,PB,的平行线交,PA,于点,F,F,即为,E,在平面,PAC,内的正投影.,(5分),理由如下:由已知可得,PB,PA,PB,PC,又,EF,PB,所以,EF,PA,EF,PC,又,PA,PC,=,P,因此,EF,平面,PAC,即点,F,为,E,在平面,PAC,内的,正投影.,(7分),连接,CG,因为,P,在平面,ABC,内的正投影为,D,所以,D,是正三角形,ABC,的中心,由(1)知,G,是,AB,的中,点,所以,D,在,CG,上,故,CD,=,CG,.,(9分),由题设可得,PC,平面,PAB,DE,平面,PAB,所以,DE,PC,因此,PE,=,PG,DE,=,PC,.,由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且,PA,=6,可得,DE,=2,PE,=2,.,在等腰直角三角形,EFP,中,可得,EF,=,PF,=2,(11分),所以四面体,PDEF,的体积,V,=,2,2,2=,.,(12分),评析,本题考查了线面垂直的判定和性质;考查了锥体的体积的计算;考查了空间想象能力和逻,辑推理能力.属中档题.,3.,(2016课标全国,19,12分)如图,菱形,ABCD,的对角线,AC,与,BD,交于点,O,点,E,F,分别在,AD,CD,上,AE,=,CF,EF,交,BD,于点,H,.将,DEF,沿,EF,折到,D,EF,的位置.,(1)证明:,AC,HD,;,(2)若,AB,=5,AC,=6,AE,=,OD,=2,求五棱锥,D,-,ABCFE,的体积.,解析,(1)证明:由已知得,AC,BD,AD,=,CD,.,又由,AE,=,CF,得,=,故,AC,EF,.,(2分),由此得,EF,HD,EF,HD,所以,AC,HD,.,(4分),(2)由,EF,AC,得,=,=,.,(5分),由,AB,=5,AC,=6得,DO,=,BO,=,=4.,所以,OH,=1,D,H,=,DH,=3.,于是,OD,2,+,OH,2,=(2,),2,+1,2,=9=,D,H,2,故,OD,OH,.,由(1)知,AC,HD,又,AC,BD,BD,HD,=,H,所以,AC,平面,BHD,于是,AC,OD,.,又由,OD,OH,AC,OH,=,O,所以,OD,平面,ABC,.,(8分),又由,=,得,EF,=,.,五边形,ABCFE,的面积,S,=,6,8-,3=,.,(10分),所以五棱锥,D,-,ABCFE,的体积,V,=,2,=,.,(12分),评析,本题考查了线线垂直的判定、线面垂直的判定和性质,考查了锥体的体积的计算,考查了,空间想象能力和逻辑推理能力.属中档题.,4.,(2014辽宁,19,12分)如图,ABC,和,BCD,所在平面互相垂直,且,AB,=,BC,=,BD,=2,ABC,=,DBC,=120,E,F,G,分别为,AC,DC,AD,的中点.,(1)求证:,EF,平面,BCG,;,(2)求三棱锥,D,-,BCG,的体积.,附:锥体的体积公式,V,=,Sh,其中,S,为底面面积,h,为高.,解析,(1)证明:由已知得,ABC,DBC,.,因此,AC,=,DC,.,又,G,为,AD,的中点,所以,CG,AD,.,同理,BG,AD,因此,AD,平面,BGC,.,又,EF,AD,所以,EF,平面,BCG,.,(2)在平面,ABC,内,作,AO,CB,交,CB,延长线于,O,由平面,ABC,平面,BCD,知,AO,平面,BDC,.,又,G,为,AD,中点,因此,G,到平面,BDC,的距离,h,是,AO,长度的一半.,在,AOB,中,AO,=,AB,sin 60,=,所以,V,D,-,BCG,=,V,G,-,BCD,=,S,DBC,h,=,BD,BC,sin 