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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,要点梳理,1.,函数的单调性,在（,a,b,),内可导函数,f,(,x,),f,(,x,),在,(,a,b,),任意子区间内都不恒等于,0,.,f,(,x,),0,f,(,x,),为,；,f,(,x,),0,f,(,x,),为,.,导数的综合应用,增函数,减函数,基础知识 自主学习,2.,函数的极值,（,1,）判断,f,(,x,0,),是极值的方法,一般地，当函数,f,(,x,),在点,x,0,处连续时，,如果在,x,0,附近的左侧,，右侧,，那么,f,(,x,0,),是极大值；,如果在,x,0,附近的左侧,，右侧,，,那么,f,(,x,0,),是极小值,.,(2),求可导函数极值的步骤,求,f,(,x,);,求方程,的根；,检查,f,(,x,),在方程,的根左右值的符号,.,如果左正右负，那么,f,(,x,),在这个根处取得,；,如果左负右正，那么,f,(,x,),在这个根处取得,.,f,(,x,),0,f,(,x,),0,f,(,x,),0,f,(,x,),0,f,(,x,)=0,f,(,x,)=0,极大值,极小值,3.,函数的最值,（,1,）在闭区间,a,b,上连续的函数,f,(,x,),在,a,b,上必有最大值与最小值,.,(2),若函数,f,(,x,),在,a,b,上单调递增，则,为函数的最小值，,为函数的最大值；若函数,f,(,x,),在,a,b,上单调递减，则,为函数的最大值，,为函数的最小值,.,(3),设函数,f,(,x,),在,a,b,上连续，在,(,a,b,),内可导，求,f,(,x,),在,a,b,上的最大值和最小值的步骤如下：,求,f,(,x,),在（,a,b,),内的,；,将,f,(,x,),的各极值与,比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,.,f,(,b,),f,(,a,),f,(,b,),极值,f,(,a,),f,(,b,),f,(,a,),基础自测,1.,函数,y,=,x,3,-3,x,的单调递减区间是,_,.,解析,y,=3,x,2,-3,由,3,x,2,-3,0,得,-1,x,1.,（,-1,，,1,）,2.,函数,f,(,x,)=,x,3,+,ax,-2,在区间（,1,，,+,）上是增函数，则实数,a,的取值范围是,_,解析,f,(,x,)=,x,3,+,ax,-2,在（,1,，,+,）上是增函数，,f,(,x,)=3,x,2,+,a,0,在（,1,，,+,）上恒成立,.,即,a,-3,x,2,在（,1,，,+,）上恒成立,.,又在（,1,，,+,）上,-3,x,2,-3,a,-3.,-3,，,+),3.,函数,y,=2,x,3,-3,x,2,-12,x,+5,在,0,，,3,上的最大值，最小,值分别是,_,解析,y,=6,x,2,-6,x,-12=0,，得,x,=-1,（舍去）或,2,故函数,y,=,f,(,x,)=2,x,3,-3,x,2,-12,x,+5,在,0,，,3,上的最值可能是,x,取,0,，,2,，,3,时的函数值，而,f,（,0,）,=5,，,f,（,2,）,=,-15,，,f,（,3,）,=-4,故最大值为,5,，最小值为,-15.,5,-15,4.,函数,f,（,x,）的定义域为开区间（,a,，,b,），导函数,f,(,x,),在（,a,，,b,）内的图象如图所示,则函数,f,（,x,）在开区间（,a,，,b,）内有极小值点,_,个,解析,f,(,x,),0,时,f,(,x,),单调递增，,f,(,x,),0,时，,f,(,x,),单调递减,.,极小值点应在先减后增的特殊点，即,f,(,x,),0,f,(,x,)=0,f,(,x,),0.,由图象可知只有,1,个极小值点,.,1,5.,若函数,f,(,x,)=,在,x,=1,处取极值，则,a,=,.,解析,因为,f,(,x,),在,x,=1,处取极值，所以,1,是,f,(,x,)=0,的根，将,x,=1,代入得,a,=3.,3,题型一 函数的单调性与导数,【,例,1,】,已知函数,f,(,x,)=,x,3,-,ax,-1.,（,1,）若,f,(,x,),在实数集,R,上单调递增，求实数,a,的取值范围；,（,2,）是否存在实数,a,，使,f,(,x,),在（,-1,，,1,）上单调递减？若存在，求出,a,的取值范围；若不存在，说明理由,.,求,f,(,x,),f,(,x,)0,或,f,(,x,)0,恒成立,a,的范围,.