120,=,.,评析,本题考查了线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质及几何体的体积的求法,考查了空,间想象能力.,5.,(2015重庆,20,12分)如图,三棱锥,P,-,ABC,中,平面,PAC,平面,ABC,ABC,=,点,D,E,在线段,AC,上,且,AD,=,DE,=,EC,=2,PD,=,PC,=4,点,F,在线段,AB,上,且,EF,BC,.,(1)证明:,AB,平面,PFE,;,(2)若四棱锥,P,-,DFBC,的体积为7,求线段,BC,的长.,解析,(1)证明:由,DE,=,EC,PD,=,PC,知,E,为等腰,PDC,中,DC,边的中点,故,PE,AC,.,又平面,PAC,平面,ABC,平面,PAC,平面,ABC,=,AC,PE,平面,PAC,PE,AC,所以,PE,平面,ABC,从,而,PE,AB,.,因,ABC,=,EF,BC,故,AB,EF,.,从而,AB,与平面,PFE,内两条相交直线,PE,EF,都垂直,所以,AB,平面,PFE,.,(2)设,BC,=,x,则在直角,ABC,中,AB,=,=,从而,S,ABC,=,AB,BC,=,x,.,由,EF,BC,知,=,=,得,AFE,ABC,故,=,=,即,S,AFE,=,S,ABC,.,由,AD,=,AE,得,S,AFD,=,S,AFE,=,S,ABC,=,S,ABC,=,x,从而四边形,DFBC,的面积为,S,四边形,DFBC,=,S,ABC,-,S,AFD,=,x,-,x,=,x,.,由(1)知,PE,平面,ABC,所以,PE,为四棱锥,P,-,DFBC,的高.,在直角,PEC,中,PE,=,=,=2,.,体积,V,P,-,DFBC,=,S,四边形,DFBC,PE,=,x,2,=7,故得,x,4,-36,x,2,+243=0,解得,x,2,=9或,x,2,=27,由于,x,0,可得,x,=3或,x,=3,所以,BC,=3或,BC,=3,.,评析,本题考查了线面垂直的判定,棱锥体积的计算;考查了推理论证能力及空间想象能力;体,现了函数与方程的思想.,6.,(2013安徽,18,12分)如图,四棱锥,P,-,ABCD,的底面,ABCD,是边长为2的菱形,BAD,=60,.已知,PB,=,PD,=2,PA,=,.,(1)证明:,PC,BD,;,(2)若,E,为,PA,的中点,求三棱锥,P,-,BCE,的体积.,解析,(1)证明:连接,AC,交,BD,于,O,点,连接,PO,.,因为底面,ABCD,是菱形,所以,AC,BD,BO,=,DO,.,由,PB,=,PD,知,PO,BD,.再由,PO,AC,=,O,知,BD,平面,APC,.,因此,PC,BD,.,(2)因为,E,是,PA,的中点,所以,V,P,-,BCE,=,V,C,-,PEB,=,V,C,-,PAB,=,V,B,-,APC,.,由,PB,=,PD,=,AB,=,AD,=2知,ABD,PBD,.,因为,BAD,=60,所以,PO,=,AO,=,AC,=2,BO,=1.,又,PA,=,PO,2,+,AO,2,=,PA,2,即,PO,AC,.,故,S,APC,=,PO,AC,=3.,由(1)知,BO,面,APC,因此,V,P,-,BCE,=,V,B,-,APC,=,BO,S,APC,=,.,评析,本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、三棱锥体积等基础知识和基本技,能.考查学生空间观念、推理证明能力和运算求解能力.,7.,(2014重庆,20,12分)如图,四棱锥,P,-,ABCD,中,底面是以,O,为中心的菱形,PO,底面,ABCD,AB,=2,BAD,=,M,为,BC,上一点,且,BM,=,.,(1)证明:,BC,平面,POM,;,(2)若,MP,AP,求四棱锥,P,-,ABMO,的体积.,解析,(1)证明:如图,连接,OB,因为,ABCD,为菱形,O,为菱形的中心,所以,AO,OB,.,因为,BAD,=,所以,OB,=,AB,sin,OAB,=2sin,=1,又因为,BM,=,且,OBM,=,所以在,OBM,中,OM,2,=,OB,2,+,BM,2,-2,OB,BM,cos,OBM,=1,2,+,-2,1,cos,=,.,所以,OB,2,=,OM,2,+,BM,2,故,OM,BM,.,又,PO,底面,ABCD,所以,PO,BC,.,从而,BC,与平面,POM,内两条相交直线,OM,PO,都垂直,所以,BC,平面,POM,.,(2)由(1)可得,OA,=,AB,cos,OAB,=2cos,=,.,设,PO,=,a,由,PO,底面,ABCD,知,POA,为直角三角形,故,PA,2,=,PO,2,+,OA,2,=,a,2,+3.,又,POM,也是直角三角形,故,PM,2,=,PO,2,+,OM,2,=,a,2,+,.,连接,AM,在,ABM,中,AM,2,=,AB,2,+,BM,2,-2,AB,BM,cos,ABM,=2,2,+,-2,2,cos,=,.,由于,MP,AP,故,APM,为直角三角形,则,PA,2,+,PM,2,=,AM,2,即,a,2,+3+,a,2,+,=,得,a,=,或,a,=-,(舍去),即,PO,=,.,此时,S,四边形,ABMO,=,S,AOB,+,S,OMB,=,AO,OB,+,BM,OM,=,1+,=,.,所以,V,P,-,ABMO,=,S,四边形,ABMO,PO,=,=,.,考点二面面垂直的判定与性质,1.,(2017山东文,18,12分)由四棱柱,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,截去三棱锥,C,1,-,B,1,CD,1,后得到的几何体如图所示.,四边形,ABCD,为正方形,O,为,AC,与,BD,的交点,E,为,AD,的中点,A,1,E,平面,ABCD,.,(1)证明:,A,1,O,平面,B,1,CD,1,;,(2)设,M,是,OD,的中点,证明:平面,A,1,EM,平面,B,1,CD,1,.,证明,本题考查线面平行与面面垂直.,(1)取,B,1,D,1,的中点,O,1,连接,CO,1,A,1,O,1,由于,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,是四棱柱,所以,A,1,O,1,OC,A,1,O,1,=,OC,因此四边形,A,1,OCO,1,为平行四边形,所以,A,1,O,O,1,C,.,又,O,1,C,平面,B,1,CD,1,A,1,O,平面,B,1,CD,1,所以,A,1,O,平面,B,1,CD,1,.,(2)因为,AC,BD,E,M,分别为,AD,和,OD,的中点,所以,EM,BD,又,A,1,E,平面,ABCD,BD,平面,ABCD,所以,A,1,E,BD,因为,B,1,D,1,BD,所以,EM,B,1,D,1,A,1,E,B,1,D,1,又,A,1,E,EM,平面,A,1,EM,A,1,E,EM,=,E,所以,B,1,D,1,平面,A,1,EM,又,B,1,D,1,平面,B,1,CD,1,所以平面,A,1,EM,平面,B,1,CD,1,.,方法总结,证明面面垂直的方法:,1.面面垂直的定义;,2.面面垂直的判定定理(,a,a,).,易错警示,a,b,a,/,b,.,2.,(2016北京,18,14分)如图,在四棱锥,P,-,ABCD,中,PC,平面,ABCD,AB,DC,DC,AC,.,(1)求证:,DC,平面,PAC,;,(2)求证:平面,PAB,平面,PAC,;,(3)设点,E,为,AB,的中点.在棱,PB,上是否存在点,F,使得,PA,平面,CEF,?说明理由.,解析,(1)证明:因为,PC,平面,ABCD,所以,PC,DC,.,(2分),又因为,DC,AC,AC,PC,=,C,所以,DC,平面,PAC,.,(4分),(2)证明:因为,AB,DC,DC,AC,所以,AB,AC,.,(6分),因为,PC,平面,ABCD,所以,PC,AB,.,(7分),又,AC,PC,=,C,所以,AB,平面,PAC,.,又,AB,平面,PAB,所以平面,PAB,平面,PAC,.,(9分),(3)棱,PB,上存在点,F,使得,PA,平面,CEF,.证明如下:,(10分),取,PB,中点,F,连接,EF,CE,CF,.,又因为,E,为,AB,的中点,所以,EF,PA,.,(13分),又因为,PA,平面,CEF,所以,PA,平面,CEF,.,(14分),评析,本题考查了线面垂直的性质和判定、面面垂直的判定以及线面平行的判定.属中档题.,1.,(2015安徽,19,13分)如图,三棱锥,P,-,ABC,中,PA,平面,ABC,PA,=1,AB,=1,AC,=2,BAC,=60,.,(1)求三棱锥,P,-,ABC,的体积;,(2)证明:在线段,PC,上存在点,M,使得,AC,BM,并求,的值.,C,组 教师专用题组,解析,(1)由题设,AB,=1,AC,=2,BAC,=60,可得,S,ABC,=,AB,AC,sin 60,=,.,由,PA,平面,ABC,可知,PA,是三棱锥,P,-,ABC,的高,又,PA,=1,所以三棱锥,P,-,ABC,的体积,V,=,S,ABC,PA,=,.,(2)在平面,ABC,内,过点,B,作,BN,AC,垂足为,N,.