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解,（,1,）由已知,f,(,x,)=3,x,2,-,a,.,f,（,x,）在（,-,，,+,）上是增函数，,f,（,x,）,=3,x,2,-,a,0,在（,-,，,+,）上恒成立,.,即,a,3,x,2,对,x,R,恒成立,.,3,x,2,0,只要,a,0.,又,a,=0,时，,f,(,x,)=3,x,2,0,，,f,（,x,）,=,x,3,-1,在,R,上是增函数，,a,0.,（,2,）由,f,(,x,)=3,x,2,-,a,0,在（,-1,，,1,）上恒成立,.,a,3,x,2,在,x,（,-1,，,1,）上恒成立,.,又,-1,x,1,3,x,2,3,只需,a,3.,当,a,=3,时，,f,(,x,)=3(,x,2,-1),在,x,(-1,1),上,，,f,(,x,),0,即,f,(,x,),在（,-1,，,1,）上为减函数，,a,3.,故存在实数,a,3,使,f,(,x,),在（,-1,，,1,）上单调递减,.,探究提高,利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意,f,(,x,),0(,或,f,(,x,),0),仅是,f,(,x,),在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（,a,，,b,）内可导的函数,f,(,x,),在（,a,b,),上递增（或递减）的充要条件应是,f,(,x,)0,或,f,(,x,)0,x,(,a,b,),恒成立，且,f,(,x,),在（,a,b,）的任意子区间内都不恒等于,0,，这就是说，函数,f,(,x,),在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有,f,(,x,0,)=0,甚至可以在无穷多个点处,f,（,x,0,）,=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，,因此，在已知函数,f,(,x,),是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令,f,(,x,)0,或,f,(,x,)0,恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使,f,(,x,),恒等于,0,，若能恒等于,0,，则参数的这个值应舍去，若,f,(,x,),不恒为,0,，则由,f,(,x,)0,或,f,(,x,)0,恒成立解出的参数的取值范围确定,.,知能迁移,1,已知,f,(,x,)=e,x,-,ax,-1.,（,1,）求,f,(,x,),的单调增区间；,（,2,）若,f,(,x,）在定义域,R,内单调递增，求,a,的取值范 围；,（,3,）是否存在,a,使,f,(,x,),在（,-,，,0,上单调递减，在,0,，,+,）上单调递增？若存在，求出,a,的值；若不存在，说明理由,.,解,f,(,x,)=e,x,-,a,.,(1),若,a,0,，,f,(,x,)=e,x,-,a,0,恒成立，即,f,(,x,),在,R,上递增,.,若,a,0,e,x,-,a,0,e,x,a,x,ln,a,.,f,(,x,),的单调递增区间为,(,ln,a,+).,（,2,）,f,（,x,）在,R,内单调递增，,f,(,x,)0,在,R,上恒,成立,.,e,x,-,a,0,，即,a,e,x,在,R,上恒成立,.,a,（,e,x,）,min,，又,e,x,0,，,a,0.,（,3,）,方法一,由题意知,e,x,-,a,0,在（,-,，,0,上恒成立,.,a,e,x,在（,-,，,0,上恒成立,.,e,x,在（,-,，,0,上为增函数,.,x,=0,时，,e,x,最大为,1.,a,1.,同理可知,e,x,-,a,0,在,0,，,+,）上恒成立,.,a,e,x,在,0,，,+,）上恒成立,.,a,1,，,a,=1.,方法二,由题意知，,x,=0,为,f,(,x,),的极小值点,.,f,(0)=0,即,e,0,-,a,=0,a,=1.,题型二 函数的极值与导数,【,例,2,】,设,x,=1,与,x,=2,是函数,f,(,x,)=,a,ln,x,+,bx,2,+,x,的两个极值点,.,（,1,）试确定常数,a,和,b,的值；,（,2,）试判断,x,=1,x,=2,是函数,f,(,x,),的极大值点还是极小值点，并说明理由,.,（,1,）函数的导函数在极值点处的函数值为,0,，列方程组求解,.,（,2,）极大值点与极小值点的判断应根据极值点的定,义判断,.,思维启迪,解,（,1,）,f,(,x,)=+2,bx,+1,函数定义域为（,0,，,+,），列表,x,(0,1),1,(1,，,2),2,(2,+),f,(,x,),-,0,+,0,-,f,(,x,),单调递减,极小值,单调递增,极大值,单调递减,x,=1,是,f,（,x,）的极小值点，,x,=2,是,f,（,x,）的极大值点,.,此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值,的步骤求解，但要注意极值点与导数之间的关系，利,用这一关系（,f,(,x,)=0,）建立字母系数的方程，通过,解方程（组）确定字母系数，从而解决问题,.,探究提高,题型三 