在平面,PAC,内,过点,N,作,MN,PA,交,PC,于点,M,连接,BM,.由,PA,平面,ABC,知,PA,AC,所以,MN,AC,.由于,BN,MN,=,N,故,AC,平面,MBN,.又,BM,平面,MBN,所以,AC,BM,.,在直角,BAN,中,AN,=,AB,cos,BAC,=,从而,NC,=,AC,-,AN,=,.由,MN,PA,得,=,=,.,评析,本题考查线面垂直的判定与性质及三棱锥的体积计算.,2.,(2014湖北,20,13分)如图,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,F,P,Q,M,N,分别是棱,AB,AD,DD,1,BB,1,A,1,B,1,A,1,D,1,的中点.,求证:(1)直线,BC,1,平面,EFPQ,;,(2)直线,AC,1,平面,PQMN,.,证明,(1)连接,AD,1,由,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,是正方体,知,AD,1,BC,1,因为,F,P,分别是,AD,DD,1,的中点,所以,FP,AD,1,.,从而,BC,1,FP,.,而,FP,平面,EFPQ,且,BC,1,平面,EFPQ,故直线,BC,1,平面,EFPQ,.,(2)如图,连接,AC,BD,则,AC,BD,.,由,CC,1,平面,ABCD,BD,平面,ABCD,可得,CC,1,BD,.,又,AC,CC,1,=,C,所以,BD,平面,ACC,1,.,而,AC,1,平面,ACC,1,所以,BD,AC,1,.,因为,M,N,分别是,A,1,B,1,A,1,D,1,的中点,所以,MN,BD,从而,MN,AC,1,.,同理可证,PN,AC,1,.又,PN,MN,=,N,所以直线,AC,1,平面,PQMN,.,评析,本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质,考查学生的空间想象,能力.,一、填空题(每题5分,共10分),1.,(2017南京、盐城二模)已知,为两个不同的平面,m,n,为两条不同的直线,下列命题中正确的,是,(填上所有正确命题的序号).,若,m,则,m,;,若,m,n,则,m,n,;,若,=,n,m,n,则,m,;,若,n,n,m,则,m,.,三年模拟,A组 2015,2017年高考模拟,基础题组,(时间：60分钟 分值：70分),答案,解析,由题意得,m,所以,m,所以正确;由,m,n,得,m,与,n,可能平行或异面,所以,不正确;由,=,n,m,n,得,m,或,m,所以不正确;由,n,m,根据线面垂直的性,质可得,m,n,又知,n,所以,m,所以正确,故真命题的序号为.,2.,(2016江苏徐州调研测试,9)设,、,是空间两个不同的平面,m,n,是平面,及,外的两条不同直线,从“,m,n,;,;,n,;,m,”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正,确的一个命题:,(用代号表示).,答案,(或,),解析,以为条件,为结论的命题不正确,直线,m,也有可能与平面,平行或斜交;同理以,为条件,为结论的命题也不正确;以为条件,为结论的命题正确;以为条件,为结论的命题也正确.,二、解答题(共60分),3.,(2017苏锡常镇四市教学情况调研(一),16),如图,在斜三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,侧面,AA,1,C,1,C,是菱形,AC,1,与,A,1,C,交于点,O,E,是棱,AB,上一点,且,OE,平面,BCC,1,B,1,.,(1)求证:,E,是,AB,的中点;,(2)若,AC,1,A,1,B,求证:,AC,1,CB,.,证明,(1)连接,BC,1,因为,OE,平面,BCC,1,B,1,且,OE,平面,ABC,1,平面,BCC,1,B,1,平面,ABC,1,=,BC,1,所以,OE,BC,1,.,因为侧面,AA,1,C,1,C,是菱形,AC,1,A,1,C,=,O,所以,O,是,AC,1,的中点,所以,E,是,AB,的中点.,(2)因为侧面,AA,1,C,1,C,是菱形,所以,AC,1,A,1,C,又,AC,1,A,1,B,A,1,C,A,1,B,=,A,1,A,1,C,A,1,B,面,A,1,BC,所以,AC,1,面,A,1,BC,因为,BC,平面,A,1,BC,所以,AC,1,BC,.,4.,(2017苏北四市高三上学期期中,16)如图,在正三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,已知,D,E,分别为,BC,B,1,C,1,的,中点,点,F,在棱,CC,1,上,且,EF,C,1,D,.,求证:(1)直线,A,1,E,平面,ADC,1,;,(2)直线,EF,平面,ADC,1,.,证明,(1)连接,ED,因为,D,E,分别为,BC,B,1,C,1,的中点,所以,B,1,E,BD,且,B,1,E,=,BD,所以四边形,B,1,BDE,是平行四边形,所以,BB,1,DE,且,BB,1,=,DE,又,BB,1,AA,1,且,BB,1,=,AA,1,所以,AA,1,DE,且,AA,1,=,DE,所以四边形,AA,1,ED,是平行四边形,所以,A,1,E,AD,又因为,A,1,E,平面,ADC,1,AD,平面,ADC,1,所以直线,A,1,E,平面,ADC,1,.,(2)在正三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,BB,1,平面,ABC,又,AD,平面,ABC,所以,AD,BB,1,又,ABC,是正三角形,且,D,为,BC,的中点,所以,AD,BC,又,BB,1,BC,平面,B,1,BCC,1,且,BB,1,BC,=,B,所以,AD,平面,B,1,BCC,1,又,EF,平面,B,1,BCC,1,所以,AD,EF,又,EF,C,1,D,且,C,1,D,AD,平面,ADC,1,C,1,D,AD,=,D,所以直线,EF,平面,ADC,1,.,5.,(2016江苏泰州中学期初考试,16)正方形,ABCD,所在的平面与三角形,CDE,所在的平面交于,CD,且,AE,平面,CDE,.,(1)求证:,AB,平面,CDE,;,(2)求证:平面,ABCD,平面,ADE,.,证明,(1)正方形,ABCD,中,AB,CD,又,AB,平面,CDE,CD,平面,CDE,所以,AB,平面,CDE,.,(2)因为,AE,平面,CDE,且,CD,平面,CDE,所以,AE,CD,又正方形,ABCD,中,CD,AD,且,AE,AD,=,A,AE,、,AD,平面,ADE,所以,CD,平面,ADE,又,CD,平面,ABCD,所以平面,ABCD,平面,ADE,.,6.,(2016江苏南通调研测试)如图,在直四棱柱,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,底面,ABCD,是菱形,点,E,是,A,1,C,1,的,中点.求证:,(1),BE,AC,;,(2),BE,平面,ACD,1,.,证明,(1)在直四棱柱,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,连接,BD,交,AC,于点,F,连接,B,1,D,1,则由已知得,B,1,D,1,交,A,1,C,1,于点,E,.,因为四边形,ABCD,是菱形,所以,BD,AC,.,因为,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,为直棱柱,所以,BB,1,平面,ABCD,.,又,AC,平面,ABCD,所以,BB,1,AC,.,又,BD,BB,1,=,B,BD,平面,B,1,BDD,1,BB,1,平面,B,1,BDD,1,所以,AC,平面,B,1,BDD,1,而,BE,平面,B,1,BDD,1,所以,BE,AC,.,(2)连接,D,1,F,因为四棱柱,