函数的最值与导数,【,例,3,】,已知,a,为实数，且函数,f,(,x,)=(,x,2,-4)(,x,-,a,).,(1),求导函数,f,(,x,);,(2),若,f,(-1)=0,，求函数,f,(,x,),在,-2,，,2,上的最大值、最小值,.,先求函数的极值，然后再与端点值进行比较、确定最值,.,解,（,1,）,f,(,x,)=,x,3,-,ax,2,-4,x,+4,a,得,f,(,x,)=3,x,2,-2,ax,-4.,思维启迪,（,2,）因为,f,(-1)=0,所以,a,=,有,f,(,x,)=,x,3,-,x,2,-4,x,+2,所以,f,(,x,)=3,x,2,-,x,-4.,又,f,(,x,)=0,所以,x,=,或,x,=-1.,又,f,=,f,(-1)=,f,(-2)=0,f,(2)=0,所以,f,(,x,),在,-2,，,2,上的最大值、最小值分别为,、,.,探究提高,在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别,.,求解函数的最值时，要先求函数,y,=,f,（,x,）在,a,，,b,内所有使,f,（,x,）,=0,的点，再计算函数,y,=,f,（,x,）在区间内所有使,f,（,x,）,=0,的点和区间端点处的函数值，最后比较即得,.,知能迁移,2,已知函数,f,(,x,)=,ax,3,+,bx,2,-3,x,在,x,=,1,处取得极值,.,（,1,）讨论,f,(1,）和,f,(-1),是函数,f,(,x,),的极大值还是,极小值；,（,2,）过点,A,（,0,，,16,）作曲线,y,=,f,(,x,),的切线，求此切线方程,.,解,（,1,）,f,(,x,)=3,ax,2,+2,bx,-3,依题意，,3,a,+2,b,-3=0,3,a,-2,b,-3=0,f,(1)=,f,(-1)=0,即,解得,a,=1,b,=0.,f,（,x,）,=,x,3,-3,x,f,(,x,)=3,x,2,-3=3(,x,+1)(,x,-1).,令,f,(,x,)=0,得,x,=-1,x,=1.,若,x,(-,-1)(1,+),，则,f,(,x,),0,故,f,(,x,),在（,-,-1),上是增函数，,f,(,x,),在（,1,+),上是增函数,.,若,x,(-1,1),，则,f,(,x,),0,故,f,(,x,),在（,-1,，,1,）上是减函数,.,所以,f,(-1)=2,是极大值，,f,(1)=-2,是极小值,.,（,2,）曲线方程为,y,=,x,3,-3,x,点,A,（,0,，,16,）不在曲线上,.,设切点为,M,（,x,0,，,y,0,），则点,M,的坐标满足,y,0,=,-3,x,0,.,因,f,(,x,0,)=3(,-1),故切线的方程为,y,-,y,0,=3(,-1)(,x,-,x,0,),注意到点,A,（,0,，,16,）在切线上，,有,16-(,x,-3,x,0,)=3(,x,-1)(0-,x,0,),化简得,x,=-8,解得,x,0,=-2.,所以，切点为,M,（,-2,，,-2,），切线方程为,9,x,-,y,+16=0.,知能迁移,3,已知,a,为实数，函数,f,(,x,)=(,x,2,+1)(,x,+,a,).,若,f,(-1)=0,，求函数,y,=,f,(,x,),在,，,1,上的最大值和最小值,.,解,f,(,x,)=3,x,2,+2,ax,+1,又,f,(-1)=0,，,3-2,a,+1=0,，即,a,=2.,f,（,x,）,=3,x,2,+4,x,+1=3,（,x,+,）,(,x,+1).,由,f,(,x,),0,，得,x,-1,或,x,-,；,由,f,(,x,),0,，得,-1,x,-.,因此函数,f,(,x,),的单调递增区间为,，,-1,，,，,1,，,单调递减区间为,-1,，,.,f,（,x,）在,x,=-1,取得极大值为,f,(-1)=2;,f,(,x,),在,x,=,取得极小值为,f,=,又,f,=,f,(1,）,=6,，且 ,f,(,x,),在,1,上的最大值为,f,(1)=6,最小值为,f,=.,方法与技巧,1.,注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值（范围）时，隐含恒成立思想,.,2.,求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小,.,3.,在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较,.,思想方法 感悟提高,失误与防范,1.,求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能,.,2.,求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论,.,3.,要强化自己用导数知识处理函数最值、单调性、方程的根、不等式的证明等数学问题的意识,.,定时检测,下课！,同学们再见！,
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