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,为直棱柱,所以四边形,B,1,BDD,1,为矩形,所以,BF,D,1,E,.,又四边形,ABCD,四边形,A,1,B,1,C,1,D,1,均为菱形,所以,E,F,分别是,B,1,D,1,BD,的中点.,所以,BF,=,D,1,E,所以四边形,BED,1,F,是平行四边形.,所以,BE,D,1,F,.,又,D,1,F,平面,ACD,1,BE,平面,ACD,1,所以,BE,平面,ACD,1,.,7.,(2015江苏苏州、无锡、常州、镇江四市一模,16)如图,四边形,AA,1,C,1,C,为矩形,四边形,CC,1,B,1,B,为,菱形,且平面,CC,1,B,1,B,平面,AA,1,C,1,C,D,E,分别为,A,1,B,1,C,1,C,的中点.,(1)求证:,BC,1,平面,AB,1,C,;,(2)求证:,DE,平面,AB,1,C,.,证明,(1)四边形,AA,1,C,1,C,为矩形,AC,C,1,C,又平面,CC,1,B,1,B,平面,AA,1,C,1,C,平面,CC,1,B,1,B,平面,AA,1,C,1,C,=,CC,1,AC,平面,AA,1,C,1,C,AC,平面,CC,1,B,1,B,C,1,B,平面,CC,1,B,1,B,AC,C,1,B,又四边形,CC,1,B,1,B,为菱形,B,1,C,BC,1,B,1,C,AC,=,C,AC,平面,AB,1,C,B,1,C,平面,AB,1,C,BC,1,平面,AB,1,C,.,(2)取,AA,1,的中点,F,连接,DF,EF,四边形,AA,1,C,1,C,为矩形,E,F,分别为,C,1,C,AA,1,的中点,EF,AC,又,EF,平面,AB,1,C,AC,平面,AB,1,C,EF,平面,AB,1,C,又,D,F,分别为,A,1,B,1,AA,1,的中点,DF,AB,1,又,DF,平面,AB,1,C,AB,1,平面,AB,1,C,DF,平面,AB,1,C,EF,DF,=,F,EF,平面,DEF,DF,平面,DEF,平面,DEF,平面,AB,1,C,DE,平面,DEF,DE,平面,AB,1,C,.,解答题(共60分),1.,(2017江苏南京师范大学附属中学调研)如图,在四棱锥,P,-,ABCD,中,底面,ABCD,是正方形,侧棱,PD,底面,ABCD,PD,=,DC,点,E,是,PC,的中点,作,EF,PB,交,PB,于点,F,.,(1)求证:,PA,平面,EBD,;,(2)求证:,PB,平面,EFD,.,B,组 2015,2017年高考模拟,综合题组,(时间：50分钟 分值：50分),证明,(1)连接,BE,BD,AC,设,AC,交,BD,于,G,连接,EG,则,G,为,AC,的中点,在,PAC,中,E,为,PC,的中点,G,为,AC,的中点,则,PA,EG,又,EG,面,BED,PA,面,BED,所以,PA,平面,EBD,.,(2),PD,面,ABCD,PD,BC,.,BC,CD,PD,CD,=,D,PD,CD,面,PCD,BC,面,PCD,又,DE,面,PCD,BC,DE,PD,=,CD,E,为,PC,的中点,DE,PC,又,BC,PC,=,C,BC,PC,面,PBC,DE,面,PBC,又,PB,面,PBC,DE,PB,又,PB,EF,PB,平面,EFD,.,2.,(2017江苏南通、扬州、泰州三模,16)如图,在四棱锥,P,-,ABCD,中,底面,ABCD,是矩形,平面,PAD,平面,ABCD,AP,=,AD,M,N,分别为棱,PD,PC,的中点.,求证:(1),MN,平面,PAB,;,(2),AM,平面,PCD,.,证明,(1)因为,M,N,分别为棱,PD,PC,的中点,所以,MN,DC,又因为底面,ABCD,是矩形,所以,AB,DC,所以,MN,AB,.,又,AB,平面,PAB,MN,平面,PAB,所以,MN,平面,PAB,.,(2)因为,AP,=,AD,M,为,PD,的中点,所以,AM,PD,.,因为平面,PAD,平面,ABCD,又平面,PAD,平面,ABCD,=,AD,CD,AD,CD,平面,ABCD,所以,CD,平面,PAD,.,又,AM,平面,PAD,所以,CD,AM,.,因为,CD,PD,平面,PCD,CD,PD,=,D,所以,AM,平面,PCD,.,思路分析,(1)利用三角形中位线的性质可得,MN,CD,从而得,MN,AB,利用线面平行的判定定,理可得结论;(2)由平面,PAD,平面,ABCD,可证得,CD,平面,PAD,所以,CD,AM,结合,AM,PD,可证,得结论.,失分警示,在利用面面垂直的性质定理时,一定要把条件找全,写够,才不致失分.,3.,(2016江苏姜堰期初联考,15)如图,在四棱锥,P,-,ABCD,中,底面,ABCD,是正方形,侧棱,PD,底面,ABCD,PD,=,DC,=1,点,E,是,PC,的中点,作,EF,PB,交,PB,于点,F,连接,DF,DE,BD,BE,.,(1)求证:,PA,平面,EBD,;,(2)求证:,PB,平面,EFD,.,证明,(1)连接,AC,交,BD,于,G,连接,EG,由已知得,G,为,AC,的中点.,又在,PAC,中,E,为,PC,的中点,PA,EG,EG,平面,BED,PA,平面,BED,PA,平面,EBD,.,(2),PD,平面,ABCD,PD,BC,BC,CD,PD,CD,=,D,PD,CD,平面,PCD,BC,平面,PCD,又,DE,平面,PCD,BC,DE,.,PD,=,CD,E,为,PC,的中点,DE,PC,.,又,BC,PC,=,C,BC,PC,平面,PBC,DE,平面,PBC,DE,PB,又,PB,EF,EF,DE,=,E,PB,平面,EFD,.,4.,(2016江苏常州期末,16)如图,正三棱柱,A,1,B,1,C,1,-,ABC,中,点,D,、,E,分别是,A,1,C,、,AB,的中点.,(1)求证:,ED,平面,BB,1,C,1,C,;,(2)若,AB,=,BB,1,求证:,A,1,B,平面,B,1,CE,.,证明,(1)连接,AC,1,BC,1,因为四边形,AA,1,C,1,C,是矩形,D,是,A,1,C,的中点,所以,D,是,AC,1,的中点.,在,ABC,1,中,因为,D,、,E,分别是,AC,1,、,AB,的中点,所以,DE,BC,1,因为,DE,平面,BB,1,C,1,C,BC,1,平面,BB,1,C,1,C,所以,ED,平面,BB,1,C,1,C,.,(2)因为,ABC,是正三角形,E,是,AB,的中点,所以,CE,AB,.,又因为正三棱柱,A,1,B,1,C,1,-,ABC,中,平面,ABC,平面,ABB,1,A,1,交线为,AB,所以,CE,平面,ABB,1,A,1,从而,CE,A,1,B,.,因为,=,=,=,=,所以,=,又,A,1,B,1,B,=,B,1,BE,=90,所以Rt,A,1,B,1,B,Rt,B,1,BE,所以,A,1,BB,1,=,BEB,1,又,BEB,1,+,BB,1,E,=90,所以,A,1,BB,1,+,BB,1,E,=90,所以,A,1,B,B,1,E,又因为,CE,、,B,1,E,平面,B,1,CE,CE,B,1,E,=,E,所以,A,1,B,平面,B,1,CE,.,5.,(2015南京、盐城二模,16)如图,在四棱锥,P,-,ABCD,中,AD,=,CD,=,AB,AB,DC,AD,CD,PC,平,面,ABCD,.,(1)求证:,BC,平面,PAC,;,(2)若,M,为线段,PA,的中点,且过,C,D,M,三点的平面与,PB,交于点,N,求,PN,PB,的值.,解析,(1)证明:不妨设,AD,=1.,因为,AD,=,CD,=,AB,所以,CD,=1,AB,=2.,因为,AD,CD,所以,AC,=,CAB,=,DCA,=45,.,在,ABC,中,由余弦定理得,BC,=,所以,AC,2,+,BC,2,=,AB,2,所以,BC,AC,.,因为,PC,平面,ABCD,BC,平面,ABCD,所以,BC,PC,.,因为,PC,平面,PAC,AC,平面,PAC,PC,AC,=,C,所以,BC,平面,PAC,.,(2)因为,AB,DC,CD,平面,CDMN,AB,平面,CDMN,所以,AB,平面,CDMN,.,又因为,AB,平面,PAB,平面,PAB,平面,CDMN,=,MN,所以,AB,MN,.,在,PAB,中,因为,M,为线段,PA,的中点,MN,AB,所以,N,为线段,PB,的中点,所以,PN,PB,的值为,.,